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[摘 要]通过“面积与面积单位”的两次教学，分析学生建构面积概念时出现的真实思维障碍。教师在教学中要设计有层次性的活动，给予学生足够的操作时间与空间，让学生既能了解面积是表示“形”的大小，又能很好地把握面积的“实质”，从而促进学生对面积概念的真理解。
[关键词]面积；面积单位；面积概念
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）14-0014-02
在教学“面积与面积单位”时，当学生认识了1平方厘米后，为更好地帮学生明确面积概念、建立“平方厘米”的表象，教师出示了一张正方形的纸片，让学生先估计再测量它的面积，学生给出了如图1所示的测量方法。对此，教师只能慨叹：学生经常混淆周长与面积的概念。
为什么总是出现这样的现象？学生真实的思维障碍在哪里？学生能说出面积的“定义”，就代表他真正理解了这个概念吗？教学中，设计什么活动，才能让学生既了解面积是表示“形”的大小，又能很好地把握面积的“实质”？下面，我將结合“面积概念建构”的两次教学来分析学生出现上述问题的真实思维障碍，以及相应的解决办法。
一、“线”与“面”混淆怎么办？
【尝试一】
师：（通过课前交流，引出师生比手掌大小的活动，让学生明确：手掌面的大小就是手掌的面积）手掌有面积，那数学书的封面有面积吗？数学书封面的面积指的是什么？（学生仅仅能用手指出数学书封面的面积，用语言描述时很生涩）
师：还能找到其他物体的面积吗？（在教师的引领下，学生找到了黑板、课桌等物体表面的面积）
师：我们找到了黑板面、课桌面、课本封面等物体表面的面积。那图形有面积吗？
师（课件呈现长方形、正方形、圆、平行四边形）：这些平面图形的面积指的又是什么呢？
……
一节课下来，尽管学生能“鹦鹉学舌”般地用生涩的语言简单描述什么是面积，但“面积概念建构”这一教学活动有如走过场，并没有引领学生真正深入地体验和感知面积概念的本质。要实现学生对面积的真理解，教学活动的设计就应凸显层次性。带着这样的思考，我进行了二次执教。
【尝试二】
1.感知面
师（板书：面）：认识这个字吗？这节课我们要研究的内容就和面有关。仔细观察，你能从哪些物体上找到面？
生1：我能从书上找到面。
师：你能指一下哪里是书的面吗？
（学生做了一个摸书面的动作）
师：她做了一个什么动作？
生（齐）：摸。
师：一个摸的动作，让我们直观地感受到哪里是数学书的封面。谁能像这位同学这样摸出其他物体的面？
生2（边摸边说）：这是文具盒的一个面；这是黑板的表面……
师（出示树叶、巧克力等）：我还带来几件物品，能找到它们的面吗？
师（出示杯子）：你能找到杯子的面吗？（学生回答略）
师：你们不仅找到了杯子这两个平平的面，就连这个弯曲的面也逃不过你们的眼睛。
师：我们从这么多物体的表面上找到了面。如果我把杯子的这个面（上面）印画下来，会是什么形状？
生3：圆形。（教师用课件呈现）
师：如果把数学书的封面印画下来呢？
生4：长方形。（教师用课件呈现）
师：树叶的面呢？
生5：手掌形。
师（课件呈现）：会得到这样一个不规则的图形。
师（课件呈现）：你们能找到这三个封闭图形的面吗？谁来摸一摸？
2.感知面积
师（课件呈现圆形、长方形、不规则图形）：对比这三个封闭图形，哪个图形的面最大？哪个图形的面最小？
生6：长方形的面最大，圆的面最小。
师：那黑板表面与课桌表面相比呢？
生7：黑板面大，课桌面小。
师：看来，面有大有小，物体的表面或封闭图形的大小就是它们的面积。比如，黑板表面的大小就是黑板面的面积；数学书封面的大小就是数学书封面的面积。谁能像老师这样边摸边说其他物体表面的面积？
生8（边摸边说）：地面的大小就是地面的面积；文具盒这个面的大小就是它的面积……
