论文部分内容阅读
摘 要：在我国建设工程项目全面推行招投标制度的背景下，如何在保证一定利润空间的基础上尽可能提高中标概率是所有投标企业关心的核心问题。本文在工程领域通常采用的经评审的最低投标价法的评标办法前提下，分析了博弈论与投标报价之间的紧密联系，提出了采用三角形分布对投标人的成本分布进行更精确的描述，借鉴博弈论中的静态贝叶斯模型，建立了基于经评审的最低投标价法的投标报价模型，并对信息不对称情况下的模型推广进行了探索尝试，以期能为投标人更好地进行报价决策作出一些指导。
关键词：投标报价 不完全信息静态博弈 经评审的最低投标价法 三角形分布
一、引言
随着我国基本建设体制改革的推进和建筑市场交易行为的不断规范，国内的各类建设工程项目实行招标投标已经成为工程承发包的主要形式。
招投标机制的有序竞争为我国建筑工程行业带来了诸多优势，促进了建筑企业整体水平的提高。但另一方面，招投标制度也极大加剧了建筑企业的竞争程度，进一步压缩了企业的利润空间。各企业为了在激烈的市场竞争中求得生存和发展，就必须在投标过程中确定一个最具竞争力又有合理利润的报价。因此，如何优化工程项目的投标报价，通过科学合理的方法来进行报价决策具有积极的现实意义，逐渐成为现代工程投标领域中的研究热点。
近年来，博弈论在建设工程领域的应用也越来越广泛，将博弈论的思想引入到投标报价的研究中，运用博弈论的相关理论模型计算预测报价，具有一定的合理性和可行性，可以理性而有效地指导投标报价决策。
二、相关理论及国内外相关研究
1.经评审的最低投标价法。经评审的最低投标价法是指按照由低到高的顺序对投标价不低于成本价的投标文件进行初步评审和详细评审，推荐通过初步评审和详细评审且评标价最低的前三名投标人作为中标候选人的评标方法。经评审的最低投标价法与国际上通行的“最低价中标法”并不完全相同，是结合我国建筑市场实际情况所建立的具有中国特色的投标价法。《招标投标法》对这种评标办法规定了以下三个限制条件：（1）能够满足招标文件的实质要求；（2）经过评标委员会的评审；（3）投标价格不低于成本。
经评审的最低投标价法抓住了招投标主要是价格竞争的核心，但同时又可以有效防止投标人以牺牲工程质量为代价，盲目地以非理性的低价获取中标的问题。在经评审的最低评标价法背景下，对于特定的一次投标，投标人的竞争主要体现在投标函的报价之中，报价越低，中标可能性越大；但另一方面，在给定中标的情况下，报价越低，利润就越少。因此，如何解决经评审的最低价法下报价的这一基本矛盾是投标人所面临的关键问题。
2.博弈论在招投标中的应用。博弈论又被称为对策论，是研究决策主体的行为发生直接相互作用时的决策以及这种决策的均衡问题。博弈论的基本要素包括参与人、行动、信息、策略、支付（效用）和均衡。根据从信息和行为的时间序列上对博弈进行分类，可以交叉分为四个类型：完全信息静态博弈、不完全信息静态博弈、完全信息动态博弈、不完全信息动态博弈。其中，“不完全信息静态博弈”是指：“在博弈中至少存在部分参与人不完全了解其他人的支付情况，且参与人同时选择行动或虽非同时但后行动者并不知道先行动者所选择的行动”，即静态贝叶斯博弈。
工程项目招投标活动的过程其实就是招标人与投标人，以及投标人与投标人之间的互相博弈过程，并且满足不完全信息静态博弈的全部特点，其博弈要素包括：（1）参与人：所有参与其中的投标人。（2）行动：投标人各自的投标报价。（3）信息：各投标人能够获取的所有信息、数据、资料等。（4）策略：投标人的行动规则，如什么情况下投标，总承包还是分包，如何选择报价策略等。（5）支付函数：投标人从投标中获得的效用水平，即投标是否中标，中标是否能够获取期望收益，这也是投标人最为关心的问题。
由纳什定理可知，由于参与竞标的投标人是有限的，因此投标报价博弈还属于有限博弈，至少存在一个纳什均衡，由上文分析它又是不完全信息静态博弈，其均衡又称为“贝叶斯纳什均衡”。因此，对于招投标来说，理性的投标人完全可以应用博弈论的分析方法做出最优报价决策，从而实现自身的利益最大化。
3.国内外相关研究。对于工程建筑的投标报价问题自二十世纪五十年代就在国外有所研究。1656年，Friedman L.A作为研究投标策略竞争的鼻祖，率先开启了投标策略问题的研究。八十年代之后，Wevergergh M建立了关于在建筑工程领域选择及投标决策的模型，使投标报价策略的研究得到了进一步的发展。随着博弈论的逐渐普及，博弈理论慢慢在工程项目的招投标研究中出现。Bostleman R.L等人是最早利用博弈論来研究工程项目的投标决策问题的学者。
