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不知从何时开始，教育无痕成为人们追寻的一种理想境界，或许这正是其无痕与美妙之处：不知不觉、潜移默化、循序渐进、春风化雨、润物无声……
“有”和“无”本来是一对意义相反的哲学概念，更是中国哲学的永恒命题，正如老子《道德经》所云：“无名，天地之始;有名，万物之母”“圣人处无为之事，行不言之教”“善行无辙迹，善言无瑕谪”。因此“无痕”与“有痕”也是一对辩证统一的概念。我们常说无中生有，从无到有，有无相生，都表示两者之间的相生相长的内在联系。“有痕”即具有痕迹，留下印记。学生通过课堂学习首先应该获得基础知识，形成基本技能，应该与走进课堂之前相比有了明显的进步与发展。“无痕”即没有痕迹，不留下印记。儿童是一个个鲜活的生命体，而生命体的生长成熟又是无时无刻都在发生变化的，真正的教育就像呼吸一样是自然而然的过程。正如美国教育家杜威在论述什么是教育时指出：“一切教育都是通过个人参与人类的社会意识而进行的。这个过程几乎是在出生时就在无意识中开始了。”“由于这种不知不觉的教育，个人便渐渐分享人类曾经积累下来的智慧和道德的财富。”
通过对无痕教育近十年的理论研究与实践探索，我们对无痕教育做出如下界定：无痕教育是指隐藏教育意图，遵循教育规律，通过间接方式，使受教育者得到更好发展的教育样态。无痕教育首先是一种教育方式，更是一种教育思想。要达到教育无痕的理想境界，首先需要了解无痕教育的有痕特征，然后逐步实现从有痕至于无痕。本文试图以数学教学为例阐述无痕教育实践的有痕特征。
一、无痕教育的实践价值
在数学教学中实施无痕教育的价值主要表现为以下“四有”：
第一，知识技能的获得更有效。知识技能是学生学习发展的基础性目标，是落实数学思考、问题解决和情感态度目标的有效载体，具有明显的“有痕”特征。根据认知学习理论，数学学习的过程是新的学习内容与学生原有的数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程。尽管数学知识和技能属于显性知识，但是其获得过程不能依赖死记硬背与机械模仿，应该注重知识的“生长点”和“延伸点”。实施无痕教育，依据知识技能的内在规律和儿童的认知特征，能让学生在不知不觉中自然开始新知的学习，不露痕迹地利用原有的认知经验，通过主动建构和潜移默化理解数学知识，并通过循序渐进的巩固和由易到难的练习逐步形成数学技能。
第二，思维能力的提高更有序。数学是思维的科学，思维是人内隐的心理活动，思维的发展是有阶段性的，儿童学习数学的过程是数学思维活动不断提高的过程。儿童思维的发展经历着从低级到高级、从不完善到完善的有序发展过程。小学儿童思维的基本特点是“从以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式。但是这种抽象逻辑思维在很大程度上，仍然是直接与感性经验相联系的，仍然具有很大成分的具体形象性。”根据儿童思维发展的特点，其学习数学过程中的思维能力可以分为“感知动作思维、具体形象思维、抽象逻辑思维和辩证逻辑思维四种”。从思维发展的特点可以看出，这四种思维方式之间并没有明确的界限，而且学生在学习数学的过程中常常是多种思维协同作用的。因此，实施无痕教育，一方面能循序渐进地培养学生的各种数学技能，另一方面也能更加有序地发展学生的多种思维能力。
