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冯回祥，华中科技大学附属小学数学教师，湖北省特级教师，中学高级教师。现任湖北省武汉市数学学会理事，华中师范大学硕士研究生首批校外导师。
在“国培”讲课时，有一位青年教师问我，在求两个数的“最大公因数”和“最小公倍数”时，是否可以用符号来表示结果，因为教材中没用符号来表示。
在我看来，他问的是一个带有普遍性的问题。我的回答是：引进“符号”是必须的，因为它简洁、方便；用符号（a，b）和〔a，b〕来分别表示两个数的最大公因数和最小公倍数，肯定是规范的，这个可查阅谷超豪主编的数学词典。
这次简单的交流，给人一种“批判性精神”缺失、“符号意识”淡薄的印象。在此，就“符号意识”的培养这一话题，来谈谈我的一些思考。
英国著名哲学家、数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”可以说，没有符号，就没有现代数学。《标准（2011年版）》指出：“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用，是数学表达和进行数学思考的重要形式。”因此，符号意识的培养理应受到数学教师的高度重视。那么，教师要如何培养小学生的符号意识呢？
第一，借助经验，让学生喜欢数学符号。
在生活中，符号无处不在。如，红色的“十”是红十字会的专用标志，红底黄色的“m”是麦当劳的标志，马路上、街道旁有很多标有交通符号的牌子……生活中的符号可谓举不胜举。了解符号，运用符号已成为现代人生活中不可缺少的一部分。毫无疑问，小学生在生活中获得的关于符号的认知经验以及相应的符号意识，对于认知数学符号会有很大的帮助。
小学生在六年的学习中，要认识很多的数学符号，有对象符号（如数字、圆周率）、运算符号、关系符号、结合符号（如小括号）、性质符号（如正、负号）、略写符号（如因为“∵”、所以“∴”）等。学生如何理解和掌握这么多的符号，需要教师借助经验，进行智慧教学。
如，教师在教学阿拉伯数字符号时，借助经验进行形象教学，让学生诵读：1像铅笔，细又长；2像鸭子，水中游；3像耳朵，两道弯；4像小旗，迎风飘……实践表明，富有童趣的儿歌能激发学生的认知兴趣，有助于他们记忆字形并掌握书写体。
又如，教学加、减、乘、除四种运算符号时，教师可以通过形象的比喻并结合课件动态演示，让学生去理解符号代表的含义。如，加号的演示：先出现一横，再移来一竖，以显示“合并”“添上”“增加”的意思。减号的演示：从“ ”里拿走一竖，表示“去掉”“减少”的意思。乘号的演示：将“ ”转动45°成“×”，表示特殊的加，即同数连加。有了这些做基础，到教学除法时，学生一般都会自己解释除号“÷”的含义。用这样的方式教学，教学效果非常明显，孩子们也印象深刻，不会出错。
第二，引导学生认识数学符号的特点。
数学符号是人们在研究数量关系和空间形式的过程中产生的。
首先，要让学生认识数学符号具有抽象性。如单位“1”不仅可以表示一个物体、一个图形、一个计量单位，还可以是一个群体等。这个“1”具有一定的抽象性。
其次，要让学生认识数学符号的简洁性。数学中有些内容，学生用文字来叙述是较麻烦的，如果能用符号来表示，不仅简洁，而且方便。如，用（a b）c=ac bc来表示乘法的分配律。又如，对求24和30的最大公因数和最小公倍数的题，学生很容易掌握其求法，但很不乐意把结果用文字表达出来，因为要写那么多字。最终，他们表达出来的结果要么是不认真的，要么是不够完整的。如果教师允许学生这样表示结果：（24，30）=6；〔24，30〕=120。学生不仅会很开心，而且能感受到数学符号的简洁美，进而更喜爱数学，可谓一举多得。事实上，在小学数学教学中，还可以大胆引用一些简洁的符号，如平行“∥”、垂直“⊥”、不等号“≠”、三角形“△”、因为“∵”、所以“∴”等等。