我国对于工程建筑领域投标报价问题的研究起步较晚，自二十世纪八十年代我国普遍实行招投标办法之后才开始有相关学者进行有关招投标理论与方法的研究。同时也已经有不少学者开始逐步关注到博弈论在工程投标报价领域应用的重要性和适用性。综合来看，我国在相关研究方面具有以下特征和局限性。
3.1由于不同的评标办法有其各自的特点，因此对于不同的评标方法需要考虑不同的博弈模型。目前学者们对不同的评标办法背景下可以适用的投标决策都进行了相关的研究，但主要集中于综合评标法，合理低价法，以及有无业主标底的复合标底情形，而对于经评审的最低评标价法的相关研究较少。
3.2在博弈论与投标报价的应用结合方式上，目前研究最多的是从投标人角度出发研究投标人之间的报价策略博弈，但也有学者从招标人角度出发研究如何实现招标人利益最大化，或是研究招标人、投标人、监督机构之间的三方监管博弈等。
3.3由于理论模型都是建立在理想化假设的基础上，在实际应用中会受到诸多方面的限制。越来越多的学者开始立足于投标报价模型的适用性与可操作性，对模型进行相应的优化与推广，以让模型能够更契合工程招投标的实际情形。但这方面的研究还在不断探索之中，还存在大量的不完善性。如对成本分布函数博弈模型的研究中，现有研究都是基于均匀分布来进行的，具有较大的局限性。此外，现有研究大部分都是在信息对称情况下进行的，但实际的招投标活动中投标人之间的信息往往是不对称的。 三、经评审的最低投标价法的工程项目投标报价博弈模型
1.三角形分布与工程项目成本在概率论与统计学中，三角形分布是下限为a、众数为c、上限为b的连续概率分布。其概率密度函数f（x）与累积分布函数F（x）的公式为：
根据英国学者的研究，工程项目的每一个具体活动的风险性成本可以简化为统一的三角形分布，仅需预测出“最大值”、“最小值”和“最可能值”三组数据即可，确定分布所需的数据量大大减少，且这些数据易于通过历史经验积累得到。此外三角形分布还可用于项目确定性成本的分析与计算。
工程成本是承包人为实施合同工程并达到质量标准，必须消耗或使用的人工、材料、工程设备、施工机械台班及其管理等方面发生的费用和按规定缴纳的规费和税金的总和。在招投标活动中，投标价的组成基础就是投标人所估算的工程成本，而产生不同投标价格的差异是由于不同的投标人在其内部管理、技术装备、新技术、新工艺、新材料等方面的应用水平不同，形成投标人自身的个别成本。投标报价的确定，主要在于对工程成本的确定。三角形分布简化模型可以同时用于对工程项目各类成本，包括确定性成本、风险性成本、直接成本、间接成本等的全面计算，从而得到总成本的简化分布。
根据概率的分布理论，三角形分布具有明显的正态分布特征，可以按照正态分布的规律进行计算或模拟，对于项目成本的三角形分布简化可以将项目成本的复杂计算简化为对于期望值的计算，方便操作。因此，三角形分布虽然是一种对于实际情况的简化，但是这种简化所损失的信息量较小，并且由此所得到的结果与实际情况相差不大。
此外，在实际的招投标活动中，投标人在招投标阶段往往并不能准确预估出项目的成本，而仅能根据项目经验判断成本在某一相对确定的取值左右摆动，而这恰好是三角形分布中的“最可能值”数据。因此在推导投标报价模型时采用三角形分布来代替均匀分布模拟正态分布，可以有效克服均匀分布和通用公式的不适用性缺点，更符合现实情况，也能得出更为准确的理论预期结果。
2.信息对称情况下经评审的最低投标价法报价基本模型的建立。
2.1模型假设与模型要素。信息在博弈模型中担当着重要的桥梁作用，对于信息的掌握程度往往决定着博弈模型的最终结果。为了方便分析，先假设投标者的信息对称，即没有参与人在行动时或在重点结处有与其他参与人不同的信息，即无论在投标前后，所有投标人所掌握的信息是完全一致的。
基于经评审的最低价法的评标方法以及模型的特点，对模型做如下假设：
2.1.1假设对于各个投标人而言的各博弈参与方对于投标过程是完全理性的，即各投标人在投标过程中不存在恶意的投标情况。
