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【关键词】高三数学 总复习课
五个不到位
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2013）06B-
0079-03
作为教育局长、数学特级教师，到学校一线去听课，是我长期以来养成的工作习惯。在听课中、在与教师和学生的交流中，笔者经常感觉教师课堂教学有“五个不到位”，应给予足够重视。现归纳出来，与同行共勉。
一、应重视基础知识“归纳不到位”
每年的高考试题中有许多题取之于课本，或是课本习题的改型、拼凑。有选择、填空，也有解答题，即使是较难的题目，也能在课本中找到它的“影子”。因此，教师在复习教学中要重视课本，立足于课本，强化知识基础。我们讲复习立足课本，不是机械重复或是“炒冷饭”，而是要着力理清思路，系统梳理知识脉络，总结基本方法，精选范例，引导学生灵活运用知识，正确、迅速、简捷地解题。
例如，在复习“函数奇偶性”时着重抓以下几点：
1.抓住实质，力求用简短语言、数学符号来描述、梳理基本概念
f（-x）=f（x）？圮偶函数
f（-x）=-f（x）？圮奇函数
强调注意：①等式对定义域内的一切x均成立；②x，-x必须同时落在定义域中，即定义域关于原点对称；③f（x）是偶函数？圳f（x）的图像关于y轴对称；f（x）是奇函数？圳f（x）的图像关于原点对称；既奇又偶，非奇非偶函数均存在。
2.从定义、性质入手，归纳基本方法
（1）要证明某个函数f（x）是奇、偶函数，只须证明：第一，定义域对称；第二，f（-x）与±f（x）是否相等，或者用等价式子f（x）±f（-x）=0或者=±1的证明代替。
（2）两个奇（偶）函数的和与差，仍是奇（偶）函数；两个同奇或同偶的函数的积是偶函数，一奇一偶函数之积为奇函数。
（3）f（x）与有相同的奇偶性。
3.挖掘相关的知识点，加强基本联系
（1）利用奇偶函数的对称性可进行作图，也可以确定某图象对应的函数的奇偶性。
（2）奇函数在R+与R-上有相同的单调性，偶函数R+与R-上有相反的单调性。
（3）若奇函数在定义域内有最值，则最大最小值同时存在且互为相反数。
又如，在复习幂函数、指数函数、对数函数的图象时，难点在于图象的位置随a的变化情况，于是可帮助学生进行如下归纳整理：
①幂函数y=x2（x∈R）
小结：a逆时针方向增大，图象绕（1，1）逆时针摆动。
②指数函数y=-ax（a>0且a≠1）.
小结：分y轴左、右两边来看，a渐增大时，图象绕（0，1）逆时针摆动。
③对数函数y=logax（a>0且a≠1）
小结：分x轴上、下两边来看，a渐增大时，图象绕（1，0）顺时针摆动。
例l（92年高考）图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为：
（A）-2，-，，2 （B）2，，-，-2
（C）-，-2，2， （D）2，，-2，-
根据上面的结论，显然答案是（B）。
二、应重视通性通法“传授不到位”
通性通法通常指具有某种普遍意义的结论和方法。它辐射面广，易于大多数学生理解和掌握。高考也重在考查通性通法，遗憾的是我们许多教师尤其是年经教师在高考复习教学中喜爱标新立异，盲目求巧，大量增加“准结论”的传授，试图以巧取胜，其结果转移了学生的学习兴趣与目标，不但增加了学生的课业负担，也违背了大纲的要求，影响了高考成绩的大面积提高。这种脱离高考实际的做法，我们必须引起足够重视。
例如，1992年高考文科（24）题，求“sin220°+cos280°+sin220°cos280°的值”；95年高考理科（22）题求“sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值”与必修课本代数上册P193例4基本相同。解法不下4、5种，其中最常用的解法是降幂、和差化积、积化和差。从评卷提供的信息来看，一些学生解答不出，而另一些学生则用了对称构造法，三角形构造法及其他方法来解。这两种现象，至少反映教学过程中存在如下几个问题：其一，学生没有认真学；其二，学生学的方法多，掌握不牢；其三，教师热衷于“一题多解”，追求解题技巧，忽视常规解法的教学。因此，加强高考复习“常规”教学，是不容忽视的。
又如，解无理不等式的常规思路是化无理为有理，即转化为等价有理不等式来求解，图象法固然巧，但个别教师教学时本末倒置了。
