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[摘 要]：整体思想方法是数学解题中的一种重要且常用的思想方法。整体思想方法是站在整体的立场上，从问题的整体考虑，综观全局研究问题，通过研究整体结构、整体形式来把握问题的本质，从中找到解决问题的途径。所以数学解题不能一成不变，要在整体与局部中灵活变通。本文主要主要介绍怎样从整体方法去解题。
[关键词]：整体化；方法；简化；探讨；代换
数学解题中，常常化“整”为“零”，使问题变得简单，以利于问题的解决；不过有时又要反其道而行之，需要由“局部”到“整体”，站在整体的立场上，从问题的整体考虑，综观全局研究问题，通过研究整体结构、整体形式来把握问题的本质，从中找到解决问题的途径。所以数学解题不能一成不变，要在整体与局部中灵活变通。著名的数学家陈省身说过，黎曼几何把几何局部化，但我们不能永远只在一个小区域里面，所以局部化之后又要整体化。这说明数学解题要把握题目的特点，既要从局部考虑，更要注意整体的结构、形态特点，这样解题往往事半功倍。
“只见树木，不见森林”的意思是如果过分注重细节，而忽视全局，就不会真正理解一个东西。解数学题也是这样，有时候不能过分拘泥于细节，要适时调整视角，注意从整体上看问题，即着眼于问题的全过程，抓住其整体的特点，往往能化繁为简、变难为易，使问题更容易解决。
我国著名的数学家苏步青教授，有一次去德国，遇到一位有名的数学家，他在电车上出了一道题目让苏教授做。这题目是：甲乙两人同时从两地出发，相向而行，相距50千米。甲每小时走3千米，乙每小时走2千米，带着一只狗，狗每小时走5千米。这只狗同甲一直出发，碰到乙时它就掉头往甲这边跑，碰到甲时又往乙这边跑，碰到乙时又往甲这边跑……直到甲乙两人相遇为止。问这只狗一共跑了多少多少千米的路？
这道题目，如果设狗从甲出发到第一次碰到乙的时间为t1，对应所走的路程为s1；再往回跑遇见甲所用时间为t2，对应所走路程为；这样依次有t3，s3，t4，s4，t5，s5，……直到甲乙两人相遇为止。显然，所花的总时间为t1+ t2+ t3+t4+……总路程为s1+ s2+ s3+ s4+……。利用等比数列求和可算出最终结果。这是通常的算法，然而绝非好的方法。
苏步青教授略加思考，就把答案告诉了这位同行。这位数学家满意地笑了。苏教授是这样思考的：狗不断地跑，从甲乙出发到两人相遇为止，它的速度都是5千米/小时，而现在只需要求出总的时间即可，而这个总时间，从整体上考虑，其实就是甲或乙两人所走的时间，即t0=50÷（3+2）=10小时，所以答案是5×10=50千米。
苏教授的高明之处就在于着眼于“狗不断地跑”这个全过程，抓住“直到甲乙相遇为止”这个整体过程去分析，这就把局部看来十分复杂的问题变得简单了。所以有时候，当我们从局部入手难以处理时，可以试着从整体去考虑。
如图是某楼房的楼梯截面图，其中AB=3米，BC=1.8米，楼梯的宽度为1.5米.