2.1.2根据工程类企业运作的相似性，可以假设在竞标博弈过程中，所有投标人的报价策略是相同的，他们对招标项目的成本估计也是相互独立的，且各投标人i（i=1，2，…，n）的成本ci只有自己知道，即投标人i不知道其他投标人的成本cj（j=1，2，…，i-1，i+1，…，n），但任何一个竞标者都知道其他投标人的投标成本cj与自己的成本ci一样服从同一分布。即各投标人对于竞争对手的投标信息了解情况是完全对称的。
2.1.3设l为投标人制作投标方案时可以接受的最低工程成本，h为投标人可以承受的方案最高成本；并且在l与h之间存在最优成本k，即投标人可以实现各方面最佳资源配置时的成本。因此可以假设各投标人成本服从区间[l， h]上的三角形分布，设f（x）为投标人成本的三角形分布概率密度函数。
图4 投标人成本的三角形概率密度分布
2.1.4由于投标报价是以经评审的最低报价为中标前提，因此各投标人的报价均不得低于其工程成本。并且随着工程成本的增加，为了保证一定的利润空间，投标报价也会有相应的提升，在此假定投标人i的报价ai是其工程成本的严格递增可微函数ai=g（ci）。
2.1.5由于投标人各自的成本、工程技术水平、对项目的预判等均存在一定差别，因此在竞标中出现相同报价的概率会很小，为了分析的简便，假设不会出现报价相同的情况。
2.1.6假设各投标人都是风险中性偏好的，不存在冒险的情况；并且各投标人均追求利润的最大化。
2.1.7在竞价过程中，所有投标人在规定的时间内进行密封投标，同时公开开标，因此将投标人的投标次序看作是同时进行的，没有先后顺序之分。
2.1.8由于参与投标活动本身的成本较低，在此忽略不计，投标人i的成本仅为工程成本ci。
2.2两个投标人的投标报价模型推导。基于暗标拍卖的模型，首先仅考虑只有两个投标者参与工程投标，即i=1，2。
在招标投标过程中，投标人i的利润表现为其收益函数ui。当i中标时（即其报价低于j的报价），他的利润为ai-ci；当i不中标时（即其报价高于j的报价），利润为0；由于工程竞标具有排他性，通常情况下只能有一位投标人中标，由假设（5）已排除了投标人报价相同的情况。则投标人i的收益函数为：
根据最低价中标的原则，综合考虑投标获胜的概率，可得投标方i竞价的期望收益Eui为：Eui=（ai-ci）p（ai 由假设（4），投标人i的报价都是其成本的严格递增可微函数ai=g（ci），其反函数g-1（ai）同时存在。同理，对于投标人j，有aj=g（cj）。
由于報价函数g（ci）的单调递增性，有p（ai Eui = （ai-ci）p（ai 由于投标人追求利润最大化，因此对于任一投标人i，即要求：
由于ai为严格递增的可微函数，为求上式投标人i的效用最大值，可对ai采用微分方程最优化一阶条件处理，得
当ai取最优报价ai*时，g-1（ai）=ci，则上式化为
展开并两端积分，有
由于L为常数，故令ci=h，可以求得L=0，最终上式化为
（1）
由于f（x）服从[l， h]上的三角形分布，故
2.2.1k≤ci≤h时， 代入式（1），得
解得
即当仅有两个投标人时，投标人i的最优投标报价为其成本ci与其认为的最高成本h和成本ci差的三分之一。
2.2.2l≤ci≤k时，同上分析计算，可得。即当仅有两个投标人时，其投标报价取决于其分布的最优成本k、最低成本l，及其自身实际成本值ci。
2.3多个投标人的投标报价模型推广。在实际招投标活动中，仅有两个投标人参与竞标的情况几乎不存在，因此要对上述模型进行推广，建立多个投标人的投标报价决策模型。
假设有n个投标人参与竞标，其他假设条件不变，每个投标人的成本函数f（x）均服从[l，h]上的三角形分布。则对于任一投标人i，只知道自身成本ci，而不知道剩余的n-1个投标人的成本，但知道其余n-1个投标人的成本函数同样是取自定义在[l，h]上的三角形分布函数。
在此基础上，投标人i的收益函数为：
同样，根据最低价中标的原则，综合考虑投标获胜的概率，可得投标人i竞价的期望收益Eui为：，其中，p（ai 则投标人i的利润最大化问题为，
对ai最优化一阶条件为
化简得：
当ai取最优报价ai*时，g-1（ai）=ci，则上式简化为：
令，则
化为一阶非齐次微分方程，有
由于ai是关于ci的函数，由一阶线性微分方程通解的一般形式可得
其中L为常数，由上述两个投标人时的情况扩展可得L=0，因此上式化为