第三，数学思想的感悟更有机。我们常说：比知识重要的是方法，比方法重要的是思想，比思想重要的是精神。数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括。可见，数学思想其实是一种隐性知识，数学思想是数学的灵魂，也是数学内容和数学方法的结晶。小学生学习的数学尽管属于简单的初等数学，但是里面却蕴含了丰富的数学思想。东北师大史宁中教授指出义务教育阶段学生数学学习需要特别关注抽象、推理和模型这三种基本思想。而依据张景中院士的观点，小学数学教学思想主要有三个方面：函数思想、数形结合思想、寓理于算的思想。尽管不同专家对数学思想的认识不同，但都认为数学思想是一种无痕的、看不见的力量，是无法直接传输给学生的，只能在学生学习数学的过程中逐步感悟。因此，实施数学无痕教育，可以在学生学习数学的过程中如春风化雨般潜移默化地渗透、熏陶、感悟和提升。
第四，情感态度的发展更有利。《义务教育数学课程标准（2011版）》指出：根据课程目标，广大教师要把落实情感态度的目标作为己任，努力把情感态度目标有机地融合在数学教学过程之中。新一轮课程改革以来，知识与技能、過程与方法、情感与态度成为大家对三维目标的共识。情感态度不仅是超越具体学科并贯穿在学生的学习和生活之中的，而且将会在学生今后的发展中持续产生深远作用。在无痕教育理念的指导下，通过教师的精心设计与组织，使得数学教学的内容与学生的生活实际紧密联系，数学学习的过程符合学生的认知规律和思维特征，有利于在淡墨无痕中引发学生的求知欲望，激发学生的学习兴趣，丰富学生的情感体验，培养学生的信心意志，养成严谨的科学态度。可见，情感态度的培育更需要体现无痕教育的“不言之教”“不教之教”。
二、无痕教育的实践要素
在厘清了无痕教育实践的“四有”价值的基础上，下面将以案例解读的方式进一步探寻无痕教育的数学课堂实践要素。
1.学习内容有活度。叶圣陶曾经说过“教育更像农业”，而“农业”意味着默默耕耘，静待花开，春风化雨，不急不躁，从容不迫，顺应自然。杜威也说过“教育即生长”，揭示了教育的本质是一种渐渐变化而又充满无痕魅力的美妙过程。“生长”本是生命的特征，而任何生命体的生长是看不出明显痕迹的，课堂是生命体之间的碰撞与交流，因此，教育即生长则意味着教育本应无痕。数学学科的特性是高度的抽象性、思维的严谨性和应用的广泛性，而儿童的思维则是以形象性和具体性为主。因此，义务教育阶段的数学课程，许多学习内容都可以在儿童的实际生活中找到背景。数学学习内容有活度就体现在从儿童的生活经验出发，贴近儿童的生活现实，并适当借助已有旧知，寻找儿童生活现实与数学现实之间的“生长点”，让新知在儿童的心田自然生长出来，使得儿童在不知不觉中开始学习之旅，使得学习像呼吸一样自然发生。 案例1：二年级“9的乘法口诀”课始教学片段的内容选择：
师：小朋友们，你知道西游记的故事吗？我们来看一段动画片吧。
（师播放3分钟视频：动画片《西游记》及主题曲《一个师傅和三个徒弟》）
师：你们听过这首歌吗？会唱的跟着一起唱。
（学生边看动画片边跟着唱：“白龙马，蹄朝西，驮着唐三藏跟着三徒弟。……”）
师：看完这段动画片，大家有没有发现歌词中有哪些数呀？
生1：有1和3，一个师傅和三个徒弟。
生2：有几万里，说取经的路很长很长。
生3：有72，七十二变制敌，说的是孙悟空有七十二变化。
生4：还有81，八十一难拦路，说的是取经路上困难很多。
师：同学们观察都很仔细！这些数里面，比如72和81，与今天我们将要学习的内容有关呢。今天我们就来学习“9的乘法口诀”。
