摘 要
　　对一道斜三角形题，利用平面向量中基底法、投影法、平行四边形法及坐标法从不同视觉求解角，与正余弦定理的完美结合，让平面向量的几何与代数双重属性在解三角形的舞台上大显身手。
　　【关键词】平面向量；余弦定理；三角形；多种解法
　　在高三数学试卷讲评课中，如何讲，讲多少，是摆在每个高三老师面前的一道难题.如何引导学生从茫茫题海中解放出来，让学生思维活跃，是每个数学老师亟待解决的课题.然而，试卷讲评中的一题多解，可以使学生从不同角度，不同侧面，不同层次对问题进行深入探究，开阔视野，加深对问题的理解，进而发现问题的本质，在解题过程中能够培养学生的探索钻研精神，提高学生综合运用知识解决实际问题的能力，一题多解是数学核心素养的基本体现，是全面落实立德树人的根本要求，下面给出“绵阳市2017届高三理科数学第一次诊断性考试”第19题试题及六种解法。
　　题目：在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的外接圆圆心为O，满足
　　，且，求sinB。
　　方法一：基底法
　　解：由于O为△ABC的外接圆圆心，所以，选为基底，因为，，
　　，
　　所以
　　，，所以
　　，所以
　　，化简得
　　，
　　即，所以
　　，由余弦定理可得
　　，，由正弦定理得
　　，可得。
　　方法二：基底法
　　解：选为基底，由于
　　，所以。
　　由于O为△ABC的外接圆圆心，所以，所以
　　，化简得
　　即，故
　　，下同解法一。
　　[点评]上述两种方法紧扣三角形外接圆圆心的定义，即方法一选用外心三条中垂线的交点，方法而选用外心到三角形三个顶点的距离相等，巧选基底，利用向量内积及夹角公式解出角A，再结合正余弦定理，使问题迎刃而解，让平面向量实现了由形到数的转化，在这里平面向量的工具性得到了充分的展现。
　　方法三：基底法
　　解：选为基底，因为
　　，所以
　　，即
　　，两边平方得
　　化简得所以
　　，所以，下同解法一。
　　[点评]上述方法较方法一、方法二简洁，技巧性较强，学生不容易想到.基本思路为巧选基底，利用向量线性运算，借助内积工具，将向量变为实数，抓住圆心角与圆周角的关系，求解角A。
　　方法四：投影法
　　解：由于
　　，所
　　，
　　由于M，N分别是 的中点，所以AB，AC，所以
　　，
　　，所以，由正弦定理可得
　　，所以。
　　[点评]上述方法直接将两个相等向量两端作内积，把向量化为实数，再将内积等价投影，从而直接求出外接圆的半径.该方法构思巧妙，向量工具使用娴熟，尤其是对向量内积的加工，让内积再一次和投影巧妙结合，可以加深学生对向量内积概念的理解.
　　方法五：線性运算法
　　如图所示，取AB，AC的三等分点分别为点M，N。
　　解：以为邻边作平行四边形，可得，所以，，取AB的中点H，连接OH，则且，故
　　，所以，即，下同解法一。
　　[点评]该方法将向量的线性运算用几何的形式呈现，通过几何关系，求解出圆心角的大小，进而确定角A的大小，该方法实现了向量从形到数的完美转化，与方法三殊途同归。
　　方法六：坐标法
　　解：以A为坐标原点，AB为x轴建立直角坐标，设，则A（0，0），B（12，0），，又O为△ABC的外接圆圆心，所以
　　即
　　整理得
　　，下同方法一。
　　[点评]上述方法利用直角坐标系，将向量问题坐标化，紧扣外接圆的定义，即外心到三角形顶点的距离相等，进而利用方程思想求出角A，该方法是数形结合、方程思想的综合表现，思维层次更高，更具有创新性.
　　从以上六种解法可以看出，“一题多解”源于用不同的定理、原理、方法，从不同的角度、知识点解决同一问题，以达到事半功倍的效果，既有奇思妙解又有脚踏实地，是培养学生良好数学核心素养的催化剂，通过探讨解斜三角形的问题，用平面向量来牵线，正余弦定理来搭桥，分析了六种求解方法之间的差别与联系，可以引导学生从不同角度主动思考问题，寻找各种解题途径，变定向思维为多向思维，挖掘其内在联系，从而培养学生的发散思维能力，一题多解，一叶知秋，让学生走出题海.
　　参考文献
　　[1]马克联.基于一题多解培养创新思维能力[J].甘肃联合大学学报，2013（06）.
　　[2]方茹，杨国俅，王勇.一道高等数学题的多种解法[J].大学数学，2014（06）.
　　作者单位
　　贵州省遵义市第四中学 贵州省遵义市 563000