师：刚才我们研究了物体表面的面积，那这些封闭图形的面积指的又是什么呢？ （学生交流）
师（总结）：通过刚才的交流，我们对面积有了进一步的理解。
二、对比反思中的教学策略
两次执教结束后，我们团队根据学生的学习水平分别对12名学生进行现场测评。给学生提供材料：一张面积是6平方厘米的长方形纸片、一把尺子、面积为1平方厘米的正方形纸片若干。测评问题为：长方形的面积是（ ），周长是（ ）。学生两次答题的正确率分别为：72%，90%。显然，不同的教学活动，给学生带来的体验与感知是不同的，进而呈现不同的教学效果。
1.先感知“面”再比较“面的大小”——凸显活动设计的层次性
“思而后疑”，一个有效的教学活动缘于教师的深思和质疑，在一次次的自我否定中逐步完善教学活动。
初次执教，因为我没有给学生提供有效且富有层次性的活动，所以学生对“面在哪”没有足够的体验与感知。没有具体的表象做支撑，学生自然没有建立起面积是表示“形”的大小，即“一大片”的概念，不能很好地把握面积的“实质”，即面积是“小面积”的累加，所以在测量正方形的面积时便出现了图1的情况。
课后，我对面积的概念及本质进行了客观分析，决定对活动进行重建：首先通过找面、摸面、画面等系列操作活动，引领学生感知面在哪里，什么是面，建立面是“一大片”的表象；然后借助比面、估面、量面等体验活动，明确无论是规则的、不规则的物体表面，还是封闭图形的面，都是有大小的，物体表面或封闭图形的大小就是它们的面积，进而实现面积概念的建构。带着这样的理念与思路，我再次走进课堂，进行了第二次执教。从测评结果来看，这样的活动设计是比较有成效的。 2.“做足”活动过程——保证操作与体验的时间与空间
“智慧训练的目的是形成智慧而不是贮存记忆，是培养出智慧的探索者，而不仅仅是博学之才。”因而，“赶场式”的操作与体验过程，注定活动是失败的。第一次执教时，学生跟随教师的步伐，用短暂的几分钟匆匆走完了建构面积概念的历程，导致学生对面积的意义及本质理解不准确。而第二次执教时，我放慢步子，将学生操作与体验的过程做足、做实，给学生提供充分的时间与空间去感知。当学生再次使用1平方厘米这个面积单位测量正方形面积时，便有了如圖2所示的做法和下面的交流：
生1：用4个1平方厘米的小正方形才能把大正方形摆满，所以这个大正方形的面积就是4平方厘米。
生2：你为什么要把小正方形放在大正方形的上面测量，而不把它放到边上测量？
生1：因为我们要测量的是这个正方形的面的大小，而不是边的长短（边比画边交流）。
生2：你怎么知道它的面积是4平方厘米？
生1：因为它是由4个1平方厘米的小正方形组成的。
师：也就是说它包含了几个面积单位，面积就是几，对吗？
学生在操作及互相质疑的过程中主动对比“线”与“面”的不同，进而建立起“周长”与“面积”概念的清晰表象。这种体验与感受只有在亲历活动和直观感知的基础之上才能得到，是任何教师单纯的说教所替代不了的。
正如《儿童怎样学习数学——皮亚杰研究的教育含义》一书中谈到的“智慧自动作发端，活动是联结主客体的桥梁。把活动原则实施于教学过程，就应放手让儿童去动手、动脑探索外物，获得丰富的逻辑——数理经验，通过反省的抽象，逐步形成、发展自己的认知结构。”
三、历经异样的活动与收获异样的精彩
课堂教学时间仅有短短的40分钟，合理有效地实施教学活动，根据教学活动安排教学内容就显得非常重要。一个丰富、有趣的教学活动不仅能使教学任务顺利实施，使学生学会自主探索、动手实践、合作交流，成为学习的主人，还能增进师生间的情感交流，使教师成功地成为课堂教学中的组织者、引导者与合作者。
第二次执教“面积和面积单位”时，因为我对活动有了更深层次的思考，所以学生在学习时不仅明确了面积的“形”，即面积的概念，还体会到了面积的“神”，即面积的核心——单位、包含单位的个数，计量面积的原则——密铺性、叠合性等。尽管面积的“神”对学生来说难以言表，但它早已深入学生内心，学生之间智慧的碰撞、思维的交融，便是最好的例证。