《西游记》是儿童喜爱的神话故事，孙悟空、唐僧等形象是小朋友熟悉的神奇人物。课堂一开始时选择播放动画片并让学生跟唱主题曲，学生在不经意间进入了自己熟悉、喜欢的故事情境。歌曲中的“七十二变制敌”“八十一难拦路”等歌词，正是本课要学习9的乘法口诀的得数。再通过“72变”和“81难”的数据，很自然地过渡到最大的一位数9，于不知不觉间开始了新课的学习。这样的设计，呈现鲜活而有趣的内容，充分考虑低年级学生年龄和心理特点，极大地激发了学生学习的积极性和主动性，为学习新知做好充分的铺垫。
2.学习方式有坡度。儿童是怎样学习和思维的？正如苏联教育家乌申斯基所说：“一般说来，儿童是依靠形状、颜色、声音和感觉来进行思维的。”儿童不是成年人，也不是小大人;儿童也不是抽象的人，儿童是一个个具体而鲜活的生命体。儿童就是儿童，儿童具有其独特的年龄特征和认知规律。而数学学科的高度抽象性和严密逻辑性常常使得一些儿童过早地失去了对数学的兴趣。因此，数学课堂学习的方式应该适应儿童，适合儿童，为了儿童。学习方式的设计应该有坡度、有层次，更多采用直观具体与生动形象的方式，激发儿童的学习兴趣与动机，让儿童在积极主动中参与知识技能的形成过程，让儿童在潜移默化中理解数学知识的本质。
案例2：二年级“认识乘法”中乘法概念初步建立时的分层感知：
引入新课后，组织学生观察例图。提问：要知道图上有几只兔和几只鸡，你有什么办法？
学生回答：数兔时，是2个2个数的，因为它们是2只2只地站在一起的;数鸡时，是3个3个数的，它们都是3只3只地围在一起的。
教师板书：
提问：这两道加法有什么相同的地方？（都是几个几相加）
接着让学生动手摆小棒：先摆出4个2，再摆出2个4。
然后让学生画圆片：先画出3个5，再画出5个3。
最后让学生拍手游戏：先拍手表示3个3，再拍手表示2个5。
乘法的认识是学生认知上的一次飞跃，乘法概念的建立首先需要理解“几个几”，“几个几”是乘法的物化形态。而要让学生理解“几个几”这一抽象知识则需要充分的直观和操作，让儿童的数学思维在指尖上跳跃。以上设计，从直观观察出发，进而让学生操作小棒、画圆片图、拍手游戏，让学生对奇妙的数学现象用眼看、用耳听、用手做、用脑想，调动他们多种感官参与数学学习，从而使得学生的数学学习有趣味、有层次、有坡度，逐步让学生对“几个几”的数学现象熟记于心、操作于行，学会从乘法眼光去观察生活中特殊的数学现象，进而为深入理解乘法的意义打下坚实的基础。
3.学习过程有深度。理想的学习过程不能止步于教材例题和习题，也不能止步于知识和技能，应该让学生从简单出发，向本质迈进。学生学习数学的过程应该首先建立在自己实践与思考的基础之上，并充分发挥同伴之间的交往互动与合作交流的作用，让每个学生在丰富的数学活动中不断进行学习材料的概括与抽象，进而提升思考的广度、深度和难度水平，逐步做到全面、深入、准确、细致地思考问题，善于抓住数学对象的本质和内在联系解决问题，不断提高自身的数学素养。
案例3：四年级“解决问题的策略——画图”的探索性练习：
出示基本条件：张庄小学原来有一个长方形操场，长50米，宽40米。
（1）出示初步探索的条件和问题：（要求学生在头脑中画图然后验证结果）
①长增加8米，面积增加多少平方米？
②宽增加8米，面积增加多少平方米？
（2）出示再次探索的条件问题：（要求学生先脑中画图，再到纸上画图验证）
③長和宽各增加8米，面积增加多少平方米？
④长和宽各减少8米，面积减少多少平方米？
（3）出示深入探索的条件和问题：（要求先猜测答案再画图验证）
⑤长增加8米，宽减少8米，面积改变吗？为什么？
⑥长减少8米，宽增加8米呢？为什么？
