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摘 要： 本文介绍了CD生产函数和贝叶斯估计，用贝叶斯估计方法估计CD生产函数中的参数。
关键词： CD生产函数；贝叶斯估计
引言
CD生产函数，即柯布—道格拉斯生产函数，最初是美国数学家C·W·Cobb和经济学家PaulH·Douglas共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C·W·柯布和经济学家保罗·H·道格拉斯的名字命名的，是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。在对CD生产函数的参数进行估计时，最常用的方法是最小二乘估计。
贝叶斯统计是在与经典统计的争论中逐渐发展起来的，现在的贝叶斯学派已经建立起了自己的理论和方法。虽然经典统计在全球传播已有百年，但同时也有着一些问题。在小样本问题、区间估计的解释、似然理论的认识等问题上，经典统计也受到贝叶斯学派的批评，在这些批评中贝叶斯学派也在不断完善贝叶斯统计。贝叶斯统计已经成为统计学中一个不可或缺的部分。
本文主要介绍在小样本条件下，运用贝叶斯方法对CD生产函数进行参数估计。
一、贝叶斯估计方法
贝叶斯方法是基于贝叶斯定理发展起来的统计分析方法。美籍波兰统计学家耐曼高度概括了在统计推断中可用的三种信息：总体信息、样本信息、先验信息。经典统计学方法只利用总体信息和样本信息，而贝叶斯分析是人们根据先验信息对参数已有一个认识（即先验分布），通过试验，获得样本，从而对先验分布進行一个调整（即用贝叶斯公式调整），调整的结果是后验分布，后验分布是三种信息的综合，然后根据后验信息去推断未知参数。可见在这方面贝叶斯估计是优于经典统计的。贝叶斯估计的步骤：
1、未知参数视为随机变量： θ
缺陷（数据的不可设计性与经验的不能穷尽性）
2、取样本 ，求联合分布密度 ，θ是参数
3、联合分布密度->条件分布密度 是随机变量
4、确定θ的先验分布
5、利用贝叶斯公式求后验分布密度
6、使用后验分布做推断（参数估计、假设检验）
贝叶斯定理可以描述如下：
联合后验概率密度∝先验概率密度×似然函数
在[1]式中，∝表示成比例。该后验概率密度集中了总体信息、样本信息和先验信息等三中信息，而且排除了与参数无关的信息。
二、CD生产函数
生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。C-D生产函数是指产出表示为技术、资本和劳动投入量的函数，是经济学中普遍使用的生产函数，函数形式为：
其中Y、K、L分别表示产出、资本投入量和劳动投入量，A表示效率系数，是广义技术水平的反应，α、β分别表示资本和劳动的产出弹性（生产要素的产出弹性表示当其它投入要素不变时，该要素增加0.01所能引起的变化量）。α+β>1， 称为递增报酬型，表明按技术用扩大生产规模来增加产出是有利的；α+β<1，称为递减报酬型，表明按技术用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的；α+β=1，称为不变报酬型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益。
三、CD生产函数的贝叶斯估计
1. 似然函数
似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性。似然函数在统计推断中有重大作用。“似然性”与“或然性”或“概率”意思相近，都是指某种事件发生的可能性，但是在统计学中，“似然性”和“或然性”或“概率”又有明确的区分。概率用于在已知一些参数的情况下，预测接下来的观测所得到的结果，而似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物的性质的参数进行估计。
将C-D生产函数公式[2]两边取对数，引入误差项ε，并假设K、L是外生变量，并且和ε相互独立，结果如下：
在这里，我们不妨假设误差项ε是服从正态分布 。同时我们假设
如下公式：
令参数向量 。则似然函数为：
这里， 。
2. 先验分布
先验信息即在抽样之前有关统计问题的一些信息，一般说来，先验信息主要来源于经验和历史资料。贝叶斯统计学派把任意一个未知参数都看成随机变量，应用一个概率分布去描述它的未知状况，
不妨假设未知参数的先验信息为 ，即 =
根据一些研究，可以假设γ服从正态分布，τ服从伽玛分布，α和R茁都服从均匀分布 （贝叶斯假设）。
3. 后验分布
根据样本的分布及参数的先验分布，用概率论中求条件概率分布的方法，可算出在已知样本的条件下，参数的条件分布，因为这个分布是在抽样以后才得到的，故称为后验分布。贝叶斯学派认为：这个分布综合了样本及先验分布所提供的有关的信息。抽样的全部目的，就在于完成由先验分布到后验分布的转换。贝叶斯推断方法的关键在于所作出的任何推断都必须也只须根据后验分布，而不能再涉及的样本分布。
若已知观测数据Q、K、L，可以由[1]知，联合后验密度为：
同时，当对[6]式关于不同参数进行多重积分后，可以得到θ=（α，β，γ，τ）中的α，β，γ，τ的各自的后验分布。在这一过程中，涉及到复杂的积分运算，可以借助WinBUGS软件，实现数值模拟，得到区间估计，进行假设检验。
四、总结
贝叶斯统计学和经典统计有些许多相同和不同。贝叶斯学派是在批评和质疑中发展进步的。现在贝叶斯统计已逐渐被更多的人认可和接受，它在某些方面，与经典统计学相比，是有着很大的优势的，比如区间估计等。但也不是说什么时候都可以选择贝叶斯估计，贝叶斯方法是基于先验信息的，如果存在很好的先验信息，可以用贝叶斯估计方法，如果先验信息并不强烈，这时要谨慎使用贝叶斯估计方法。
