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摘要：极限是微积分学中最重要最基本的概念之一，微积分中许多重要概念都建立在极限概念基础之上，也是公认的学习重、难点，本文希望通过用通俗的语言剖析该定义的逻辑结构，分析该定义的辩证关系，加深人们对极限概念的理解。
关键词：数列极限；逻辑结构；辩证分析
引言
我们知道，极限是微积分学中最重要最基本的概念之一，这是因为微积分学中的许多重要概念，如导数、偏导数、定积分、重积分、级数等都建立在极限概念基础之上。或者说没有极限就没有微积分学，因此说极限概念贯穿了微积分学的始终。从方法论来看，应用极限方法来研究函数是区别高等数学与初等数学的重要特征。现代的微积分学，在用极限的方法阐述其理论基础当中，有“?着－N”、“?着－X”、“?着-?啄”三种比较重要的语言，这三种语言是极限的精确定义。在这三种语言当中，“?着-?啄”语言是比较复杂的，可以说是全书的理论核心。但是我们若掌握“?着－N”定义，性质、证明等，就容易接受函数极限和微积分学的其它许多概念。
一“ε—Ν”定义
我们知道数列极限的精确定义是：设有一个无穷数列｛an｝和一个常数A。如果对于预先任意给定无论多
么小的正数ε，总相应存在一个正整数Ν，使得当所有n＞Ν 时，则有不等式|an—A|＜ε恒成立，那么就把A叫做｛an｝的极限，记作 A
若表示为逻辑记号，其形式为：
的确，“?着－N”定义以及它的一套严谨完备的推理论证方法，是人们最难于理解的概念，使初学者难以驾驭，它像一个很高的台阶，摆在初学者面前，令人生畏，如果这部分内容掌握不好，一是使初学者丧失信心，二是影响后继课的学习，因此学习好这部分内容有一定的意义。
二“ε—Ν”定义的逻辑结构
“ε—Ν”定义的难点是（1）定义本身有丰富的内涵，概念新，术语多，例如“任意、给定、存在、多么小、总相应、找到、所有、”等等，（2）该定义字母元素多而且又互有联系，诸如｛an｝、n、Ν 、ε、A，等，（3）所用证明的数学方法是不等式；（4）证明极限方法思维不容易掌握。
我们理解定义，首先必须会证明有关题目，必然找出其定义的逻辑结构。
我们所说逻辑结构：是指数学思维构成的规律性，在这里特指构成“?着－N ”定义整体的各个部分的搭配与排列方式。
在这个意义下，“?着－N ”定义可分为三个条件，一个结论。
定义的条件为：
（1）对于任意给定小的正数ε；
（2）总可以找到一个自然数Ν；
（3）当n＞Ν时，保证|an—A|＜ε恒成立；
定义的结论为：A是an的极限。
这样用“ε—Ν”定义证明，即可化成下列步骤：
第一步：对于任意给定ε＞0；
第二步：解绝对值不等式|an—A|＜ε，用以找N，求出与ε有关的n；
第三步：取正整数N，并令n＞N；
第四步：由不等式|an—A|＜ε成立；
结论：A是｛an｝的极限。
例如，求证
三“ε—Ν”定义的辩证分析
对数列极限内容的理解，集中在一点，就是难在对定义的理解上，也是数学思维发展的一个至高点，必须运用合乎逻辑思维的形式、规律和方法来达到认识定义的目的。正确的理解并运用概念，是一件复杂而重要的工作，经验告诉我们，要特别注意在“?着－N”定义用语的逻辑结构基础上，一定要弄清楚每一句话、每一个词和字母的含义及它们之间的辩证关系，即辩证分析。
所谓辩证分析：用普遍联系的，发展的，全面的观点去看待数学问题，这里是指把“?着－N”定义分解成几个部分、方面、因素分别加以考察，找出各个部分的本质属性及彼此之间相互作用、相互影响的联系。同时要理解一个新定义，要有一个反复认识、不断深化的过程，要达到学懂、理解、灵活运用三个层次，最好的办法能从正、反两个方面的对照研究，反复推敲，加以剖析，才能求得真正明白。下面从几个方面来分析“?着－N”定义：