这道题的设计充满了挑战和探索，充分体现了画图策略的价值所在。教者采用一题多变的方式，让学生在运用画图策略的过程中探索变化规律，享受数学思维活动的快乐。首先，题目出示初步探索的条件和问题，学生利用新知建立的模型在头脑中即可画图解决。接下来的“变式”设计，更是把数学思维推向高潮：由“各增加”到“各减少”的演变使学生的思维更加趋向严密，由长增加（减少）同时宽减少（增加）相同长度而猜想面积变化情况，培养学生推理能力，再通过“变化”和“不变”的追问让学生体悟到数学辩证法思想。这道探索题的精心设计，紧紧围绕画图策略，让学生不断猜测、验证和联想、推理，经历不同情形下的数形变化过程，探究图形变化中的内在规律，从而引导学生在数学活动中提升思维的深刻性。
4.学习体验有温度。有人说数学是“冰冷的美丽”，也有人说数学学习是“火热的思考”，而我觉得最理想的数学学习过程应该是温暖的智慧之旅。义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，面向的是全体儿童，使得“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。儿童通过数学课堂不仅获得知识技能，还要发展思维与感悟思想，更为重要的是形成终生受用的核心素养。因此，伴随着儿童学习历程的同时应该充满了求知的快乐，充满了积极的情感，充满了美好温暖的回忆，进而为其一生的可持续和全面发展打下坚实的基础。 案例4：四年级“平均数”的情境练习：
（在学生理解了平均数的含义并逐步形成技能后，出示“模拟当经理”情境练习题）
师：请问各位经理，上周本店哪一天生意最好？哪一天生意最不好？
生：星期五生意最好，星期一生意最不好。
師：聪明经理还能推测原因呢！谁是聪明经理？
生1：星期五生意好的原因可能是周末放假，人们有时间休闲了。
生2：星期一大人要上班，小孩要上学，比较忙，所以生意不太好。
生3：星期五买的水果多，周末两天还没吃完，所以周一生意不太好。
师：厉害的经理面对这样的状况会采取哪些经营手段呢？
生1：星期一降价促销或者打折。
生2：星期一可以买一送一搞些活动。
生3：星期五也可以适当涨价。
师：各位经理，仓库里没货了。根据上周两种水果销售情况，你觉得哪一种水果好卖一些就吩咐员工多进一些这种水果，不过请用数据说话。
生1：苹果好卖。因为苹果5天平均每天销售8箱，橘子平均每天销售7箱。
生2：我也认为苹果好卖，不过不必算平均数，都是5天，算总和也可以，苹果5天卖出40箱，橘子5天卖出35箱。
师：那么，下周一定还是苹果好卖吗？谁说了算呢？
生：不一定还是苹果好卖。顾客说了算，因为顾客是上帝。
本来，平均数是十分抽象的统计量，要让四年级学生理解平均数的含义并灵活进行问题解决，尤其需要教师选择合适的素材，设计精巧的问题，让学生饶有趣味地积极投入到数学活动中去。上述片段中教师设计的几个问题都是生活问题（哪天生意好与不好、生意好与不好的原因、采取哪些经营手段、进货的数据支撑、推测下周销售情况等），这些问题距离学生的生活比较贴近，而学生则根据前面学习平均数时积累的活动经验，自觉地把这些生活问题转化为数学问题，并且结合生活实际大胆思考与决策，充分体现了数据的力量，有效发展了数据分析观念。
综上所述，无痕教育的实践特征主要体现在“四有价值”与“四有要素”。无痕与有痕，是辩证统一并可以相互转化的。有痕，主要体现的是基础知识和基本能力的显性变化;无痕，更多体现的是必备品格和关键能力的隐性提升。要达到无痕的境界，需要经历有痕的阶段;通过有痕的阶段，最终达到无痕的境界。教育的最终目的是要让学生获得带得走、看不见而又用得着的东西，即当下都在研究与提倡的核心素养。
我所追寻的无痕教育，是建立在教育学、心理学、美学和哲学内涵基础上的一种理想境界，具有独特的实践意义和理论价值。无痕教育，无声无息，无缝无形;无痕教育，有情有理，有法有度。
