论文部分内容阅读
平时教学中，我们常常注重题型的归纳和方法的总结，试图将通性通法教给学生，重视了从特殊性中概括出普遍的规律性，这固然重要。然而，不少学生遇到具体题目，又难以寻觅到解题思路。一个重要原因，就是我们在教学中，忽视了在普遍性指导下去研究特殊情形。
众多的数学问题具备各自特殊性，若能充分挖掘隐藏在题目中与之相关的特殊值、特殊式、特殊点、特殊位置、特殊关系……就能巧妙地利用这些特殊因素，使问题获解。解题教学中，我们若不失时机地引导学生对蕴涵于题目中的特殊因素加以发掘，对于开拓学生的解题思路，形成特殊化的解题思想，提高学生的解题能力是大有裨益的。现结合自己的教学实践与思考，就怎样发掘特殊因素,介绍自己的一些做法,供参考。
1． 分析特殊因素寻求一般规律
认识论原理告诉我们：矛盾的普遍性寓于特殊性中，又通过特殊性表现出来。要研究普遍性，充分分析题目中的特殊因素，是发现题目中所蕴涵的一般规律的必要前提。
当然，在特殊情形下发现的规律，在一般情形下是否成立，要进行论证。
例2如下图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1…所对应的点重合。这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系。
（1）圆周上数字a 与数轴上的数5对应，则a＝
（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇 （用含n的代数式表示）。
思考：将数轴绕在一个圆周上，类似于一种卷尺，但数轴是理想化的一条直线，它没有厚度，我们可用图示的方法转着写数据，然后通过特殊例子出发去分析一般规律。我们将与0，1，2对应的数据标出来，发现2与数轴上的数5对应，a=2，绕过1圈后，落在圆周上数字1所对应的数是4；绕过2圈后，该位子上的数是7，以此类推，绕过n圈后，该位子上的数是3n+1。
2．巧用特殊因素优化解题思路
对于一些表面上可用常规方法求解的问题，如果按常规思路分析求解，方法较繁，计算量较大，甚至难以求出结果，若注意巧用特殊因素（点的位置特殊化、图形形状特殊化等），常能优化解题思路，获得简捷明快的解法。
3．抓住特殊因素探索解题途径
某些数学问题，有时难以将其归为我们所熟悉的一类常规问题，无法用一般规律解决。对于这类问题，可着眼于问题本身的特殊性，抓住某个特殊因素，并以此作为突破口，去探寻解题思路。
抓住了问题中的特殊点、特殊角，以此作为突破口是解决此题的关键。
4．借助特殊因素探求定值问题
定值类问题宜先定后证。探求定值问题是一个由一般到特殊的过程，在一般情形下是定值，则在特殊情形下一定是定值，故可先抓住特殊情形求出定值，从而为证定值提供方向。
例7如图，平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为（6，0），（0，4），（2，0），（0，3），连结OQ交过点O、C、D的外接圆于点P．求证：OP·OQ为定值。
思考：解读题目中的条件，只要点Q在AB上，OP·OQ皆为定值，故借助特殊因素“点Q为线段AB上一动点”中的特殊情形“Q与B（或A）重合”，此时OP·OQ=OD·OB=12，从而明确解题方向，证明OP·OQ=OD·OB，进而转化为证明等积式问题。连结CD、PD，先证△OCD∽△OBA得∠OCD=∠OBA，又∠OCD=∠OPD，进而证明△OPD∽△OBQ。
5．选取特殊因素探求变量范围
对于某些求自变量取值范围类问题，我们常通过选取两种特殊极端情形来确定自变量最大、最小值，从而确定出自变量的取值范围。
例8操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。
探究：设A、P两点间的距离为x。
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；（解略）（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y,求y与 x之间的关系，并写出x的范围；（3）略。
6．列举特殊因素判断命题正误
要肯定一个命题的正确性，必须进行严格的逻辑论证，但要证明一个命题是假命题，只要举出一个满足题设而结论不成立的特例予以否定即可。举反例否定一个命题与推理论证肯定命题具有同等的地位和作用。在数学教学中，我们常可列举特殊因素，判断命题正误，消除一些模糊認识。
例9 试判断命题“各边相等的圆外切多边形是正多边形”真假。
思考：举特例“各边相等的园的外切四边形菱形”,命题不真。
7．捕捉特殊因素防止漏解增解
在考虑一般情形时，不可忽视特殊因素，否则时会产生增解漏解.通过捕捉特殊因素可防增堵漏。
例10已知一次函数y=（k－2）x＋k＋1不经过第三象限，求k的取值范围。
思考：习惯地，我们总是画出的直线经过第一、二、四象限的情形，得出 k－2＜0，k+1＞0，从而有－1＜k＜2在不经过第三象限的条件下，捕捉特殊情形直线只过第二、四象限（过原点），此时应有k+1=0，故本题k的范围为－1≤k＜2捕捉特殊因素，防止了漏解k=－1。
例11 以线段AB为底边的等腰三角形ABC的顶点C的轨迹是?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇 ?摇?摇?摇。
思考：学生作答时,常误以为轨迹是线段AB的垂直平分线,而忽视对增解AB中点的剔除。
例12在直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），过点A的直线交x轴于M，交y轴于N，且OA2=AM·AN，求M点的坐标。
综上所述，通过引导学生发掘特殊因素,不仅使问题获解，同时对于培养学生辩证唯物主义观念,优化学生思维的广阔性、灵活性、严谨性等思维品质是大有益处的。在重视由一般向特殊的推演同时，我们同样要重视发掘特殊因素去解决一般问题。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