如果要将这段楼梯的表面铺上地毯，那么至少需要多少平方米面积的地毯？
这题目只要求出图中的拆线的总长度即可，我们不知道每段楼梯的高度和长度分别是多少，但细心的同学可能发现，我们把图中的竖线全部平移到BC边上，可知所有竖线合起来刚好等于边BC，同理，把所有横线全部平移到AB边上，所有横线合起来刚好等于边AB。即图中拆线的长度刚好等于BC+AB=3+1.8=4.8米。
4.8×1.5=7.2平方米。
有时候，题目不必要求各个量分别是多少，只要求我们求出特定的量，这时候很明显就要从整体上去考虑。如下例：
下列算式中的每个汉字代表一个数字（相同的汉字代表同一个数字），请根据下列算式分别算出各个汉字分别代表什么数字。
上面的题目不同的汉字有6个，我们可以根据算式逐个字算出其代表的数字，但这样不是最好方法。
通过观察整个算式，我们发现汉字的顺序也是一样的，我们可以把它看作一个六位数，设为x，所以“1 从 整 体 看 问 题”的数值为（1000000+x），而这个数乘以3后得到“从 整 体 看 问 题 3”，数值为10x+3，则列得的方程为：
3（1000000+x）=10x+3
解得x=428571，即题目中的“从 整 体 看 问 题 ”六个汉字分别代表428571。
所以，从整体看问题，只要更好的把握其整体特点，往往能更加简便了得到我们所需要的答案。
例：人甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，购乙7件，购丙1件，共需要315元。若购甲4件，购乙10件，购丙1件，共需420元。问购甲、乙、丙各一件共需多少元？
这道题目的通常想法是先求出甲、乙、丙三种货物各自的单价是多少。但由于根据题目所给的已知条件列出的方程少于未知数的个数，要各个未知量求出就要解不定方程。那么，能否不求各个单价，而直接求三种货物各一件的总价呢？这就要求从整体上把握条件与结论之间的联系。能否从已知条件中把这个总价分离出来是解这题目的关键。
解：设甲、乙、丙三种货物各自的单价分别为x、y、z元，则由题意得：
题目只要求出（x+y+z）的值，我们把（x+y+z）作为一个整体，从上面的方程中分离出来。得到：
整理得：
把（x+3y）和（x+y+z）作为两个未知量来解二元一次方程得：
即购购甲、乙、丙各一件共需105元。
所以，当条件不够求出局部中的每个所需要的量是，我们可以尝试绕开它，通过把握整体的关系，求出我们要求的问题。
用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性。布鲁纳指出，掌握基本数学思想和方法能使数学更易于理解和记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。数学思想方法是数学的精髓，只有掌握了数学思想方法，才算真正掌握了数学。因而，同学们应用数学思想方法武装自己，使自己真正成为数学的主人。 例：从下面每给数中各取一个数，将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是多少？
第一组：1.1，2.2，3.3，4.4；
第二组：5.5，6.7，7.8；
第三组：8，9。
这题目我们既可以从局部来解，也可以从整体的方面去解决，但当局部的部分太多，因为满足题目中的这样的乘积有24个那么多，而且每个乘积都是一些比较难计算的数，这时候，我们就要从整体上去把握其中的规律。
我们先把以上三组的数分别用字母去代替：a，b，c，d，e，f，g，h，i。用树状图把它们的各种情况表示出来：
我们可以发现，第一组的每个数都要乘以在其余两个组中任取一个的积，我们把后两组中任取一个所得的积的总和设为M，则原问题要求的和为aM+bM+cM+dM=（a+b+c+d）M。我们再来计算M的值，又发现第二组中的每个数都要与第三组中的每个数相乘。即：
M=eh+ei+fh+fi+gh+gi=e（h+i）+ f（h+i）+ g（h+i）=（e+f+g）（h+i）。
所以所有这样的乘积的总和是（a+b+c+d）（e+f+g）（h+i）。
把字母用原来的数字代替得：（1.1+2.2+3.3+4.4）（5.5+6.7+7.8）（8+9）=11×20×17=3740。
如果把问题分成多个子问题，而逐个问题解决又非常困难时，我们用整体的方法，综观问题的全局，只要能把握到问题的整体结构，我们就能找到解决问题的途径，这样可以化繁为简，减少很多的计算量。
我们在解题时，往往需要自己去综观问题的全局，挖掘问题的整体化特征。
例：设 都是非零实数，
证明：代数式
中至少有一项是负数，有一项是正数。
分析：一般思路是将展开式各项的具体细节，分各种可能情形逐一证明，解题过程很烦琐。事实上，如果对命题有一个整体性的认识：命题本身不要求指明那一项是正的或负的，只需证明至少存在一项正、一项负，着眼于整体，抓住奇数个负项之积是负数这一性质，给出漂亮的证明：这六项的乘积为：
六个数的乘积为负数，则其负数的个数必为奇数个。所以，六项中必有奇数项是负数，也有奇数项是正数。即至少有一项是负数，有一项是正数。