(一)、“设有一个无穷数列｛an｝和一个常数A” 数学的特点之一是它的结论确定性，任何一种计算方法，都要按照该方法计算时，都能得出确定的结果，无穷数列也不例外，例如从0.9 ，0.99 ，0.999 ，…1-■，…可以看出，随着项数越来越增大，数列越來越接近于1，因此，为了确定某变量趋近某一个数值，最先确定不是这个数的本身，而是一串这同它愈来愈近似的数值，然后对一串数进行考察而把它确定下来，是“从有限中找到无限”的认识方法在数学中的表现，人们是通过有限的步骤进而认识无限的结果，只用无穷运算才会产生极限的，极限总是和某一个无限的变化过程相联系的，而这个结果是唯一的，有且只有一个。
（二）、“如果对于预先任意给定无论多么小的正数?着，”这里?着﹥0，是要多么小就多么小的数，而这里“任意”、“給定”的含义是很深刻的，说明了?着具有两重性：任意性和确定性。?着具有任意性，它告诉人们，?着要取多么小就可以取多么小，不能附加任何条件。?着具有确定性，这个?着一旦确定，就不在变了，对于的两重性，可以这样理解，所谓任意性是对数列极限的全过程而言，?着必须具有绝对的任意性，只有这样才能保证?着任意小，才能使N很大，在n﹥N时，不等式|an—A|＜ε才成立，这样才能说明an→A 。所谓确定性是指极限全过程某一片段（瞬间）来说，?着又是一个确定的数，如取?着＝10-20 、?着＝10-31、?着＝ 10-35……，不等式|an—A|＜ε皆成立，具有相对的稳定性。
以上这些表明an→A的无限过程是通过无限个相对稳定性最后实现的，而这些无穷个相对稳定性的总和构成了?着的绝对任意性，?着的两重性，深刻地反映了全过程的精确性和任一瞬间的近似性之间的辩证关系，?着的两重性说明了极限是过程和结果的统一。
反之，在定义中去任意性，只给确定性行不行？例如a5＝0.99999，0.99999-1=0.00001，这时若取?着＝0.0001， ?着＝0.0001﹥0.99999-1则不能说明an是以1为极限的，反而离1更远了。如果去掉确定性，只有任意性，数列an的无限过程难以表达，因为?着不确定，N也无法找到。
（三）、“总相应存在一个正整数Ν”由?着找到N, N是正整数也有两重性，即存在性和选择性。存在性系指一定存在且能找到N, 选择性系指根据什么找N呢，找出多大才符合要求呢？这与?着有关，首先给定?着，然后才能找到N，N依赖于?着，所以N是?着的函数。而N取多大为合适呢？一般说来，?着越小则N越大，?着确定N就确定性，由?着选择N, ?着存在性就决定N的存在性，?着任意性决定了N的选择性。这样保证了数列an项的数值趋近于A。
反之删去这句话，N便不存在，无法找到n，后面“n﹥N”则更没有意义。只有找到N，才能找到n，才能保证|an—A|＜ε成立。由?着的任意性可知，an→A,即｛an｝的极限是A 。
从上述可以看出N与?着的关系,N 又是与ε密切相关的,如果ε不给定,N一般就找不到,当ε给定以,N 是存在的、固定的；又因为ε是可以任意给定,N也是有选择性的。
在这里，一方面,表现N依赖于，所以N是的函数。即相对于ε的任意性,N也相应是未定的；另一方面,事实上，N+1,N+2,……，都可以充当N 的角色。即ε确定之后，N 可以是相当任意的,并不唯一,只要存在或找到就行了。当然,找N时会发现很多技巧，这也是由人的思维定式及数学严谨的推理方式所确定的，在“确定”与“未定”这一对矛盾的概念中，在极限定义中于N上辩证地统一起来了。同样,对a 而言，N是固定的、静止的、里程碑式的，而n是无限的,不定的,运动的，n 与N是运动与静止的关系,也在极限概念下辩证地联系起来了。在实际中,不少人困惑于：既然有N，为什么还要取n﹥N? 这正是由一般思维方式过渡到辩证思维方式所产生的困惑。事实上,用当n﹥N时,|an—A|＜ε来定义极限概念也是完全可以的，就是因为N不是唯一的。这正说明数列极限是人的一般思维方式（即抽象思维、探索性思维、形象思维和直觉思维等。）向辩证思维发展的过程。