在高考数学复习阶段，必须遵循教学规律，认真钻研《考纲》和《说明》，重视通性通法的教学。从题目的众多解法中分析选择通法，着眼于传授和培养学生分析解决某一类问题的一般方法，从而提高学生的一般解题能力。对那些带规律性、全局性和运用面广的方法，就应花大力气，深入研究，务必使学生理解实质，真正熟练掌握。而对那些局限性大，应用面窄的奇招、怪招则宜淡化。
三、应重视基本能力“培养不到位”
“重基础，出活题，考能力”，已成为目前高考命题“定势”，因此如何在总复习阶段，切实提高学生的数学能力，应该成为教师的“重头戏”。这里所指的能力应该包括数学学科的能力和一般能力。数学能力主要指逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力以及运用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。一般能力指可在不同领域的学习和工作中进行迁移的能力，如注意力、观察力、记忆力、想象力、思维力和组织力等。那么，在高三教学复习中应培养学生具备哪些能力才能取得较好的复习效果？笔者认为应培养学生具备以下几个方面的能力： 1.转化或化归的能力；
2.数形结合的能力；
3.分类讨论的能力；
4.用函数与方程思想分析问题和解决问题的能力；
5.应用数学知识解决实际问题的能力；
6.准确、迅速的运算能力；
7.较好的应试能力。
例如，已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其中弧长比为3∶1；③圆心到直线的距离为，求该圆的方程。（97高考文第25题）
转化的目标：设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，确定a、b、r。
转化的手段：用待定系数法，辅以数形结合（图略）。
转化的方法：应用解几何知识将条件分别转化，找出关系式。
圆心到x轴、y轴的距离分别为|a|和|b|。
①转化为：r2=a2+1
②转化为：∠APB=90°，有AB=r，因此有r2=2b2
③转化为：=
联立①、②、③解方程可得到a、b、r。
四、应重视探究过程“引导不到位”
展示思维过程，通常从展示知识的发生过程、问题的探索过程、方法的思考过程三个方面进行。教师的数学课堂教学应该向学生展示自己的思维过程，和学生共同探讨，一起寻求解决问题的办法，让学生不但有机会了解教师解决问题的思想方法，还有机会了解教师在解决问题时遇到的挫折和挑战，与教师一起经历曲折与失误。同时，教师也要引导学生敢于、善于暴露自己的思维过程，这有助于课堂教学中师生互动和教师对学生学习程度的把握。
例如，反正弦函数的概念是学生学习反三角函数知识时学习的第一个概念，如果学生掌握了这个概念的形成过程，对概念有较深刻的理解，那么对后面的三个反三角函数概念的理解就十分容易了。
为此，笔者设计了三张幻灯片来创设情境。
第一张幻灯片：
第二张幻灯片：
第三张幻灯片：
像这样通过三张投影片以旧换新，步步紧跟，设法求答，提示概念的形成过程，学生感到自然、易理解，不仅知道概念是什么，而且知道概念是怎样想到的。
五、应重视解题反思“培养不到位”
所谓反思，就是多层次、多角度地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考查、分析和思考，从而深化对问题的理解，优化思维过程，揭示问题的本质，探索一般规律，促进知识的同化和迁移，进而产生新的发现。
反思能够使学生从多方面、多角度地观察事物并寻求多种思路，养成在学习中质疑问题的优秀品质。教师在教学中应该引导学生积极反思，使之成为学生自觉学习的一种习惯，让学生在反思中领悟数学思想、方法，优化他们的认知结构，提高他们的思维能力。例如，是否存在常数a、b、c，使得等式1·22+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）对一切自然数都成立？并证明你的结论。（89年高考题）
本题可由特殊到一般进行解答。不少同学通过令n=1，2，3，列出了三元一次方程组，求解a、b、c，遗憾的是由于运算能力不过关，错解了这个方程组，导致后面全错；有的同学虽解对了a=3，b=11，c=10，但运用归纳法推证时，运算有误，无法得到n=K+1时的正确结论，最后不得不下了一个错误的结论。
由此可见，通过反思，教师应重视帮助学生纠正解题失误，强调错因剖析，让学生“吃一堑，长一智”，帮助学生树立“练后考100分”的信心。
例，若直线y=x+t与椭圆+y2=1相交于A、B两点，当t变化时，弦长|AB|的最大值是多少？
解：∵直线y=x+t与椭圆+y2=1相交于A、B两点，
∴把y=x+t代入椭圆方程+y2=1中，整理得5x2+8tx+4t2-4=0.