本文是江苏省教育科学规划“十三五”课题《基于核心素养的十五年一贯制学校课程体系建设的实践研究》（D/2016/01/25）的阶段成果。
“有”和“无”本来是一对意义相反的哲学概念，更是中国哲学的永恒命题，正如老子《道德经》所云：“无名，天地之始;有名，万物之母”“圣人处无为之事，行不言之教”“善行无辙迹，善言无瑕谪”。因此“无痕”与“有痕”也是一对辩证统一的概念。我们常说无中生有，从无到有，有无相生，都表示两者之间的相生相长的内在联系。“有痕”即具有痕迹，留下印记。学生通过课堂学习首先应该获得基础知识，形成基本技能，应该与走进课堂之前相比有了明显的进步与发展。“无痕”即没有痕迹，不留下印记。儿童是一个个鲜活的生命体，而生命体的生长成熟又是无时无刻都在发生变化的，真正的教育就像呼吸一样是自然而然的过程。正如美国教育家杜威在论述什么是教育时指出：“一切教育都是通过个人参与人类的社会意识而进行的。这个过程几乎是在出生时就在无意识中开始了。”“由于这种不知不觉的教育，个人便渐渐分享人类曾经积累下来的智慧和道德的财富。”
通过对无痕教育近十年的理论研究与实践探索，我们对无痕教育做出如下界定：无痕教育是指隐藏教育意图，遵循教育规律，通过间接方式，使受教育者得到更好发展的教育样态。无痕教育首先是一种教育方式，更是一种教育思想。要达到教育无痕的理想境界，首先需要了解无痕教育的有痕特征，然后逐步实现从有痕至于无痕。本文试图以数学教学为例阐述无痕教育实践的有痕特征。
一、无痕教育的实践价值
在数学教学中实施无痕教育的价值主要表现为以下“四有”：
第一，知识技能的获得更有效。知识技能是学生学习发展的基础性目标，是落实数学思考、问题解决和情感态度目标的有效载体，具有明显的“有痕”特征。根据认知学习理论，数学学习的过程是新的学习内容与学生原有的数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程。尽管数学知识和技能属于显性知识，但是其获得过程不能依赖死记硬背与机械模仿，应该注重知识的“生长点”和“延伸点”。实施无痕教育，依据知识技能的内在规律和儿童的认知特征，能让学生在不知不觉中自然开始新知的学习，不露痕迹地利用原有的认知经验，通过主动建构和潜移默化理解数学知识，并通过循序渐进的巩固和由易到难的练习逐步形成数学技能。
第二，思维能力的提高更有序。数学是思维的科学，思维是人内隐的心理活动，思维的发展是有阶段性的，儿童学习数学的过程是数学思维活动不断提高的过程。儿童思维的发展经历着从低级到高级、从不完善到完善的有序发展过程。小学儿童思维的基本特点是“从以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式。但是这种抽象逻辑思维在很大程度上，仍然是直接与感性经验相联系的，仍然具有很大成分的具体形象性。”根据儿童思维发展的特点，其学习数学过程中的思维能力可以分为“感知动作思维、具体形象思维、抽象逻辑思维和辩证逻辑思维四种”。从思维发展的特点可以看出，这四种思维方式之间并没有明确的界限，而且学生在学习数学的过程中常常是多种思维协同作用的。因此，实施无痕教育，一方面能循序渐进地培养学生的各种数学技能，另一方面也能更加有序地发展学生的多种思维能力。