（四）“使得当所有n﹥N时，”也就是说|an—A|＜ε皆成立，前提是n﹥N,而n﹥N系指数列第N项后的一切项数，n＝N+K，（k＝1、2、3、…）所以|a—A|＜ε系指数列中一些项与A之差小于前边给定的，第N后面的一切a与A的差都小于，这正是当“n→∞，aA”的确切含义。
反之，将“n﹥N”后面的一切项改成某些项可否？不可，例如： 和0.999，0.9999，…0.9999999，这些只能表示一些数，而没有极限。
（五）、“则有不等式|an—A|＜ε恒成立，”因为N是ε的函数，通过ε找N是通过解不等式|an—A|＜ε才能找到n，当n﹥N，N是我们所要找的，由于第N项后面的一切项都满足|an—A|＜ε，所以N可以放大，但不能缩小，这样才能保证不等式|an—A|＜ε恒成立。
反之，将不等式|an—A|＜ε中的绝对值符号去掉可否？不可，对于一个有极限的数列来说，an可能比A大，也可能比A小，也可能时而大于A或时而小于A 。换句话说：an→A可能有三种情况，an大于A而趋近于A；an小于A而趋近于A；还可能时而大于A或时而小于A。定义统一用an与A的绝对值来表示an→A，能包括上述三种情况。这样，一方面能保证任意ε小而大于零；另一方面从数学推理来看，|an—A|＜ε?圯A-ε﹤an﹤A＋ε，从而保证A进入区间（A-ε, A＋ε）里，所以绝对值符号不能去掉。
（六）、“那么就把A叫做｛an｝的极限，记作 A。”这里的“那么”是前边“如果”的结论，A是｛an｝的极限说明了有限与无限的辩证关系，这里寓意着逼近的意思，体现了依赖的关系，即体现了有限与无限的对立统一、近似与精确对立统一的关系，这是因为任何无限都是有限组成的，在一定条件下，无限又可以表现为有限。当“n→∞，an→A”，｛an｝中的an的值从量变到质变，引起质变的飞跃得到A,而這种量变过程是通过有限的代数运算来实现的，反映了极限是变化过程和结果的统一。作为过程，它表现为有限向无限的发展，过程｛an｝无限增大而不停止，是潜在无限；所谓潜在无限，就是把无限作为一种变化着、成长着、而不断地产生出来的元素的过程来解释，它是一种潜在的，永远处在构造中，永远没有完成。作为结果，它又表现为无限向有限的转化，过程｛an｝随n增大而有总的趋势，即稳定于值A ，是实在无限。所谓实在无限，是把无限集合的整体本身作为一个现成的单位（数值）来考虑，它已是构造完成了的东西。极限过程体现了运算的辩证性，体现为极限的过程与结果的统一。
结束语
辩证唯物主义认识论告诉我们：作为知识形态的科学是客观规律的正确反映，任何科学都是客观内容和主观能动作用的统一。有许多科学的认识，总是首先从描述现象开始，进而对对象定性分析，最后发展为定量分析，正确地客观地反映其对象内部和外部的各种联系，精确地描述它的运动规律性，“ε－N”定义也充分说明了这一点。
参考文献
[1]赵慈庚著 《一元函数微分学》， 上海科技出版社 1980版
[2]翟连林、赵家骅 《高等数学自学问答》 地质出版社，1984年5月 [3]李世金、陈广义 《数学分析》（上） 辽宁人民出版社 1984年
[4]王春陵“ε－N”定义的讲述和剖析电大理工（学报）1995年第6期 [5]邹兆南极限概念的数学哲学思维剖析 《重庆交通学院学报》（社科版） 2004年12月