从思维方式的角度看，整体化思想是直觉思维和逻辑思维的和谐统一，其思维过程中既有综合又有分析，它常常先依靠直觉思维从整体上把握目标，然后再依靠逻辑思维准确地达到目标。
例：解方程
我们已经会解一元二次方程，因此，解这个四次方程的唯一途径就是设法把方程化为二次方程。
解：方程两边同除以 得：
把 作为一个整体，得：
解得y=2或y=-3。
即 =2或 =-3
解这两个方程得：
或
例：正方形的内部给出了2008个点，现用A表示正方形的4个顶点和这2008个点构成的集合，并按下述规则将这张纸剪成一些三角形：每个三角形的3个顶点都是A中的元素；除顶点外，每个三角形中不再具有A中的点。试问：一共可以剪出多少三角形？最多剪了多少刀？
这里要从整体上把握题目的条件：每个三角形的3个顶点都是A中的元素；除顶点外，每个三角形中不再具有A中的点。通过对这两个条件的整体化分析，可把题目简单化，得知剪出的三角形数量与点的数量有特定的关系。所以我们把握到解决问题的方向：当正方形内有一个点是，求出剪出的三角形数和最多剪的刀数；当正方形内有两个点时，剪出的三角形数和最多剪的刀数；三个点时……得出的表如下：
根据上表，当n=2008时，2n+2=4018，3n+1=6025。
所以说，把握了问题的整体特征，就可根据特定的情况作
出决策，从而使问题得到更好的解决。
布鲁纳指出，掌握基本数学思想和方法能使数学更易于理解和记忆，领会基本数学思想方法是通向数学殿堂的“光明之路”。数学思想方法是数学的精髓，只有掌握了数学思想方法，才算真正掌握了数学。因而，同学们应用数学思想方法武装自己，使自己真正成为数学的主人。整体思想作为一种基本的数学思想方法，对初中乃至以后的学习都有很大的帮助。由上述数例不难看出，用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性。
数学思想方法的教学是循环往复、螺旋上升的过程。当然，在解题时，往往是几种数学思想方法交织在一起，在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想方法，效果可能会更好些。
参考文献：
[1]《初中一年级（七年级）（上）数学》 华东师范大学出版社
[2]《初中一年级（七年级）（下）数学》 华东师范大学出版社
[3]《初中二年级（八年级）（上）数学》 华东师范大学出版社
[4]《初中一年级（八年级）（下）数学》 华东师范大学出版社
[5]《中学教与学》 2006年08期
[关键词]：整体化；方法；简化；探讨；代换
数学解题中，常常化“整”为“零”，使问题变得简单，以利于问题的解决；不过有时又要反其道而行之，需要由“局部”到“整体”，站在整体的立场上，从问题的整体考虑，综观全局研究问题，通过研究整体结构、整体形式来把握问题的本质，从中找到解决问题的途径。所以数学解题不能一成不变，要在整体与局部中灵活变通。著名的数学家陈省身说过，黎曼几何把几何局部化，但我们不能永远只在一个小区域里面，所以局部化之后又要整体化。这说明数学解题要把握题目的特点，既要从局部考虑，更要注意整体的结构、形态特点，这样解题往往事半功倍。
“只见树木，不见森林”的意思是如果过分注重细节，而忽视全局，就不会真正理解一个东西。解数学题也是这样，有时候不能过分拘泥于细节，要适时调整视角，注意从整体上看问题，即着眼于问题的全过程，抓住其整体的特点，往往能化繁为简、变难为易，使问题更容易解决。
我国著名的数学家苏步青教授，有一次去德国，遇到一位有名的数学家，他在电车上出了一道题目让苏教授做。这题目是：甲乙两人同时从两地出发，相向而行，相距50千米。甲每小时走3千米，乙每小时走2千米，带着一只狗，狗每小时走5千米。这只狗同甲一直出发，碰到乙时它就掉头往甲这边跑，碰到甲时又往乙这边跑，碰到乙时又往甲这边跑……直到甲乙两人相遇为止。问这只狗一共跑了多少多少千米的路？
这道题目，如果设狗从甲出发到第一次碰到乙的时间为t1，对应所走的路程为s1；再往回跑遇见甲所用时间为t2，对应所走路程为；这样依次有t3，s3，t4，s4，t5，s5，……直到甲乙两人相遇为止。显然，所花的总时间为t1+ t2+ t3+t4+……总路程为s1+ s2+ s3+ s4+……。利用等比数列求和可算出最终结果。这是通常的算法，然而绝非好的方法。
苏步青教授略加思考，就把答案告诉了这位同行。这位数学家满意地笑了。苏教授是这样思考的：狗不断地跑，从甲乙出发到两人相遇为止，它的速度都是5千米/小时，而现在只需要求出总的时间即可，而这个总时间，从整体上考虑，其实就是甲或乙两人所走的时间，即t0=50÷（3+2）=10小时，所以答案是5×10=50千米。
苏教授的高明之处就在于着眼于“狗不断地跑”这个全过程，抓住“直到甲乙相遇为止”这个整体过程去分析，这就把局部看来十分复杂的问题变得简单了。所以有时候，当我们从局部入手难以处理时，可以试着从整体去考虑。
如图是某楼房的楼梯截面图，其中AB=3米，BC=1.8米，楼梯的宽度为1.5米.