（2）
由于f（x）服从[l，h]上的三角形分布，故
2.3.1k≤ci≤h时，，则，代入式（2）得
即投标人i的最优投标报价为其成本ci与其认为的最高成本h和成本ci差的（2n-1）分之一之和。
2.3.2l≤ci≤k时，，可得，
代入式（2），同上分析计算，可得到多人博弈下的投标报价决策，在此不作详细计算。即投标人i的最优报价与其实际成本ci，最低成本l，最优成本k，最高成本h，以及投标人数n均密切相关。
3.信息不对称情况下的模型分析。以上讨论的是在信息对称下的基于经评审的最低投标价法的投标报价博弈模型。然而在实际的招投标活动中，投标者为了以更大的机会赢得竞标，必定会通过各种手段来获取招标者及其竞争对手的各种信息，掌握信息较为充分的一方，往往能在竞标中处于比较有利的地位。
在信息不对称情况下，公共假设参考3.2.1。同时为方便说明，以下仅讨论当成本分布函数满足k≤ci≤h区间时，存在多个投标人博弈模型下的信息不对称决策，其他情况可以同理进行推断。
3.1只有一个投标人了解更多其他投标人的成本信息。假设在n人博弈中，投标人i了解到所有其他投标人的投标成本函数满足[l’，h’]上的连续分布，且有l’>l，h’ 对于其他投标人而言，由于信息掌握的不全面，其进行投标报价时仍按照原来的策略进行报价，即由3.2中的模型可得，投标人j的投标报价为
而相对的，投标人i由于掌握了更多信息，对于其他投标人的成本分布函数有更精确的了解，则此时投标人i的投标报价决策为
由于h’ 3.2有q（2≤q 在该假设下，n（n≥3）个投标人中有q个投标人拥有比其他n-q个投标人更多的成本信息，而剩余的n-q个投标人仍只掌握原有信息，因此其仍将按照原来的投标策略进行报价，而对于q个掌握更多信息的投标人，其报价策略为，其中，hq为这q个投标人所了解到的其他n-q个投标人的报价成本区间上限值。
在这种情况下，这q个拥有更多信息的投标人可以确定更低的报价，其中标的概率会有所提高。尤其是当投标人之间实际成本相差不大时，信息便具有相对重要的作用。
3.3有q（2≤q 同上分析，对于其他的n-q个投标人而言，其投标报价策略不会发生改变，而对于了解更多信息的q个投标人，其报价策略为，其中，hq’=max{hq，h}，hq为q个投标人种成本估计的最大值，h为其他n-q个投标人中成本估计的最大值。即当信息公开越多时，降低报价的可能性就越低，因此在竞标中各投标人都应尽量保护好自己的成本信息不泄露。
四、结语
通过以上分析，可以得出以下结论：
1.模型的推导求解依赖于成本分布函数的形式，函数形式不同，最终得到的表达式也不同。用三角形分布模拟投标人的成本分布函数具有一定的科学性与合理性，投标人应在工作活动中立足于历史工程的报价数据，利用统计学原理对企业自身的三角形分布进行分析与拟合，以充分利用模型，合理做出报价决策，提高中标概率。 2.由三角形分布下，多人竞标的报价决策公式可以得出，随着投标人数n的增加，报价值会逐渐降低，并越来越接近其成本值。这与《招投标法》中规定的“要求投标人数不得少于三人，对招标人有利”相一致。
3.成本分布函数的区间取值也会对最终的报价结果产生影响，且投标人数越少，区间值的影响越显著。故投标人应根据工作经验及相关数据，结合企业自身水平，合理确定最低、最高，以及最优成本值。
4.竞标过程中对于信息的掌握程度会影响最终的结果。在信息对称情况下，投标人按照自身与对手的博弈分析而得到的报价决策是最优的；但在信息不对称的情况下，掌握更多相关成本信息的投标人往往更具有主动优势与有利地位。因此，各投标人都应注意自身信息的保密性，并尽可能准确获取其他竞争者的信息。
虽然该模型建立在诸多理想假设条件的基础上，与实际的招投标活动存在一定的差距，但在目前工程领域较为常用的经评审的最低投标价法评标办法下，通过三角形分布来模拟企业的成本分布，比传统的均匀分布及难以求解的通用公式有了一定的进步，可以帮助投标企业更准确的进行报价决策，提高中标概率，扩大利润空间。同时通过以上结论，有助于督促投标企业在成本控制、信息掌握、经验积累等方面做出努力，从而进一步提高企业的工程服务水平，促进建筑业的良性发展。
参考文献：
[1]郑丛旭. 基于博弈论的公路工程项目投标报价研究[D] 长沙：长沙理工大学. 2010.