众多的数学问题具备各自特殊性，若能充分挖掘隐藏在题目中与之相关的特殊值、特殊式、特殊点、特殊位置、特殊关系……就能巧妙地利用这些特殊因素，使问题获解。解题教学中，我们若不失时机地引导学生对蕴涵于题目中的特殊因素加以发掘，对于开拓学生的解题思路，形成特殊化的解题思想，提高学生的解题能力是大有裨益的。现结合自己的教学实践与思考，就怎样发掘特殊因素,介绍自己的一些做法,供参考。
1． 分析特殊因素寻求一般规律
认识论原理告诉我们：矛盾的普遍性寓于特殊性中，又通过特殊性表现出来。要研究普遍性，充分分析题目中的特殊因素，是发现题目中所蕴涵的一般规律的必要前提。
当然，在特殊情形下发现的规律，在一般情形下是否成立，要进行论证。
例2如下图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1…所对应的点重合。这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系。
（1）圆周上数字a 与数轴上的数5对应，则a＝
（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇 （用含n的代数式表示）。
思考：将数轴绕在一个圆周上，类似于一种卷尺，但数轴是理想化的一条直线，它没有厚度，我们可用图示的方法转着写数据，然后通过特殊例子出发去分析一般规律。我们将与0，1，2对应的数据标出来，发现2与数轴上的数5对应，a=2，绕过1圈后，落在圆周上数字1所对应的数是4；绕过2圈后，该位子上的数是7，以此类推，绕过n圈后，该位子上的数是3n+1。
2．巧用特殊因素优化解题思路
对于一些表面上可用常规方法求解的问题，如果按常规思路分析求解，方法较繁，计算量较大，甚至难以求出结果，若注意巧用特殊因素（点的位置特殊化、图形形状特殊化等），常能优化解题思路，获得简捷明快的解法。
3．抓住特殊因素探索解题途径
某些数学问题，有时难以将其归为我们所熟悉的一类常规问题，无法用一般规律解决。对于这类问题，可着眼于问题本身的特殊性，抓住某个特殊因素，并以此作为突破口，去探寻解题思路。
抓住了问题中的特殊点、特殊角，以此作为突破口是解决此题的关键。
4．借助特殊因素探求定值问题
定值类问题宜先定后证。探求定值问题是一个由一般到特殊的过程，在一般情形下是定值，则在特殊情形下一定是定值，故可先抓住特殊情形求出定值，从而为证定值提供方向。
例7如图，平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为（6，0），（0，4），（2，0），（0，3），连结OQ交过点O、C、D的外接圆于点P．求证：OP·OQ为定值。
思考：解读题目中的条件，只要点Q在AB上，OP·OQ皆为定值，故借助特殊因素“点Q为线段AB上一动点”中的特殊情形“Q与B（或A）重合”，此时OP·OQ=OD·OB=12，从而明确解题方向，证明OP·OQ=OD·OB，进而转化为证明等积式问题。连结CD、PD，先证△OCD∽△OBA得∠OCD=∠OBA，又∠OCD=∠OPD，进而证明△OPD∽△OBQ。
5．选取特殊因素探求变量范围
对于某些求自变量取值范围类问题，我们常通过选取两种特殊极端情形来确定自变量最大、最小值，从而确定出自变量的取值范围。
例8操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。
探究：设A、P两点间的距离为x。
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；（解略）（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y,求y与 x之间的关系，并写出x的范围；（3）略。
6．列举特殊因素判断命题正误
要肯定一个命题的正确性，必须进行严格的逻辑论证，但要证明一个命题是假命题，只要举出一个满足题设而结论不成立的特例予以否定即可。举反例否定一个命题与推理论证肯定命题具有同等的地位和作用。在数学教学中，我们常可列举特殊因素，判断命题正误，消除一些模糊認识。
例9 试判断命题“各边相等的圆外切多边形是正多边形”真假。
思考：举特例“各边相等的园的外切四边形菱形”,命题不真。
7．捕捉特殊因素防止漏解增解
在考虑一般情形时，不可忽视特殊因素，否则时会产生增解漏解.通过捕捉特殊因素可防增堵漏。
例10已知一次函数y=（k－2）x＋k＋1不经过第三象限，求k的取值范围。
思考：习惯地，我们总是画出的直线经过第一、二、四象限的情形，得出 k－2＜0，k+1＞0，从而有－1＜k＜2在不经过第三象限的条件下，捕捉特殊情形直线只过第二、四象限（过原点），此时应有k+1=0，故本题k的范围为－1≤k＜2捕捉特殊因素，防止了漏解k=－1。
例11 以线段AB为底边的等腰三角形ABC的顶点C的轨迹是?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇 ?摇?摇?摇。
思考：学生作答时,常误以为轨迹是线段AB的垂直平分线,而忽视对增解AB中点的剔除。
例12在直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），过点A的直线交x轴于M，交y轴于N，且OA2=AM·AN，求M点的坐标。
综上所述，通过引导学生发掘特殊因素,不仅使问题获解，同时对于培养学生辩证唯物主义观念,优化学生思维的广阔性、灵活性、严谨性等思维品质是大有益处的。在重视由一般向特殊的推演同时，我们同样要重视发掘特殊因素去解决一般问题。
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”