第三，数学思想的感悟更有机。我们常说：比知识重要的是方法，比方法重要的是思想，比思想重要的是精神。数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括。可见，数学思想其实是一种隐性知识，数学思想是数学的灵魂，也是数学内容和数学方法的结晶。小学生学习的数学尽管属于简单的初等数学，但是里面却蕴含了丰富的数学思想。东北师大史宁中教授指出义务教育阶段学生数学学习需要特别关注抽象、推理和模型这三种基本思想。而依据张景中院士的观点，小学数学教学思想主要有三个方面：函数思想、数形结合思想、寓理于算的思想。尽管不同专家对数学思想的认识不同，但都认为数学思想是一种无痕的、看不见的力量，是无法直接传输给学生的，只能在学生学习数学的过程中逐步感悟。因此，实施数学无痕教育，可以在学生学习数学的过程中如春风化雨般潜移默化地渗透、熏陶、感悟和提升。
第四，情感态度的发展更有利。《义务教育数学课程标准（2011版）》指出：根据课程目标，广大教师要把落实情感态度的目标作为己任，努力把情感态度目标有机地融合在数学教学过程之中。新一轮课程改革以来，知识与技能、過程与方法、情感与态度成为大家对三维目标的共识。情感态度不仅是超越具体学科并贯穿在学生的学习和生活之中的，而且将会在学生今后的发展中持续产生深远作用。在无痕教育理念的指导下，通过教师的精心设计与组织，使得数学教学的内容与学生的生活实际紧密联系，数学学习的过程符合学生的认知规律和思维特征，有利于在淡墨无痕中引发学生的求知欲望，激发学生的学习兴趣，丰富学生的情感体验，培养学生的信心意志，养成严谨的科学态度。可见，情感态度的培育更需要体现无痕教育的“不言之教”“不教之教”。
二、无痕教育的实践要素
在厘清了无痕教育实践的“四有”价值的基础上，下面将以案例解读的方式进一步探寻无痕教育的数学课堂实践要素。
1.学习内容有活度。叶圣陶曾经说过“教育更像农业”，而“农业”意味着默默耕耘，静待花开，春风化雨，不急不躁，从容不迫，顺应自然。杜威也说过“教育即生长”，揭示了教育的本质是一种渐渐变化而又充满无痕魅力的美妙过程。“生长”本是生命的特征，而任何生命体的生长是看不出明显痕迹的，课堂是生命体之间的碰撞与交流，因此，教育即生长则意味着教育本应无痕。数学学科的特性是高度的抽象性、思维的严谨性和应用的广泛性，而儿童的思维则是以形象性和具体性为主。因此，义务教育阶段的数学课程，许多学习内容都可以在儿童的实际生活中找到背景。数学学习内容有活度就体现在从儿童的生活经验出发，贴近儿童的生活现实，并适当借助已有旧知，寻找儿童生活现实与数学现实之间的“生长点”，让新知在儿童的心田自然生长出来，使得儿童在不知不觉中开始学习之旅，使得学习像呼吸一样自然发生。 案例1：二年级“9的乘法口诀”课始教学片段的内容选择：
师：小朋友们，你知道西游记的故事吗？我们来看一段动画片吧。
（师播放3分钟视频：动画片《西游记》及主题曲《一个师傅和三个徒弟》）
师：你们听过这首歌吗？会唱的跟着一起唱。
（学生边看动画片边跟着唱：“白龙马，蹄朝西，驮着唐三藏跟着三徒弟。……”）
师：看完这段动画片，大家有没有发现歌词中有哪些数呀？
生1：有1和3，一个师傅和三个徒弟。
生2：有几万里，说取经的路很长很长。
生3：有72，七十二变制敌，说的是孙悟空有七十二变化。
生4：还有81，八十一难拦路，说的是取经路上困难很多。
师：同学们观察都很仔细！这些数里面，比如72和81，与今天我们将要学习的内容有关呢。今天我们就来学习“9的乘法口诀”。
《西游记》是儿童喜爱的神话故事，孙悟空、唐僧等形象是小朋友熟悉的神奇人物。课堂一开始时选择播放动画片并让学生跟唱主题曲，学生在不经意间进入了自己熟悉、喜欢的故事情境。歌曲中的“七十二变制敌”“八十一难拦路”等歌词，正是本课要学习9的乘法口诀的得数。再通过“72变”和“81难”的数据，很自然地过渡到最大的一位数9，于不知不觉间开始了新课的学习。这样的设计，呈现鲜活而有趣的内容，充分考虑低年级学生年龄和心理特点，极大地激发了学生学习的积极性和主动性，为学习新知做好充分的铺垫。