其三，让学生明确数学符号的一般性。
如果用具体的数和运算符号组成式子，只能表示个别具体的数量之间的关系。如，长是8厘米，宽是2厘米，8×2=16（平方厘米）仅代表的是那个具体的长方形的面积。又如，2014新版教材五年级上册第五单元例1的题目是，小红1岁，爸爸就是1 30=31岁，也是仅仅表示具体的年龄。而用字母表示，则简单明了，还能概括出数量关系的一般规律，在较大范围内肯定了数学规律的正确性。在刚才例1的题目中，如果说“1 30，2 30，3 30”代表的是特殊性关系式，那么“a 30”就可代表一般关系式。该式既是表示任何一年爸爸与小红的岁数关系，又抽象概括出了数量关系的一般规律，即无论过多少年，两人的年龄差是不变的。当然，运算定律、计算公式、有关法则均可表示变化的一般规律。
第三，在具体情境中，体会数学符号的作用。
学习数学的目的之一是要使学生懂得符号的意义，会运用符号解决问题。小学生处于形象思维向抽象思维发展阶段，教师要尽可能地向学生提供丰富的学习材料，使学习活动处于情境之中。教师还要有意识地利用学生的生活经验，引导学生感受到符号引入的必要，鼓励学生用自己独特的方式表示具体情境中的数量关系，逐步走进符号化的数学世界。
在进行常用的数学符号教学时，教师要结合具体情境，让学生了解符号产生的需要，认识到由于使用符号，才能清楚、简便地表达这些具体情境中的数量关系和变化规律。如，在“认识分数”教学中，教师创设“等分苹果”的情境，引导学生从“一半”过渡到“二分之一”，最终引出数学符号语言“[12]”。又如，教学方程的意义时，可以借助天平，创设“平衡——不平衡——平衡”的问题情境：
（1）天平左边放的是一个100g的杯子中装了一些水，左边的质量怎样表示？
（2）天平右边放的是250g的砝码，如果天平不平衡，怎样用算式来表示？
（3）如果天平平衡，又该用一个怎样的算式来表示？
针对上述问题，学生需要用字母x来表示杯子中水的质量，并用“x 100”来表示第（1）问；用算式“x 100>250”或“x 100<250”来表示第（2）问；用“x 100=250”来表示第（3）问。在这个过程中，学生不仅体验到了引用x的需要，也认识到了用x表示水的质量的作用，同时加深了对符号在数学中作用的体会。
第四，在解决问题中，经历符号化的过程。
系统地运用符号，可以简明地表达数学思想，以顺应思路解决问题，从而简化数学运算或推理过程，加快数学思维的速度，促进数学思想的交流。以一道计算题为例：
6只鸡的质量，等于3只鸭的质量，等于2只鹅的质量。已知一只鸡的质量是3千克，鸭和鹅的质量各是多少？
这道题虽然是一道计算题，但与普通计算题相比，它对学生的逻辑思维能力要求更高些。要想让学生思维顺畅，就必须自觉地运用符号去进行描述和表达。
首先，学生可以列出下面的等式：
6只鸡=3只鸭=2只鹅
2只鸡=1只鸭
这里，学生用汉字来代替真实的动物，已经是在运用符号了，但仅此是不够的，教师还应该因势利导，要求学生用更简洁的符号来表示，在教师的引导下学生用x、y、z分别代替鸡、鸭、鹅，上面的式子就变成了：
6x=3y=2z
2x=1y
至此，学生不仅成功地运用符号描述并表达了数量关系，而且，成功地实现了从文字到字母符号的转变。接下来在教师的引导下，学生得到结果就很容易了。
由此可见，在解决问题的过程中，让学生经历符号化的过程，再通过交流、分享，积累解决问题的经验，他们就会体会到用数、形将实际问题“符号化”的优越性。
