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摘 要：本文以“求曲线方程”一课教学为例，结合新课标及课堂教学实例，就如何通过师生共同参与，以学生的自主、合作、探究实施有效教学，让数学课堂具有“灵韵”谈谈认识。
关键词：数学课堂；曲线方程；灵韵
在全国上下讨论如何减负增效的背景下，高中数学教学如何在新课程改革理念指导下，更新观念，转变角色，调整教学策略，提高课堂教学的有效性，全面发展学生的能力，是我们每个教师都应该关注的问题。最近笔者有幸与江苏省著名特级教师陈光立老师和仇炳生老师共同探讨了如何让数学课堂具有“灵韵”，感触颇深。本文以“求曲线方程”为例，结合新课标及课堂教学实例，就如何通过师生共同参与实施有效教学，让数学课堂具有“灵韵”，谈谈自己的认识。
一、创设情境，感受数学之“灵韵”
苏教版“求曲线方程”这一节，教材一开始是通过回忆建立椭圆、双曲线、抛物线的方程的过程，引入如何求曲线的方程。传统的教学模式是教师引领学生回忆这些方程的建立过程，笔者在教学实践中做了一些变动，在带领学生回忆的同时，展示“天宫”的运行图片，让学生直观感受“天宫”的运行轨迹，并进一步提出问题：“天宫”飞船的技术相当先进，就连拥有最多、最先进间谍卫星的美国也曾跟踪丢了飞船的位置，这都是突然改变飞船飞行轨迹的结果。假若飞船在某一时间内飞行轨迹上任意一点到地球球心和地球表面上一定点的距离之和近似等于定值2a，视地球为球体，半径为R，你能写一个轨迹的方程吗？
在此基础上，笔者讲述解析几何的创立是变量数学的第一个里程碑，也是近代数学崛起的两大标志之一，是较为完整和典型的重大数学创新史例。解析几何创始人特别是笛卡儿的事迹和精神——对科学真理和方法的追求、质疑的科学精神，是富有启发性和激励性的教育材料，可以根据学生实际情况，条件允许时指导学生课后收集相关资料，通过分析、整理，写出研究报告，这样不仅能让学生开阔眼界，同时也能体现数学的文化价值。
这样的创设情境，让学生有浓厚的兴趣，引而不发，自然引入课题“求曲线的方程”，在这个过程中培养了学生的爱国主义情操，也让学生真正领略了数学之美，感受数学之“灵韵”。
二、一题多解与变式教学，体验数学之“灵韵”
笔者在讲解课本例题1之前，加入一个引例：
已知两点坐标为A（-1，-1），B（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程。
学生解法：用点斜式求直线方程y-3=-（x-1），即x+2y-7=0，此时笔者提出问题：这个是我们熟知线段垂直平分线的性质条件下求解的，那么如果我们事先不知道这个性质，如何来求解呢？学生在教师引导下探索动点满足的几何条件，进而讨论、探求曲线方程比较方法，得出启示，口头表述求曲线方程需要的步骤。这样的设计，既充分肯定学生利用已有的知识经验顺利求解，同时将“待定系数法”导向轨迹方程求法，让学生初步体验求曲线方程的方法与步骤：建设现（限）代化五步。这样的提法有利于学生的记忆与理解.
用学生熟知的简单例子引入，深入浅出，为我们讲解例题1做铺垫.
例题1：长为2a（a是正常数）的线段AB的两端点A，B分别在互相垂直的两条直线上滑动，求线段AB中点M的轨迹。
给出问题后，学生争先恐后讲了很多种方法，笔者听到了有三种代表性的方法，并邀请三名学生黑板板演，具体如下：
解法一：分别以两条互相垂直的直线为坐标轴，建立如图所示直角坐标系，设M的坐标为（x，y），因为△AOB是直角三角形，M为斜边AB的中点，则：OM=AB=a，即=a，化简得：x2+y2=a2所以，动点M的轨迹是以两条直线的交点为圆心，a为半径的圆。
[C][x][y][O][Q]
解法二：分别以两条互相垂直的直线为坐标轴，建立如图所示直角坐标系。
设M的坐标为（x，y），则A（2x，0），B（0，2y），
由两点之间的距离公式可得：AB==2a，
化简得：x2+y2=a2.