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
关键词：数列极限；逻辑结构；辩证分析
引言
我们知道，极限是微积分学中最重要最基本的概念之一，这是因为微积分学中的许多重要概念，如导数、偏导数、定积分、重积分、级数等都建立在极限概念基础之上。或者说没有极限就没有微积分学，因此说极限概念贯穿了微积分学的始终。从方法论来看，应用极限方法来研究函数是区别高等数学与初等数学的重要特征。现代的微积分学，在用极限的方法阐述其理论基础当中，有“?着－N”、“?着－X”、“?着-?啄”三种比较重要的语言，这三种语言是极限的精确定义。在这三种语言当中，“?着-?啄”语言是比较复杂的，可以说是全书的理论核心。但是我们若掌握“?着－N”定义，性质、证明等，就容易接受函数极限和微积分学的其它许多概念。
一“ε—Ν”定义
我们知道数列极限的精确定义是：设有一个无穷数列｛an｝和一个常数A。如果对于预先任意给定无论多
么小的正数ε，总相应存在一个正整数Ν，使得当所有n＞Ν 时，则有不等式|an—A|＜ε恒成立，那么就把A叫做｛an｝的极限，记作 A
若表示为逻辑记号，其形式为：
的确，“?着－N”定义以及它的一套严谨完备的推理论证方法，是人们最难于理解的概念，使初学者难以驾驭，它像一个很高的台阶，摆在初学者面前，令人生畏，如果这部分内容掌握不好，一是使初学者丧失信心，二是影响后继课的学习，因此学习好这部分内容有一定的意义。
二“ε—Ν”定义的逻辑结构
“ε—Ν”定义的难点是（1）定义本身有丰富的内涵，概念新，术语多，例如“任意、给定、存在、多么小、总相应、找到、所有、”等等，（2）该定义字母元素多而且又互有联系，诸如｛an｝、n、Ν 、ε、A，等，（3）所用证明的数学方法是不等式；（4）证明极限方法思维不容易掌握。
我们理解定义，首先必须会证明有关题目，必然找出其定义的逻辑结构。
我们所说逻辑结构：是指数学思维构成的规律性，在这里特指构成“?着－N ”定义整体的各个部分的搭配与排列方式。
在这个意义下，“?着－N ”定义可分为三个条件，一个结论。
定义的条件为：
（1）对于任意给定小的正数ε；
（2）总可以找到一个自然数Ν；
（3）当n＞Ν时，保证|an—A|＜ε恒成立；
定义的结论为：A是an的极限。
这样用“ε—Ν”定义证明，即可化成下列步骤：
第一步：对于任意给定ε＞0；
第二步：解绝对值不等式|an—A|＜ε，用以找N，求出与ε有关的n；
第三步：取正整数N，并令n＞N；
第四步：由不等式|an—A|＜ε成立；
结论：A是｛an｝的极限。
例如，求证
三“ε—Ν”定义的辩证分析
对数列极限内容的理解，集中在一点，就是难在对定义的理解上，也是数学思维发展的一个至高点，必须运用合乎逻辑思维的形式、规律和方法来达到认识定义的目的。正确的理解并运用概念，是一件复杂而重要的工作，经验告诉我们，要特别注意在“?着－N”定义用语的逻辑结构基础上，一定要弄清楚每一句话、每一个词和字母的含义及它们之间的辩证关系，即辩证分析。
所谓辩证分析：用普遍联系的，发展的，全面的观点去看待数学问题，这里是指把“?着－N”定义分解成几个部分、方面、因素分别加以考察，找出各个部分的本质属性及彼此之间相互作用、相互影响的联系。同时要理解一个新定义，要有一个反复认识、不断深化的过程，要达到学懂、理解、灵活运用三个层次，最好的办法能从正、反两个方面的对照研究，反复推敲，加以剖析，才能求得真正明白。下面从几个方面来分析“?着－N”定义：