2.学习方式有坡度。儿童是怎样学习和思维的？正如苏联教育家乌申斯基所说：“一般说来，儿童是依靠形状、颜色、声音和感觉来进行思维的。”儿童不是成年人，也不是小大人;儿童也不是抽象的人，儿童是一个个具体而鲜活的生命体。儿童就是儿童，儿童具有其独特的年龄特征和认知规律。而数学学科的高度抽象性和严密逻辑性常常使得一些儿童过早地失去了对数学的兴趣。因此，数学课堂学习的方式应该适应儿童，适合儿童，为了儿童。学习方式的设计应该有坡度、有层次，更多采用直观具体与生动形象的方式，激发儿童的学习兴趣与动机，让儿童在积极主动中参与知识技能的形成过程，让儿童在潜移默化中理解数学知识的本质。
案例2：二年级“认识乘法”中乘法概念初步建立时的分层感知：
引入新课后，组织学生观察例图。提问：要知道图上有几只兔和几只鸡，你有什么办法？
学生回答：数兔时，是2个2个数的，因为它们是2只2只地站在一起的;数鸡时，是3个3个数的，它们都是3只3只地围在一起的。
教师板书：
提问：这两道加法有什么相同的地方？（都是几个几相加）
接着让学生动手摆小棒：先摆出4个2，再摆出2个4。
然后让学生画圆片：先画出3个5，再画出5个3。
最后让学生拍手游戏：先拍手表示3个3，再拍手表示2个5。
乘法的认识是学生认知上的一次飞跃，乘法概念的建立首先需要理解“几个几”，“几个几”是乘法的物化形态。而要让学生理解“几个几”这一抽象知识则需要充分的直观和操作，让儿童的数学思维在指尖上跳跃。以上设计，从直观观察出发，进而让学生操作小棒、画圆片图、拍手游戏，让学生对奇妙的数学现象用眼看、用耳听、用手做、用脑想，调动他们多种感官参与数学学习，从而使得学生的数学学习有趣味、有层次、有坡度，逐步让学生对“几个几”的数学现象熟记于心、操作于行，学会从乘法眼光去观察生活中特殊的数学现象，进而为深入理解乘法的意义打下坚实的基础。
3.学习过程有深度。理想的学习过程不能止步于教材例题和习题，也不能止步于知识和技能，应该让学生从简单出发，向本质迈进。学生学习数学的过程应该首先建立在自己实践与思考的基础之上，并充分发挥同伴之间的交往互动与合作交流的作用，让每个学生在丰富的数学活动中不断进行学习材料的概括与抽象，进而提升思考的广度、深度和难度水平，逐步做到全面、深入、准确、细致地思考问题，善于抓住数学对象的本质和内在联系解决问题，不断提高自身的数学素养。
案例3：四年级“解决问题的策略——画图”的探索性练习：
出示基本条件：张庄小学原来有一个长方形操场，长50米，宽40米。
（1）出示初步探索的条件和问题：（要求学生在头脑中画图然后验证结果）
①长增加8米，面积增加多少平方米？
②宽增加8米，面积增加多少平方米？
（2）出示再次探索的条件问题：（要求学生先脑中画图，再到纸上画图验证）
③長和宽各增加8米，面积增加多少平方米？
④长和宽各减少8米，面积减少多少平方米？
（3）出示深入探索的条件和问题：（要求先猜测答案再画图验证）
⑤长增加8米，宽减少8米，面积改变吗？为什么？
⑥长减少8米，宽增加8米呢？为什么？
这道题的设计充满了挑战和探索，充分体现了画图策略的价值所在。教者采用一题多变的方式，让学生在运用画图策略的过程中探索变化规律，享受数学思维活动的快乐。首先，题目出示初步探索的条件和问题，学生利用新知建立的模型在头脑中即可画图解决。接下来的“变式”设计，更是把数学思维推向高潮：由“各增加”到“各减少”的演变使学生的思维更加趋向严密，由长增加（减少）同时宽减少（增加）相同长度而猜想面积变化情况，培养学生推理能力，再通过“变化”和“不变”的追问让学生体悟到数学辩证法思想。这道探索题的精心设计，紧紧围绕画图策略，让学生不断猜测、验证和联想、推理，经历不同情形下的数形变化过程，探究图形变化中的内在规律，从而引导学生在数学活动中提升思维的深刻性。