解法三：分别以两条互相垂直的直线为坐标轴，建立如图所示直角坐标系。
设M的坐标为（x，y），A（m，0），B（0，n），由M是AB的中点得：
x=
y=?m=2x
n=2y，因为△AOB是直角三角形，所以：m2+n2=4a2，代入可得：x2+y2=a2
变式练习：设圆C：（x-1）2+y2=1，过原点O作圆C的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程。
分析：由刚才的例题1引导学生思考，可以有多种方法解决此类问题。
给学生几分钟思考后，学生同样说了很多种方法。
通过此例旨在把求轨迹方程的几种常用方法简单介绍一遍，主要是理解思想和步骤，让学生明白有时利用平面几何知识更为方便快捷。教学时要让学生有充分的发挥空间和时间。在数学教学中，一题多解可以激发学生发现和创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性、深刻性、灵活性和独创性，让学生学会一题多解，有利于启迪思维，开阔视野，全方位思考问题，分析问题，有利于培养学生的发散思维能力和解题技巧。而变式教学即采用一题多变的形式，可以训练学生积极思维，触类旁通，提高学生思维敏捷性、灵活性和深刻性。
三、合作探究，感悟数学之“灵韵”
教材的例题2：求平面内到两个定点A，B的距离之比等于2的动点M的轨迹方程。
传统的教学模式是教师抛出题目，让学生动手去做，做几分钟后教师讲解。笔者认为单纯地讲解这一例题，会让学生觉得枯燥乏味，课堂气氛沉闷，数学原本很美好的东西也失去了灵动的美感。
苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、探索者。”教师适当分解知识的难点、合理划分教学的层次，引导学生由低到高，一步步攀登，只有在艰辛的探索攀登中才会体验成功的喜悦。笔者在教学中做了一些尝试：先让学生回忆椭圆和双曲线的定义，进而提出问题，到两个定点距离的和为定值的轨迹是椭圆，到两定点距离之差（绝对值）为定值的是双曲线，那么下面我们就进一步“玩玩”数学，到两个定点距离之积为定值会是什么样子？让学生合作探究亲自动手试试，学生动手操作过程中就会发现出现根式乘根式甚至是4次方的形式，相当复杂，无法进行下去。于是笔者再问：“同学们，这个好玩不好玩？”学生异口同声回答：“不好玩”！笔者回答：“这个太复杂，不好玩，那我们暂时就不玩，那我们再玩玩到两个定点距离之商呢？”随之抛出例题2，让学生在强烈的求知欲和浓烈兴趣中合作探究，寻找解决问题的途径，学生很容易发现“到两个定点距离之商为定值的是圆”，这样学生就能够牢牢掌握方法，透彻理解，数学课堂才真正灵动起来。
例题2讲解结束之后，进而给出一个变式练习题：若AB=2，AC=BC，求C点的轨迹方程。进而再进一步给出变式练习：若AB=2，AC=BC，求△ABC面积的最大值。笔者点出这个问题就是江苏的高考题，学生在这个过程中不仅轻松愉悦地掌握了知识，而且感悟了高考，整个过程顺理成章、一气呵成。
总之，数学教学中，教师应抓住课堂中的一切机会和环节，不断提高教学艺术，始终关注学生的认知起点和自己教学的起点，激发和培养学生的兴趣，设法调动学生学习的主动性和积极性，以求取得最佳的教学效果。为了适应新的教育形势的发展，教师需要改进教学方式和方法，寓教于乐，让学生产生学习的热情、渴求知识的原动力，并获得愉悦的享受。让数学课堂灵动起来，让数学课堂具有数学美的“灵韵”。
注：本文由解放军理工大学教学研究重点课题资助。
关键词：数学课堂；曲线方程；灵韵