(一)、“设有一个无穷数列｛an｝和一个常数A” 数学的特点之一是它的结论确定性，任何一种计算方法，都要按照该方法计算时，都能得出确定的结果，无穷数列也不例外，例如从0.9 ，0.99 ，0.999 ，…1-■，…可以看出，随着项数越来越增大，数列越來越接近于1，因此，为了确定某变量趋近某一个数值，最先确定不是这个数的本身，而是一串这同它愈来愈近似的数值，然后对一串数进行考察而把它确定下来，是“从有限中找到无限”的认识方法在数学中的表现，人们是通过有限的步骤进而认识无限的结果，只用无穷运算才会产生极限的，极限总是和某一个无限的变化过程相联系的，而这个结果是唯一的，有且只有一个。
（二）、“如果对于预先任意给定无论多么小的正数?着，”这里?着﹥0，是要多么小就多么小的数，而这里“任意”、“給定”的含义是很深刻的，说明了?着具有两重性：任意性和确定性。?着具有任意性，它告诉人们，?着要取多么小就可以取多么小，不能附加任何条件。?着具有确定性，这个?着一旦确定，就不在变了，对于的两重性，可以这样理解，所谓任意性是对数列极限的全过程而言，?着必须具有绝对的任意性，只有这样才能保证?着任意小，才能使N很大，在n﹥N时，不等式|an—A|＜ε才成立，这样才能说明an→A 。所谓确定性是指极限全过程某一片段（瞬间）来说，?着又是一个确定的数，如取?着＝10-20 、?着＝10-31、?着＝ 10-35……，不等式|an—A|＜ε皆成立，具有相对的稳定性。
以上这些表明an→A的无限过程是通过无限个相对稳定性最后实现的，而这些无穷个相对稳定性的总和构成了?着的绝对任意性，?着的两重性，深刻地反映了全过程的精确性和任一瞬间的近似性之间的辩证关系，?着的两重性说明了极限是过程和结果的统一。
反之，在定义中去任意性，只给确定性行不行？例如a5＝0.99999，0.99999-1=0.00001，这时若取?着＝0.0001， ?着＝0.0001﹥0.99999-1则不能说明an是以1为极限的，反而离1更远了。如果去掉确定性，只有任意性，数列an的无限过程难以表达，因为?着不确定，N也无法找到。
（三）、“总相应存在一个正整数Ν”由?着找到N, N是正整数也有两重性，即存在性和选择性。存在性系指一定存在且能找到N, 选择性系指根据什么找N呢，找出多大才符合要求呢？这与?着有关，首先给定?着，然后才能找到N，N依赖于?着，所以N是?着的函数。而N取多大为合适呢？一般说来，?着越小则N越大，?着确定N就确定性，由?着选择N, ?着存在性就决定N的存在性，?着任意性决定了N的选择性。这样保证了数列an项的数值趋近于A。
反之删去这句话，N便不存在，无法找到n，后面“n﹥N”则更没有意义。只有找到N，才能找到n，才能保证|an—A|＜ε成立。由?着的任意性可知，an→A,即｛an｝的极限是A 。
从上述可以看出N与?着的关系,N 又是与ε密切相关的,如果ε不给定,N一般就找不到,当ε给定以,N 是存在的、固定的；又因为ε是可以任意给定,N也是有选择性的。
在这里，一方面,表现N依赖于，所以N是的函数。即相对于ε的任意性,N也相应是未定的；另一方面,事实上，N+1,N+2,……，都可以充当N 的角色。即ε确定之后，N 可以是相当任意的,并不唯一,只要存在或找到就行了。当然,找N时会发现很多技巧，这也是由人的思维定式及数学严谨的推理方式所确定的，在“确定”与“未定”这一对矛盾的概念中，在极限定义中于N上辩证地统一起来了。同样,对a 而言，N是固定的、静止的、里程碑式的，而n是无限的,不定的,运动的，n 与N是运动与静止的关系,也在极限概念下辩证地联系起来了。在实际中,不少人困惑于：既然有N，为什么还要取n﹥N? 这正是由一般思维方式过渡到辩证思维方式所产生的困惑。事实上,用当n﹥N时,|an—A|＜ε来定义极限概念也是完全可以的，就是因为N不是唯一的。这正说明数列极限是人的一般思维方式（即抽象思维、探索性思维、形象思维和直觉思维等。）向辩证思维发展的过程。