符号意识的培养是一个长期的过程。我们应紧密结合数学各个知识领域的教学，引导学生在发现问题、提出问题、分析和解决问题的过程中，理解并运用数学符号进行表征、转换、运算和推理，切实有效地发展学生的符号意识。
责任编辑 严 芳
在“国培”讲课时，有一位青年教师问我，在求两个数的“最大公因数”和“最小公倍数”时，是否可以用符号来表示结果，因为教材中没用符号来表示。
在我看来，他问的是一个带有普遍性的问题。我的回答是：引进“符号”是必须的，因为它简洁、方便；用符号（a，b）和〔a，b〕来分别表示两个数的最大公因数和最小公倍数，肯定是规范的，这个可查阅谷超豪主编的数学词典。
这次简单的交流，给人一种“批判性精神”缺失、“符号意识”淡薄的印象。在此，就“符号意识”的培养这一话题，来谈谈我的一些思考。
英国著名哲学家、数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”可以说，没有符号，就没有现代数学。《标准（2011年版）》指出：“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用，是数学表达和进行数学思考的重要形式。”因此，符号意识的培养理应受到数学教师的高度重视。那么，教师要如何培养小学生的符号意识呢？
第一，借助经验，让学生喜欢数学符号。
在生活中，符号无处不在。如，红色的“十”是红十字会的专用标志，红底黄色的“m”是麦当劳的标志，马路上、街道旁有很多标有交通符号的牌子……生活中的符号可谓举不胜举。了解符号，运用符号已成为现代人生活中不可缺少的一部分。毫无疑问，小学生在生活中获得的关于符号的认知经验以及相应的符号意识，对于认知数学符号会有很大的帮助。
小学生在六年的学习中，要认识很多的数学符号，有对象符号（如数字、圆周率）、运算符号、关系符号、结合符号（如小括号）、性质符号（如正、负号）、略写符号（如因为“∵”、所以“∴”）等。学生如何理解和掌握这么多的符号，需要教师借助经验，进行智慧教学。
如，教师在教学阿拉伯数字符号时，借助经验进行形象教学，让学生诵读：1像铅笔，细又长；2像鸭子，水中游；3像耳朵，两道弯；4像小旗，迎风飘……实践表明，富有童趣的儿歌能激发学生的认知兴趣，有助于他们记忆字形并掌握书写体。
又如，教学加、减、乘、除四种运算符号时，教师可以通过形象的比喻并结合课件动态演示，让学生去理解符号代表的含义。如，加号的演示：先出现一横，再移来一竖，以显示“合并”“添上”“增加”的意思。减号的演示：从“ ”里拿走一竖，表示“去掉”“减少”的意思。乘号的演示：将“ ”转动45°成“×”，表示特殊的加，即同数连加。有了这些做基础，到教学除法时，学生一般都会自己解释除号“÷”的含义。用这样的方式教学，教学效果非常明显，孩子们也印象深刻，不会出错。
第二，引导学生认识数学符号的特点。
数学符号是人们在研究数量关系和空间形式的过程中产生的。
首先，要让学生认识数学符号具有抽象性。如单位“1”不仅可以表示一个物体、一个图形、一个计量单位，还可以是一个群体等。这个“1”具有一定的抽象性。
其次，要让学生认识数学符号的简洁性。数学中有些内容，学生用文字来叙述是较麻烦的，如果能用符号来表示，不仅简洁，而且方便。如，用（a b）c=ac bc来表示乘法的分配律。又如，对求24和30的最大公因数和最小公倍数的题，学生很容易掌握其求法，但很不乐意把结果用文字表达出来，因为要写那么多字。最终，他们表达出来的结果要么是不认真的，要么是不够完整的。如果教师允许学生这样表示结果：（24，30）=6；〔24，30〕=120。学生不仅会很开心，而且能感受到数学符号的简洁美，进而更喜爱数学，可谓一举多得。事实上，在小学数学教学中，还可以大胆引用一些简洁的符号，如平行“∥”、垂直“⊥”、不等号“≠”、三角形“△”、因为“∵”、所以“∴”等等。