在全国上下讨论如何减负增效的背景下，高中数学教学如何在新课程改革理念指导下，更新观念，转变角色，调整教学策略，提高课堂教学的有效性，全面发展学生的能力，是我们每个教师都应该关注的问题。最近笔者有幸与江苏省著名特级教师陈光立老师和仇炳生老师共同探讨了如何让数学课堂具有“灵韵”，感触颇深。本文以“求曲线方程”为例，结合新课标及课堂教学实例，就如何通过师生共同参与实施有效教学，让数学课堂具有“灵韵”，谈谈自己的认识。
一、创设情境，感受数学之“灵韵”
苏教版“求曲线方程”这一节，教材一开始是通过回忆建立椭圆、双曲线、抛物线的方程的过程，引入如何求曲线的方程。传统的教学模式是教师引领学生回忆这些方程的建立过程，笔者在教学实践中做了一些变动，在带领学生回忆的同时，展示“天宫”的运行图片，让学生直观感受“天宫”的运行轨迹，并进一步提出问题：“天宫”飞船的技术相当先进，就连拥有最多、最先进间谍卫星的美国也曾跟踪丢了飞船的位置，这都是突然改变飞船飞行轨迹的结果。假若飞船在某一时间内飞行轨迹上任意一点到地球球心和地球表面上一定点的距离之和近似等于定值2a，视地球为球体，半径为R，你能写一个轨迹的方程吗？
在此基础上，笔者讲述解析几何的创立是变量数学的第一个里程碑，也是近代数学崛起的两大标志之一，是较为完整和典型的重大数学创新史例。解析几何创始人特别是笛卡儿的事迹和精神——对科学真理和方法的追求、质疑的科学精神，是富有启发性和激励性的教育材料，可以根据学生实际情况，条件允许时指导学生课后收集相关资料，通过分析、整理，写出研究报告，这样不仅能让学生开阔眼界，同时也能体现数学的文化价值。
这样的创设情境，让学生有浓厚的兴趣，引而不发，自然引入课题“求曲线的方程”，在这个过程中培养了学生的爱国主义情操，也让学生真正领略了数学之美，感受数学之“灵韵”。
二、一题多解与变式教学，体验数学之“灵韵”
笔者在讲解课本例题1之前，加入一个引例：
已知两点坐标为A（-1，-1），B（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程。
学生解法：用点斜式求直线方程y-3=-（x-1），即x+2y-7=0，此时笔者提出问题：这个是我们熟知线段垂直平分线的性质条件下求解的，那么如果我们事先不知道这个性质，如何来求解呢？学生在教师引导下探索动点满足的几何条件，进而讨论、探求曲线方程比较方法，得出启示，口头表述求曲线方程需要的步骤。这样的设计，既充分肯定学生利用已有的知识经验顺利求解，同时将“待定系数法”导向轨迹方程求法，让学生初步体验求曲线方程的方法与步骤：建设现（限）代化五步。这样的提法有利于学生的记忆与理解.
用学生熟知的简单例子引入，深入浅出，为我们讲解例题1做铺垫.
例题1：长为2a（a是正常数）的线段AB的两端点A，B分别在互相垂直的两条直线上滑动，求线段AB中点M的轨迹。
给出问题后，学生争先恐后讲了很多种方法，笔者听到了有三种代表性的方法，并邀请三名学生黑板板演，具体如下：
解法一：分别以两条互相垂直的直线为坐标轴，建立如图所示直角坐标系，设M的坐标为（x，y），因为△AOB是直角三角形，M为斜边AB的中点，则：OM=AB=a，即=a，化简得：x2+y2=a2所以，动点M的轨迹是以两条直线的交点为圆心，a为半径的圆。
解法二：分别以两条互相垂直的直线为坐标轴，建立如图所示直角坐标系。
设M的坐标为（x，y），则A（2x，0），B（0，2y），
由两点之间的距离公式可得：AB==2a，
化简得：x2+y2=a2.