∵△=（8t）2-4×5×（4t2-4）=0.
∴- ∵由已知可设（x1，y2），（x2，y2），
∴x1+x2=，x1x2=
∴|AB|=·
=·
=·
∴当t=0时，|AB|max=
故弦长|AB|的最大值是。
通过反思可以发现，以下涉及直线与圆锥曲线的弦长的问题均可以采用同样的方法进行求解。
问题1：直线x+y-2=0截圆x2+y2=4所得弦长为多少？
问题2：已知一抛物线C的顶点在y轴上，焦点是F（2，-1），过点F的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|=，在抛物线的对称轴上取一点M，使得△ABM的面积等于4，求点M的坐标。
问题3：已知抛物线的准线是x=，对称轴上有一点，坐标为（6，2），抛物线与直线y=x-1所得弦长为3，求此抛物线的方程。
问题4：过双曲线2x2-y2-8x+6=0的右焦点的直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有多少条？
数学课堂教学是数学思维活动的教学，是教师与学生互相沟通、交往的过程。这种沟通是数学信息的接受、加工、传递的动态活动。学生是活动的中心人物，是认识的主体。因此，在教学设计中要突出和保障学生的主体地位，要依据学生的认知基础，给学生充分的思考时间和思考空间，全面调动学生的积极性，让学生在教师的引导下，主动地建构数学认知结构，并使学生的思维品质、探索精神、合作意识得到全面发展。
综上所述，认真落实“双基”，狠抓基础知识的教学，就能训练学生坚实的基本功；狠抓通性通法的教学，就能起到“做一题，学一法，会一类，通一片”的功效；强化基本能力培养，有助于提高学生的思维素质；狠抓探究过程引导，有助于提高学生的探究能力；狠抓学生解题反思能力的培养教学，对提高学生分析问题和解决问题的能力，适应素质教育的需要，大面积提高教学质量，都具有现实和深远的意义。
（责编 林 剑）
五个不到位
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2013）06B-
0079-03
作为教育局长、数学特级教师，到学校一线去听课，是我长期以来养成的工作习惯。在听课中、在与教师和学生的交流中，笔者经常感觉教师课堂教学有“五个不到位”，应给予足够重视。现归纳出来，与同行共勉。
一、应重视基础知识“归纳不到位”
每年的高考试题中有许多题取之于课本，或是课本习题的改型、拼凑。有选择、填空，也有解答题，即使是较难的题目，也能在课本中找到它的“影子”。因此，教师在复习教学中要重视课本，立足于课本，强化知识基础。我们讲复习立足课本，不是机械重复或是“炒冷饭”，而是要着力理清思路，系统梳理知识脉络，总结基本方法，精选范例，引导学生灵活运用知识，正确、迅速、简捷地解题。
例如，在复习“函数奇偶性”时着重抓以下几点：
1.抓住实质，力求用简短语言、数学符号来描述、梳理基本概念
f（-x）=f（x）？圮偶函数
f（-x）=-f（x）？圮奇函数
强调注意：①等式对定义域内的一切x均成立；②x，-x必须同时落在定义域中，即定义域关于原点对称；③f（x）是偶函数？圳f（x）的图像关于y轴对称；f（x）是奇函数？圳f（x）的图像关于原点对称；既奇又偶，非奇非偶函数均存在。
2.从定义、性质入手，归纳基本方法
（1）要证明某个函数f（x）是奇、偶函数，只须证明：第一，定义域对称；第二，f（-x）与±f（x）是否相等，或者用等价式子f（x）±f（-x）=0或者=±1的证明代替。
（2）两个奇（偶）函数的和与差，仍是奇（偶）函数；两个同奇或同偶的函数的积是偶函数，一奇一偶函数之积为奇函数。
（3）f（x）与有相同的奇偶性。
3.挖掘相关的知识点，加强基本联系
（1）利用奇偶函数的对称性可进行作图，也可以确定某图象对应的函数的奇偶性。
（2）奇函数在R+与R-上有相同的单调性，偶函数R+与R-上有相反的单调性。
（3）若奇函数在定义域内有最值，则最大最小值同时存在且互为相反数。
又如，在复习幂函数、指数函数、对数函数的图象时，难点在于图象的位置随a的变化情况，于是可帮助学生进行如下归纳整理：
①幂函数y=x2（x∈R）
小结：a逆时针方向增大，图象绕（1，1）逆时针摆动。
②指数函数y=-ax（a>0且a≠1）.