不一样的活动，不一样的体验，只要教师舍得花时间给学生提供操作与探索的空间，让他们经历有效的活动，学生定会收获不一样的精彩！
（责编 金 铃）
[关键词]面积；面积单位；面积概念
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2018）14-0014-02
在教学“面积与面积单位”时，当学生认识了1平方厘米后，为更好地帮学生明确面积概念、建立“平方厘米”的表象，教师出示了一张正方形的纸片，让学生先估计再测量它的面积，学生给出了如图1所示的测量方法。对此，教师只能慨叹：学生经常混淆周长与面积的概念。
为什么总是出现这样的现象？学生真实的思维障碍在哪里？学生能说出面积的“定义”，就代表他真正理解了这个概念吗？教学中，设计什么活动，才能让学生既了解面积是表示“形”的大小，又能很好地把握面积的“实质”？下面，我將结合“面积概念建构”的两次教学来分析学生出现上述问题的真实思维障碍，以及相应的解决办法。
一、“线”与“面”混淆怎么办？
【尝试一】
师：（通过课前交流，引出师生比手掌大小的活动，让学生明确：手掌面的大小就是手掌的面积）手掌有面积，那数学书的封面有面积吗？数学书封面的面积指的是什么？（学生仅仅能用手指出数学书封面的面积，用语言描述时很生涩）
师：还能找到其他物体的面积吗？（在教师的引领下，学生找到了黑板、课桌等物体表面的面积）
师：我们找到了黑板面、课桌面、课本封面等物体表面的面积。那图形有面积吗？
师（课件呈现长方形、正方形、圆、平行四边形）：这些平面图形的面积指的又是什么呢？
……
一节课下来，尽管学生能“鹦鹉学舌”般地用生涩的语言简单描述什么是面积，但“面积概念建构”这一教学活动有如走过场，并没有引领学生真正深入地体验和感知面积概念的本质。要实现学生对面积的真理解，教学活动的设计就应凸显层次性。带着这样的思考，我进行了二次执教。
【尝试二】
1.感知面
师（板书：面）：认识这个字吗？这节课我们要研究的内容就和面有关。仔细观察，你能从哪些物体上找到面？
生1：我能从书上找到面。
师：你能指一下哪里是书的面吗？
（学生做了一个摸书面的动作）
师：她做了一个什么动作？
生（齐）：摸。
师：一个摸的动作，让我们直观地感受到哪里是数学书的封面。谁能像这位同学这样摸出其他物体的面？
生2（边摸边说）：这是文具盒的一个面；这是黑板的表面……
师（出示树叶、巧克力等）：我还带来几件物品，能找到它们的面吗？
师（出示杯子）：你能找到杯子的面吗？（学生回答略）
师：你们不仅找到了杯子这两个平平的面，就连这个弯曲的面也逃不过你们的眼睛。
师：我们从这么多物体的表面上找到了面。如果我把杯子的这个面（上面）印画下来，会是什么形状？
生3：圆形。（教师用课件呈现）
师：如果把数学书的封面印画下来呢？
生4：长方形。（教师用课件呈现）
师：树叶的面呢？
生5：手掌形。
师（课件呈现）：会得到这样一个不规则的图形。
师（课件呈现）：你们能找到这三个封闭图形的面吗？谁来摸一摸？
2.感知面积
师（课件呈现圆形、长方形、不规则图形）：对比这三个封闭图形，哪个图形的面最大？哪个图形的面最小？
生6：长方形的面最大，圆的面最小。
师：那黑板表面与课桌表面相比呢？
生7：黑板面大，课桌面小。
师：看来，面有大有小，物体的表面或封闭图形的大小就是它们的面积。比如，黑板表面的大小就是黑板面的面积；数学书封面的大小就是数学书封面的面积。谁能像老师这样边摸边说其他物体表面的面积？
生8（边摸边说）：地面的大小就是地面的面积；文具盒这个面的大小就是它的面积……
师：刚才我们研究了物体表面的面积，那这些封闭图形的面积指的又是什么呢？ （学生交流）
师（总结）：通过刚才的交流，我们对面积有了进一步的理解。
二、对比反思中的教学策略