关键词： CD生产函数；贝叶斯估计
引言
CD生产函数，即柯布—道格拉斯生产函数，最初是美国数学家C·W·Cobb和经济学家PaulH·Douglas共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C·W·柯布和经济学家保罗·H·道格拉斯的名字命名的，是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。在对CD生产函数的参数进行估计时，最常用的方法是最小二乘估计。
贝叶斯统计是在与经典统计的争论中逐渐发展起来的，现在的贝叶斯学派已经建立起了自己的理论和方法。虽然经典统计在全球传播已有百年，但同时也有着一些问题。在小样本问题、区间估计的解释、似然理论的认识等问题上，经典统计也受到贝叶斯学派的批评，在这些批评中贝叶斯学派也在不断完善贝叶斯统计。贝叶斯统计已经成为统计学中一个不可或缺的部分。
本文主要介绍在小样本条件下，运用贝叶斯方法对CD生产函数进行参数估计。
一、贝叶斯估计方法
贝叶斯方法是基于贝叶斯定理发展起来的统计分析方法。美籍波兰统计学家耐曼高度概括了在统计推断中可用的三种信息：总体信息、样本信息、先验信息。经典统计学方法只利用总体信息和样本信息，而贝叶斯分析是人们根据先验信息对参数已有一个认识（即先验分布），通过试验，获得样本，从而对先验分布進行一个调整（即用贝叶斯公式调整），调整的结果是后验分布，后验分布是三种信息的综合，然后根据后验信息去推断未知参数。可见在这方面贝叶斯估计是优于经典统计的。贝叶斯估计的步骤：
1、未知参数视为随机变量： θ
缺陷（数据的不可设计性与经验的不能穷尽性）
2、取样本 ，求联合分布密度 ，θ是参数
3、联合分布密度->条件分布密度 是随机变量
4、确定θ的先验分布
5、利用贝叶斯公式求后验分布密度
6、使用后验分布做推断（参数估计、假设检验）
贝叶斯定理可以描述如下：
联合后验概率密度∝先验概率密度×似然函数
在[1]式中，∝表示成比例。该后验概率密度集中了总体信息、样本信息和先验信息等三中信息，而且排除了与参数无关的信息。
二、CD生产函数
生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。C-D生产函数是指产出表示为技术、资本和劳动投入量的函数，是经济学中普遍使用的生产函数，函数形式为：
其中Y、K、L分别表示产出、资本投入量和劳动投入量，A表示效率系数，是广义技术水平的反应，α、β分别表示资本和劳动的产出弹性（生产要素的产出弹性表示当其它投入要素不变时，该要素增加0.01所能引起的变化量）。α+β>1， 称为递增报酬型，表明按技术用扩大生产规模来增加产出是有利的；α+β<1，称为递减报酬型，表明按技术用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的；α+β=1，称为不变报酬型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益。
三、CD生产函数的贝叶斯估计
1. 似然函数
似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性。似然函数在统计推断中有重大作用。“似然性”与“或然性”或“概率”意思相近，都是指某种事件发生的可能性，但是在统计学中，“似然性”和“或然性”或“概率”又有明确的区分。概率用于在已知一些参数的情况下，预测接下来的观测所得到的结果，而似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物的性质的参数进行估计。
将C-D生产函数公式[2]两边取对数，引入误差项ε，并假设K、L是外生变量，并且和ε相互独立，结果如下：
在这里，我们不妨假设误差项ε是服从正态分布 。同时我们假设
如下公式：
令参数向量 。则似然函数为：
这里， 。
2. 先验分布
先验信息即在抽样之前有关统计问题的一些信息，一般说来，先验信息主要来源于经验和历史资料。贝叶斯统计学派把任意一个未知参数都看成随机变量，应用一个概率分布去描述它的未知状况，
不妨假设未知参数的先验信息为 ，即 =
根据一些研究，可以假设γ服从正态分布，τ服从伽玛分布，α和R茁都服从均匀分布 （贝叶斯假设）。
3. 后验分布
根据样本的分布及参数的先验分布，用概率论中求条件概率分布的方法，可算出在已知样本的条件下，参数的条件分布，因为这个分布是在抽样以后才得到的，故称为后验分布。贝叶斯学派认为：这个分布综合了样本及先验分布所提供的有关的信息。抽样的全部目的，就在于完成由先验分布到后验分布的转换。贝叶斯推断方法的关键在于所作出的任何推断都必须也只须根据后验分布，而不能再涉及的样本分布。
若已知观测数据Q、K、L，可以由[1]知，联合后验密度为：
同时，当对[6]式关于不同参数进行多重积分后，可以得到θ=（α，β，γ，τ）中的α，β，γ，τ的各自的后验分布。在这一过程中，涉及到复杂的积分运算，可以借助WinBUGS软件，实现数值模拟，得到区间估计，进行假设检验。
四、总结
贝叶斯统计学和经典统计有些许多相同和不同。贝叶斯学派是在批评和质疑中发展进步的。现在贝叶斯统计已逐渐被更多的人认可和接受，它在某些方面，与经典统计学相比，是有着很大的优势的，比如区间估计等。但也不是说什么时候都可以选择贝叶斯估计，贝叶斯方法是基于先验信息的，如果存在很好的先验信息，可以用贝叶斯估计方法，如果先验信息并不强烈，这时要谨慎使用贝叶斯估计方法。