如果要将这段楼梯的表面铺上地毯，那么至少需要多少平方米面积的地毯？
这题目只要求出图中的拆线的总长度即可，我们不知道每段楼梯的高度和长度分别是多少，但细心的同学可能发现，我们把图中的竖线全部平移到BC边上，可知所有竖线合起来刚好等于边BC，同理，把所有横线全部平移到AB边上，所有横线合起来刚好等于边AB。即图中拆线的长度刚好等于BC+AB=3+1.8=4.8米。
4.8×1.5=7.2平方米。
有时候，题目不必要求各个量分别是多少，只要求我们求出特定的量，这时候很明显就要从整体上去考虑。如下例：
下列算式中的每个汉字代表一个数字（相同的汉字代表同一个数字），请根据下列算式分别算出各个汉字分别代表什么数字。
上面的题目不同的汉字有6个，我们可以根据算式逐个字算出其代表的数字，但这样不是最好方法。
通过观察整个算式，我们发现汉字的顺序也是一样的，我们可以把它看作一个六位数，设为x，所以“1 从 整 体 看 问 题”的数值为（1000000+x），而这个数乘以3后得到“从 整 体 看 问 题 3”，数值为10x+3，则列得的方程为：
3（1000000+x）=10x+3
解得x=428571，即题目中的“从 整 体 看 问 题 ”六个汉字分别代表428571。
所以，从整体看问题，只要更好的把握其整体特点，往往能更加简便了得到我们所需要的答案。
例：人甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，购乙7件，购丙1件，共需要315元。若购甲4件，购乙10件，购丙1件，共需420元。问购甲、乙、丙各一件共需多少元？
这道题目的通常想法是先求出甲、乙、丙三种货物各自的单价是多少。但由于根据题目所给的已知条件列出的方程少于未知数的个数，要各个未知量求出就要解不定方程。那么，能否不求各个单价，而直接求三种货物各一件的总价呢？这就要求从整体上把握条件与结论之间的联系。能否从已知条件中把这个总价分离出来是解这题目的关键。
解：设甲、乙、丙三种货物各自的单价分别为x、y、z元，则由题意得：
题目只要求出（x+y+z）的值，我们把（x+y+z）作为一个整体，从上面的方程中分离出来。得到：
整理得：
把（x+3y）和（x+y+z）作为两个未知量来解二元一次方程得：
即购购甲、乙、丙各一件共需105元。
所以，当条件不够求出局部中的每个所需要的量是，我们可以尝试绕开它，通过把握整体的关系，求出我们要求的问题。
用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性。布鲁纳指出，掌握基本数学思想和方法能使数学更易于理解和记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。数学思想方法是数学的精髓，只有掌握了数学思想方法，才算真正掌握了数学。因而，同学们应用数学思想方法武装自己，使自己真正成为数学的主人。 例：从下面每给数中各取一个数，将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是多少？
第一组：1.1，2.2，3.3，4.4；
第二组：5.5，6.7，7.8；
第三组：8，9。
这题目我们既可以从局部来解，也可以从整体的方面去解决，但当局部的部分太多，因为满足题目中的这样的乘积有24个那么多，而且每个乘积都是一些比较难计算的数，这时候，我们就要从整体上去把握其中的规律。
我们先把以上三组的数分别用字母去代替：a，b，c，d，e，f，g，h，i。用树状图把它们的各种情况表示出来：
我们可以发现，第一组的每个数都要乘以在其余两个组中任取一个的积，我们把后两组中任取一个所得的积的总和设为M，则原问题要求的和为aM+bM+cM+dM=（a+b+c+d）M。我们再来计算M的值，又发现第二组中的每个数都要与第三组中的每个数相乘。即：