解法三：分别以两条互相垂直的直线为坐标轴，建立如图所示直角坐标系。
设M的坐标为（x，y），A（m，0），B（0，n），由M是AB的中点得：
x=
y=?m=2x
n=2y，因为△AOB是直角三角形，所以：m2+n2=4a2，代入可得：x2+y2=a2
变式练习：设圆C：（x-1）2+y2=1，过原点O作圆C的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程。
分析：由刚才的例题1引导学生思考，可以有多种方法解决此类问题。
给学生几分钟思考后，学生同样说了很多种方法。
通过此例旨在把求轨迹方程的几种常用方法简单介绍一遍，主要是理解思想和步骤，让学生明白有时利用平面几何知识更为方便快捷。教学时要让学生有充分的发挥空间和时间。在数学教学中，一题多解可以激发学生发现和创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性、深刻性、灵活性和独创性，让学生学会一题多解，有利于启迪思维，开阔视野，全方位思考问题，分析问题，有利于培养学生的发散思维能力和解题技巧。而变式教学即采用一题多变的形式，可以训练学生积极思维，触类旁通，提高学生思维敏捷性、灵活性和深刻性。
三、合作探究，感悟数学之“灵韵”
教材的例题2：求平面内到两个定点A，B的距离之比等于2的动点M的轨迹方程。
传统的教学模式是教师抛出题目，让学生动手去做，做几分钟后教师讲解。笔者认为单纯地讲解这一例题，会让学生觉得枯燥乏味，课堂气氛沉闷，数学原本很美好的东西也失去了灵动的美感。
苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、探索者。”教师适当分解知识的难点、合理划分教学的层次，引导学生由低到高，一步步攀登，只有在艰辛的探索攀登中才会体验成功的喜悦。笔者在教学中做了一些尝试：先让学生回忆椭圆和双曲线的定义，进而提出问题，到两个定点距离的和为定值的轨迹是椭圆，到两定点距离之差（绝对值）为定值的是双曲线，那么下面我们就进一步“玩玩”数学，到两个定点距离之积为定值会是什么样子？让学生合作探究亲自动手试试，学生动手操作过程中就会发现出现根式乘根式甚至是4次方的形式，相当复杂，无法进行下去。于是笔者再问：“同学们，这个好玩不好玩？”学生异口同声回答：“不好玩”！笔者回答：“这个太复杂，不好玩，那我们暂时就不玩，那我们再玩玩到两个定点距离之商呢？”随之抛出例题2，让学生在强烈的求知欲和浓烈兴趣中合作探究，寻找解决问题的途径，学生很容易发现“到两个定点距离之商为定值的是圆”，这样学生就能够牢牢掌握方法，透彻理解，数学课堂才真正灵动起来。
例题2讲解结束之后，进而给出一个变式练习题：若AB=2，AC=BC，求C点的轨迹方程。进而再进一步给出变式练习：若AB=2，AC=BC，求△ABC面积的最大值。笔者点出这个问题就是江苏的高考题，学生在这个过程中不仅轻松愉悦地掌握了知识，而且感悟了高考，整个过程顺理成章、一气呵成。
总之，数学教学中，教师应抓住课堂中的一切机会和环节，不断提高教学艺术，始终关注学生的认知起点和自己教学的起点，激发和培养学生的兴趣，设法调动学生学习的主动性和积极性，以求取得最佳的教学效果。为了适应新的教育形势的发展，教师需要改进教学方式和方法，寓教于乐，让学生产生学习的热情、渴求知识的原动力，并获得愉悦的享受。让数学课堂灵动起来，让数学课堂具有数学美的“灵韵”。
注：本文由解放军理工大学教学研究重点课题资助。