两次执教结束后，我们团队根据学生的学习水平分别对12名学生进行现场测评。给学生提供材料：一张面积是6平方厘米的长方形纸片、一把尺子、面积为1平方厘米的正方形纸片若干。测评问题为：长方形的面积是（ ），周长是（ ）。学生两次答题的正确率分别为：72%，90%。显然，不同的教学活动，给学生带来的体验与感知是不同的，进而呈现不同的教学效果。
1.先感知“面”再比较“面的大小”——凸显活动设计的层次性
“思而后疑”，一个有效的教学活动缘于教师的深思和质疑，在一次次的自我否定中逐步完善教学活动。
初次执教，因为我没有给学生提供有效且富有层次性的活动，所以学生对“面在哪”没有足够的体验与感知。没有具体的表象做支撑，学生自然没有建立起面积是表示“形”的大小，即“一大片”的概念，不能很好地把握面积的“实质”，即面积是“小面积”的累加，所以在测量正方形的面积时便出现了图1的情况。
课后，我对面积的概念及本质进行了客观分析，决定对活动进行重建：首先通过找面、摸面、画面等系列操作活动，引领学生感知面在哪里，什么是面，建立面是“一大片”的表象；然后借助比面、估面、量面等体验活动，明确无论是规则的、不规则的物体表面，还是封闭图形的面，都是有大小的，物体表面或封闭图形的大小就是它们的面积，进而实现面积概念的建构。带着这样的理念与思路，我再次走进课堂，进行了第二次执教。从测评结果来看，这样的活动设计是比较有成效的。 2.“做足”活动过程——保证操作与体验的时间与空间
“智慧训练的目的是形成智慧而不是贮存记忆，是培养出智慧的探索者，而不仅仅是博学之才。”因而，“赶场式”的操作与体验过程，注定活动是失败的。第一次执教时，学生跟随教师的步伐，用短暂的几分钟匆匆走完了建构面积概念的历程，导致学生对面积的意义及本质理解不准确。而第二次执教时，我放慢步子，将学生操作与体验的过程做足、做实，给学生提供充分的时间与空间去感知。当学生再次使用1平方厘米这个面积单位测量正方形面积时，便有了如圖2所示的做法和下面的交流：
生1：用4个1平方厘米的小正方形才能把大正方形摆满，所以这个大正方形的面积就是4平方厘米。
生2：你为什么要把小正方形放在大正方形的上面测量，而不把它放到边上测量？
生1：因为我们要测量的是这个正方形的面的大小，而不是边的长短（边比画边交流）。
生2：你怎么知道它的面积是4平方厘米？
生1：因为它是由4个1平方厘米的小正方形组成的。
师：也就是说它包含了几个面积单位，面积就是几，对吗？
学生在操作及互相质疑的过程中主动对比“线”与“面”的不同，进而建立起“周长”与“面积”概念的清晰表象。这种体验与感受只有在亲历活动和直观感知的基础之上才能得到，是任何教师单纯的说教所替代不了的。
正如《儿童怎样学习数学——皮亚杰研究的教育含义》一书中谈到的“智慧自动作发端，活动是联结主客体的桥梁。把活动原则实施于教学过程，就应放手让儿童去动手、动脑探索外物，获得丰富的逻辑——数理经验，通过反省的抽象，逐步形成、发展自己的认知结构。”
三、历经异样的活动与收获异样的精彩
课堂教学时间仅有短短的40分钟，合理有效地实施教学活动，根据教学活动安排教学内容就显得非常重要。一个丰富、有趣的教学活动不仅能使教学任务顺利实施，使学生学会自主探索、动手实践、合作交流，成为学习的主人，还能增进师生间的情感交流，使教师成功地成为课堂教学中的组织者、引导者与合作者。
第二次执教“面积和面积单位”时，因为我对活动有了更深层次的思考，所以学生在学习时不仅明确了面积的“形”，即面积的概念，还体会到了面积的“神”，即面积的核心——单位、包含单位的个数，计量面积的原则——密铺性、叠合性等。尽管面积的“神”对学生来说难以言表，但它早已深入学生内心，学生之间智慧的碰撞、思维的交融，便是最好的例证。
不一样的活动，不一样的体验，只要教师舍得花时间给学生提供操作与探索的空间，让他们经历有效的活动，学生定会收获不一样的精彩！
（责编 金 铃）