M=eh+ei+fh+fi+gh+gi=e（h+i）+ f（h+i）+ g（h+i）=（e+f+g）（h+i）。
所以所有这样的乘积的总和是（a+b+c+d）（e+f+g）（h+i）。
把字母用原来的数字代替得：（1.1+2.2+3.3+4.4）（5.5+6.7+7.8）（8+9）=11×20×17=3740。
如果把问题分成多个子问题，而逐个问题解决又非常困难时，我们用整体的方法，综观问题的全局，只要能把握到问题的整体结构，我们就能找到解决问题的途径，这样可以化繁为简，减少很多的计算量。
我们在解题时，往往需要自己去综观问题的全局，挖掘问题的整体化特征。
例：设 都是非零实数，
证明：代数式
中至少有一项是负数，有一项是正数。
分析：一般思路是将展开式各项的具体细节，分各种可能情形逐一证明，解题过程很烦琐。事实上，如果对命题有一个整体性的认识：命题本身不要求指明那一项是正的或负的，只需证明至少存在一项正、一项负，着眼于整体，抓住奇数个负项之积是负数这一性质，给出漂亮的证明：这六项的乘积为：
六个数的乘积为负数，则其负数的个数必为奇数个。所以，六项中必有奇数项是负数，也有奇数项是正数。即至少有一项是负数，有一项是正数。
从思维方式的角度看，整体化思想是直觉思维和逻辑思维的和谐统一，其思维过程中既有综合又有分析，它常常先依靠直觉思维从整体上把握目标，然后再依靠逻辑思维准确地达到目标。
例：解方程
我们已经会解一元二次方程，因此，解这个四次方程的唯一途径就是设法把方程化为二次方程。
解：方程两边同除以 得：
把 作为一个整体，得：
解得y=2或y=-3。
即 =2或 =-3
解这两个方程得：
或
例：正方形的内部给出了2008个点，现用A表示正方形的4个顶点和这2008个点构成的集合，并按下述规则将这张纸剪成一些三角形：每个三角形的3个顶点都是A中的元素；除顶点外，每个三角形中不再具有A中的点。试问：一共可以剪出多少三角形？最多剪了多少刀？
这里要从整体上把握题目的条件：每个三角形的3个顶点都是A中的元素；除顶点外，每个三角形中不再具有A中的点。通过对这两个条件的整体化分析，可把题目简单化，得知剪出的三角形数量与点的数量有特定的关系。所以我们把握到解决问题的方向：当正方形内有一个点是，求出剪出的三角形数和最多剪的刀数；当正方形内有两个点时，剪出的三角形数和最多剪的刀数；三个点时……得出的表如下：
根据上表，当n=2008时，2n+2=4018，3n+1=6025。
所以说，把握了问题的整体特征，就可根据特定的情况作
出决策，从而使问题得到更好的解决。
布鲁纳指出，掌握基本数学思想和方法能使数学更易于理解和记忆，领会基本数学思想方法是通向数学殿堂的“光明之路”。数学思想方法是数学的精髓，只有掌握了数学思想方法，才算真正掌握了数学。因而，同学们应用数学思想方法武装自己，使自己真正成为数学的主人。整体思想作为一种基本的数学思想方法，对初中乃至以后的学习都有很大的帮助。由上述数例不难看出，用整体思想解题不仅解题过程简捷明快，而且富有创造性。
数学思想方法的教学是循环往复、螺旋上升的过程。当然，在解题时，往往是几种数学思想方法交织在一起，在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想方法，效果可能会更好些。
参考文献：
[1]《初中一年级（七年级）（上）数学》 华东师范大学出版社
[2]《初中一年级（七年级）（下）数学》 华东师范大学出版社
[3]《初中二年级（八年级）（上）数学》 华东师范大学出版社
[4]《初中一年级（八年级）（下）数学》 华东师范大学出版社
[5]《中学教与学》 2006年08期