小结：分y轴左、右两边来看，a渐增大时，图象绕（0，1）逆时针摆动。
③对数函数y=logax（a>0且a≠1）
小结：分x轴上、下两边来看，a渐增大时，图象绕（1，0）顺时针摆动。
例l（92年高考）图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为：
（A）-2，-，，2 （B）2，，-，-2
（C）-，-2，2， （D）2，，-2，-
根据上面的结论，显然答案是（B）。
二、应重视通性通法“传授不到位”
通性通法通常指具有某种普遍意义的结论和方法。它辐射面广，易于大多数学生理解和掌握。高考也重在考查通性通法，遗憾的是我们许多教师尤其是年经教师在高考复习教学中喜爱标新立异，盲目求巧，大量增加“准结论”的传授，试图以巧取胜，其结果转移了学生的学习兴趣与目标，不但增加了学生的课业负担，也违背了大纲的要求，影响了高考成绩的大面积提高。这种脱离高考实际的做法，我们必须引起足够重视。
例如，1992年高考文科（24）题，求“sin220°+cos280°+sin220°cos280°的值”；95年高考理科（22）题求“sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值”与必修课本代数上册P193例4基本相同。解法不下4、5种，其中最常用的解法是降幂、和差化积、积化和差。从评卷提供的信息来看，一些学生解答不出，而另一些学生则用了对称构造法，三角形构造法及其他方法来解。这两种现象，至少反映教学过程中存在如下几个问题：其一，学生没有认真学；其二，学生学的方法多，掌握不牢；其三，教师热衷于“一题多解”，追求解题技巧，忽视常规解法的教学。因此，加强高考复习“常规”教学，是不容忽视的。
又如，解无理不等式的常规思路是化无理为有理，即转化为等价有理不等式来求解，图象法固然巧，但个别教师教学时本末倒置了。
在高考数学复习阶段，必须遵循教学规律，认真钻研《考纲》和《说明》，重视通性通法的教学。从题目的众多解法中分析选择通法，着眼于传授和培养学生分析解决某一类问题的一般方法，从而提高学生的一般解题能力。对那些带规律性、全局性和运用面广的方法，就应花大力气，深入研究，务必使学生理解实质，真正熟练掌握。而对那些局限性大，应用面窄的奇招、怪招则宜淡化。
三、应重视基本能力“培养不到位”
“重基础，出活题，考能力”，已成为目前高考命题“定势”，因此如何在总复习阶段，切实提高学生的数学能力，应该成为教师的“重头戏”。这里所指的能力应该包括数学学科的能力和一般能力。数学能力主要指逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力以及运用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。一般能力指可在不同领域的学习和工作中进行迁移的能力，如注意力、观察力、记忆力、想象力、思维力和组织力等。那么，在高三教学复习中应培养学生具备哪些能力才能取得较好的复习效果？笔者认为应培养学生具备以下几个方面的能力： 1.转化或化归的能力；
2.数形结合的能力；
3.分类讨论的能力；
4.用函数与方程思想分析问题和解决问题的能力；
5.应用数学知识解决实际问题的能力；
6.准确、迅速的运算能力；
7.较好的应试能力。
例如，已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其中弧长比为3∶1；③圆心到直线的距离为，求该圆的方程。（97高考文第25题）
转化的目标：设圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，确定a、b、r。
转化的手段：用待定系数法，辅以数形结合（图略）。
转化的方法：应用解几何知识将条件分别转化，找出关系式。
圆心到x轴、y轴的距离分别为|a|和|b|。
①转化为：r2=a2+1
②转化为：∠APB=90°，有AB=r，因此有r2=2b2
③转化为：=
联立①、②、③解方程可得到a、b、r。
四、应重视探究过程“引导不到位”