（四）“使得当所有n﹥N时，”也就是说|an—A|＜ε皆成立，前提是n﹥N,而n﹥N系指数列第N项后的一切项数，n＝N+K，（k＝1、2、3、…）所以|a—A|＜ε系指数列中一些项与A之差小于前边给定的，第N后面的一切a与A的差都小于，这正是当“n→∞，aA”的确切含义。
反之，将“n﹥N”后面的一切项改成某些项可否？不可，例如： 和0.999，0.9999，…0.9999999，这些只能表示一些数，而没有极限。
（五）、“则有不等式|an—A|＜ε恒成立，”因为N是ε的函数，通过ε找N是通过解不等式|an—A|＜ε才能找到n，当n﹥N，N是我们所要找的，由于第N项后面的一切项都满足|an—A|＜ε，所以N可以放大，但不能缩小，这样才能保证不等式|an—A|＜ε恒成立。
反之，将不等式|an—A|＜ε中的绝对值符号去掉可否？不可，对于一个有极限的数列来说，an可能比A大，也可能比A小，也可能时而大于A或时而小于A 。换句话说：an→A可能有三种情况，an大于A而趋近于A；an小于A而趋近于A；还可能时而大于A或时而小于A。定义统一用an与A的绝对值来表示an→A，能包括上述三种情况。这样，一方面能保证任意ε小而大于零；另一方面从数学推理来看，|an—A|＜ε?圯A-ε﹤an﹤A＋ε，从而保证A进入区间（A-ε, A＋ε）里，所以绝对值符号不能去掉。
（六）、“那么就把A叫做｛an｝的极限，记作 A。”这里的“那么”是前边“如果”的结论，A是｛an｝的极限说明了有限与无限的辩证关系，这里寓意着逼近的意思，体现了依赖的关系，即体现了有限与无限的对立统一、近似与精确对立统一的关系，这是因为任何无限都是有限组成的，在一定条件下，无限又可以表现为有限。当“n→∞，an→A”，｛an｝中的an的值从量变到质变，引起质变的飞跃得到A,而這种量变过程是通过有限的代数运算来实现的，反映了极限是变化过程和结果的统一。作为过程，它表现为有限向无限的发展，过程｛an｝无限增大而不停止，是潜在无限；所谓潜在无限，就是把无限作为一种变化着、成长着、而不断地产生出来的元素的过程来解释，它是一种潜在的，永远处在构造中，永远没有完成。作为结果，它又表现为无限向有限的转化，过程｛an｝随n增大而有总的趋势，即稳定于值A ，是实在无限。所谓实在无限，是把无限集合的整体本身作为一个现成的单位（数值）来考虑，它已是构造完成了的东西。极限过程体现了运算的辩证性，体现为极限的过程与结果的统一。
结束语
辩证唯物主义认识论告诉我们：作为知识形态的科学是客观规律的正确反映，任何科学都是客观内容和主观能动作用的统一。有许多科学的认识，总是首先从描述现象开始，进而对对象定性分析，最后发展为定量分析，正确地客观地反映其对象内部和外部的各种联系，精确地描述它的运动规律性，“ε－N”定义也充分说明了这一点。
参考文献
[1]赵慈庚著 《一元函数微分学》， 上海科技出版社 1980版
[2]翟连林、赵家骅 《高等数学自学问答》 地质出版社，1984年5月 [3]李世金、陈广义 《数学分析》（上） 辽宁人民出版社 1984年
[4]王春陵“ε－N”定义的讲述和剖析电大理工（学报）1995年第6期 [5]邹兆南极限概念的数学哲学思维剖析 《重庆交通学院学报》（社科版） 2004年12月
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”