4.学习体验有温度。有人说数学是“冰冷的美丽”，也有人说数学学习是“火热的思考”，而我觉得最理想的数学学习过程应该是温暖的智慧之旅。义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，面向的是全体儿童，使得“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。儿童通过数学课堂不仅获得知识技能，还要发展思维与感悟思想，更为重要的是形成终生受用的核心素养。因此，伴随着儿童学习历程的同时应该充满了求知的快乐，充满了积极的情感，充满了美好温暖的回忆，进而为其一生的可持续和全面发展打下坚实的基础。 案例4：四年级“平均数”的情境练习：
（在学生理解了平均数的含义并逐步形成技能后，出示“模拟当经理”情境练习题）
师：请问各位经理，上周本店哪一天生意最好？哪一天生意最不好？
生：星期五生意最好，星期一生意最不好。
師：聪明经理还能推测原因呢！谁是聪明经理？
生1：星期五生意好的原因可能是周末放假，人们有时间休闲了。
生2：星期一大人要上班，小孩要上学，比较忙，所以生意不太好。
生3：星期五买的水果多，周末两天还没吃完，所以周一生意不太好。
师：厉害的经理面对这样的状况会采取哪些经营手段呢？
生1：星期一降价促销或者打折。
生2：星期一可以买一送一搞些活动。
生3：星期五也可以适当涨价。
师：各位经理，仓库里没货了。根据上周两种水果销售情况，你觉得哪一种水果好卖一些就吩咐员工多进一些这种水果，不过请用数据说话。
生1：苹果好卖。因为苹果5天平均每天销售8箱，橘子平均每天销售7箱。
生2：我也认为苹果好卖，不过不必算平均数，都是5天，算总和也可以，苹果5天卖出40箱，橘子5天卖出35箱。
师：那么，下周一定还是苹果好卖吗？谁说了算呢？
生：不一定还是苹果好卖。顾客说了算，因为顾客是上帝。
本来，平均数是十分抽象的统计量，要让四年级学生理解平均数的含义并灵活进行问题解决，尤其需要教师选择合适的素材，设计精巧的问题，让学生饶有趣味地积极投入到数学活动中去。上述片段中教师设计的几个问题都是生活问题（哪天生意好与不好、生意好与不好的原因、采取哪些经营手段、进货的数据支撑、推测下周销售情况等），这些问题距离学生的生活比较贴近，而学生则根据前面学习平均数时积累的活动经验，自觉地把这些生活问题转化为数学问题，并且结合生活实际大胆思考与决策，充分体现了数据的力量，有效发展了数据分析观念。
综上所述，无痕教育的实践特征主要体现在“四有价值”与“四有要素”。无痕与有痕，是辩证统一并可以相互转化的。有痕，主要体现的是基础知识和基本能力的显性变化;无痕，更多体现的是必备品格和关键能力的隐性提升。要达到无痕的境界，需要经历有痕的阶段;通过有痕的阶段，最终达到无痕的境界。教育的最终目的是要让学生获得带得走、看不见而又用得着的东西，即当下都在研究与提倡的核心素养。
我所追寻的无痕教育，是建立在教育学、心理学、美学和哲学内涵基础上的一种理想境界，具有独特的实践意义和理论价值。无痕教育，无声无息，无缝无形;无痕教育，有情有理，有法有度。
本文是江苏省教育科学规划“十三五”课题《基于核心素养的十五年一贯制学校课程体系建设的实践研究》（D/2016/01/25）的阶段成果。