展示思维过程，通常从展示知识的发生过程、问题的探索过程、方法的思考过程三个方面进行。教师的数学课堂教学应该向学生展示自己的思维过程，和学生共同探讨，一起寻求解决问题的办法，让学生不但有机会了解教师解决问题的思想方法，还有机会了解教师在解决问题时遇到的挫折和挑战，与教师一起经历曲折与失误。同时，教师也要引导学生敢于、善于暴露自己的思维过程，这有助于课堂教学中师生互动和教师对学生学习程度的把握。
例如，反正弦函数的概念是学生学习反三角函数知识时学习的第一个概念，如果学生掌握了这个概念的形成过程，对概念有较深刻的理解，那么对后面的三个反三角函数概念的理解就十分容易了。
为此，笔者设计了三张幻灯片来创设情境。
第一张幻灯片：
第二张幻灯片：
第三张幻灯片：
像这样通过三张投影片以旧换新，步步紧跟，设法求答，提示概念的形成过程，学生感到自然、易理解，不仅知道概念是什么，而且知道概念是怎样想到的。
五、应重视解题反思“培养不到位”
所谓反思，就是多层次、多角度地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考查、分析和思考，从而深化对问题的理解，优化思维过程，揭示问题的本质，探索一般规律，促进知识的同化和迁移，进而产生新的发现。
反思能够使学生从多方面、多角度地观察事物并寻求多种思路，养成在学习中质疑问题的优秀品质。教师在教学中应该引导学生积极反思，使之成为学生自觉学习的一种习惯，让学生在反思中领悟数学思想、方法，优化他们的认知结构，提高他们的思维能力。例如，是否存在常数a、b、c，使得等式1·22+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）对一切自然数都成立？并证明你的结论。（89年高考题）
本题可由特殊到一般进行解答。不少同学通过令n=1，2，3，列出了三元一次方程组，求解a、b、c，遗憾的是由于运算能力不过关，错解了这个方程组，导致后面全错；有的同学虽解对了a=3，b=11，c=10，但运用归纳法推证时，运算有误，无法得到n=K+1时的正确结论，最后不得不下了一个错误的结论。
由此可见，通过反思，教师应重视帮助学生纠正解题失误，强调错因剖析，让学生“吃一堑，长一智”，帮助学生树立“练后考100分”的信心。
例，若直线y=x+t与椭圆+y2=1相交于A、B两点，当t变化时，弦长|AB|的最大值是多少？
解：∵直线y=x+t与椭圆+y2=1相交于A、B两点，
∴把y=x+t代入椭圆方程+y2=1中，整理得5x2+8tx+4t2-4=0.
∵△=（8t）2-4×5×（4t2-4）=0.
∴-
∴x1+x2=，x1x2=
∴|AB|=·
=·
=·
∴当t=0时，|AB|max=
故弦长|AB|的最大值是。
通过反思可以发现，以下涉及直线与圆锥曲线的弦长的问题均可以采用同样的方法进行求解。
问题1：直线x+y-2=0截圆x2+y2=4所得弦长为多少？
问题2：已知一抛物线C的顶点在y轴上，焦点是F（2，-1），过点F的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|=，在抛物线的对称轴上取一点M，使得△ABM的面积等于4，求点M的坐标。
问题3：已知抛物线的准线是x=，对称轴上有一点，坐标为（6，2），抛物线与直线y=x-1所得弦长为3，求此抛物线的方程。
问题4：过双曲线2x2-y2-8x+6=0的右焦点的直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有多少条？
数学课堂教学是数学思维活动的教学，是教师与学生互相沟通、交往的过程。这种沟通是数学信息的接受、加工、传递的动态活动。学生是活动的中心人物，是认识的主体。因此，在教学设计中要突出和保障学生的主体地位，要依据学生的认知基础，给学生充分的思考时间和思考空间，全面调动学生的积极性，让学生在教师的引导下，主动地建构数学认知结构，并使学生的思维品质、探索精神、合作意识得到全面发展。
综上所述，认真落实“双基”，狠抓基础知识的教学，就能训练学生坚实的基本功；狠抓通性通法的教学，就能起到“做一题，学一法，会一类，通一片”的功效；强化基本能力培养，有助于提高学生的思维素质；狠抓探究过程引导，有助于提高学生的探究能力；狠抓学生解题反思能力的培养教学，对提高学生分析问题和解决问题的能力，适应素质教育的需要，大面积提高教学质量，都具有现实和深远的意义。
（责编 林 剑）