其三，让学生明确数学符号的一般性。
如果用具体的数和运算符号组成式子，只能表示个别具体的数量之间的关系。如，长是8厘米，宽是2厘米，8×2=16（平方厘米）仅代表的是那个具体的长方形的面积。又如，2014新版教材五年级上册第五单元例1的题目是，小红1岁，爸爸就是1 30=31岁，也是仅仅表示具体的年龄。而用字母表示，则简单明了，还能概括出数量关系的一般规律，在较大范围内肯定了数学规律的正确性。在刚才例1的题目中，如果说“1 30，2 30，3 30”代表的是特殊性关系式，那么“a 30”就可代表一般关系式。该式既是表示任何一年爸爸与小红的岁数关系，又抽象概括出了数量关系的一般规律，即无论过多少年，两人的年龄差是不变的。当然，运算定律、计算公式、有关法则均可表示变化的一般规律。
第三，在具体情境中，体会数学符号的作用。
学习数学的目的之一是要使学生懂得符号的意义，会运用符号解决问题。小学生处于形象思维向抽象思维发展阶段，教师要尽可能地向学生提供丰富的学习材料，使学习活动处于情境之中。教师还要有意识地利用学生的生活经验，引导学生感受到符号引入的必要，鼓励学生用自己独特的方式表示具体情境中的数量关系，逐步走进符号化的数学世界。
在进行常用的数学符号教学时，教师要结合具体情境，让学生了解符号产生的需要，认识到由于使用符号，才能清楚、简便地表达这些具体情境中的数量关系和变化规律。如，在“认识分数”教学中，教师创设“等分苹果”的情境，引导学生从“一半”过渡到“二分之一”，最终引出数学符号语言“[12]”。又如，教学方程的意义时，可以借助天平，创设“平衡——不平衡——平衡”的问题情境：
（1）天平左边放的是一个100g的杯子中装了一些水，左边的质量怎样表示？
（2）天平右边放的是250g的砝码，如果天平不平衡，怎样用算式来表示？
（3）如果天平平衡，又该用一个怎样的算式来表示？
针对上述问题，学生需要用字母x来表示杯子中水的质量，并用“x 100”来表示第（1）问；用算式“x 100>250”或“x 100<250”来表示第（2）问；用“x 100=250”来表示第（3）问。在这个过程中，学生不仅体验到了引用x的需要，也认识到了用x表示水的质量的作用，同时加深了对符号在数学中作用的体会。
第四，在解决问题中，经历符号化的过程。
系统地运用符号，可以简明地表达数学思想，以顺应思路解决问题，从而简化数学运算或推理过程，加快数学思维的速度，促进数学思想的交流。以一道计算题为例：
6只鸡的质量，等于3只鸭的质量，等于2只鹅的质量。已知一只鸡的质量是3千克，鸭和鹅的质量各是多少？
这道题虽然是一道计算题，但与普通计算题相比，它对学生的逻辑思维能力要求更高些。要想让学生思维顺畅，就必须自觉地运用符号去进行描述和表达。
首先，学生可以列出下面的等式：
6只鸡=3只鸭=2只鹅
2只鸡=1只鸭
这里，学生用汉字来代替真实的动物，已经是在运用符号了，但仅此是不够的，教师还应该因势利导，要求学生用更简洁的符号来表示，在教师的引导下学生用x、y、z分别代替鸡、鸭、鹅，上面的式子就变成了：
6x=3y=2z
2x=1y
至此，学生不仅成功地运用符号描述并表达了数量关系，而且，成功地实现了从文字到字母符号的转变。接下来在教师的引导下，学生得到结果就很容易了。
由此可见，在解决问题的过程中，让学生经历符号化的过程，再通过交流、分享，积累解决问题的经验，他们就会体会到用数、形将实际问题“符号化”的优越性。
符号意识的培养是一个长期的过程。我们应紧密结合数学各个知识领域的教学，引导学生在发现问题、提出问题、分析和解决问题的过程中，理解并运用数学符号进行表征、转换、运算和推理，切实有效地发展学生的符号意识。
责任编辑 严 芳