[2]建设部. 经评审的最低投标价法实施细则[S]. 2002.04.26.
[3]张维迎. 博弈论与信息经济学[M]. 上海：上海三联书店，1996.
[4]梁刚，宋伟. 基于博弈论的工程项目招投标机制设计探讨[J]. 山西建筑. 2008.10：25-27.
[5]Friedman L. A competitive bidding strategy. Operations Research， 1956（4）：104-112.
[6]Weverbergh M. Competitive bidding： estimating the joint distribution of bids. Working paper 82-79， December， Centrum voor Bedrijfseconomie en Beddrijfsenometrie Universiteit Antwerpeb – USFIA， 1982：131-135.
[7]Bostleman R.L， Au T and Parti E， Construcion Management Game – Deterministic Model， ASCE Journal of Construction Division， V01.95， 1969 pp.25-38.
[8]維基百科 – “三角形分布”[DB/OL].http：//zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E5%88%86%E5%B8%83.
[9]任泽民，阎西康，刘平. 建安工程成本的内涵与投标价格[J]. 建筑经济. 2007.12：11-13.
[10]马国顺，杨丽英，刘文文. 基于三角形分布的一级密封价格拍卖博弈及均衡分析[J]. 工业技术经济. 2010.02：74-76.
[11]施锡铨. 博弈论[M]. 上海：上海财经大学出版社，2000.
[12]李梦君. 暗标拍卖的博弈分析[J]. 科技创业月刊. 2009.22（9）：43-44.
关键词：投标报价 不完全信息静态博弈 经评审的最低投标价法 三角形分布
一、引言
随着我国基本建设体制改革的推进和建筑市场交易行为的不断规范，国内的各类建设工程项目实行招标投标已经成为工程承发包的主要形式。
招投标机制的有序竞争为我国建筑工程行业带来了诸多优势，促进了建筑企业整体水平的提高。但另一方面，招投标制度也极大加剧了建筑企业的竞争程度，进一步压缩了企业的利润空间。各企业为了在激烈的市场竞争中求得生存和发展，就必须在投标过程中确定一个最具竞争力又有合理利润的报价。因此，如何优化工程项目的投标报价，通过科学合理的方法来进行报价决策具有积极的现实意义，逐渐成为现代工程投标领域中的研究热点。
近年来，博弈论在建设工程领域的应用也越来越广泛，将博弈论的思想引入到投标报价的研究中，运用博弈论的相关理论模型计算预测报价，具有一定的合理性和可行性，可以理性而有效地指导投标报价决策。
二、相关理论及国内外相关研究
1.经评审的最低投标价法。经评审的最低投标价法是指按照由低到高的顺序对投标价不低于成本价的投标文件进行初步评审和详细评审，推荐通过初步评审和详细评审且评标价最低的前三名投标人作为中标候选人的评标方法。经评审的最低投标价法与国际上通行的“最低价中标法”并不完全相同，是结合我国建筑市场实际情况所建立的具有中国特色的投标价法。《招标投标法》对这种评标办法规定了以下三个限制条件：（1）能够满足招标文件的实质要求；（2）经过评标委员会的评审；（3）投标价格不低于成本。
经评审的最低投标价法抓住了招投标主要是价格竞争的核心，但同时又可以有效防止投标人以牺牲工程质量为代价，盲目地以非理性的低价获取中标的问题。在经评审的最低评标价法背景下，对于特定的一次投标，投标人的竞争主要体现在投标函的报价之中，报价越低，中标可能性越大；但另一方面，在给定中标的情况下，报价越低，利润就越少。因此，如何解决经评审的最低价法下报价的这一基本矛盾是投标人所面临的关键问题。
2.博弈论在招投标中的应用。博弈论又被称为对策论，是研究决策主体的行为发生直接相互作用时的决策以及这种决策的均衡问题。博弈论的基本要素包括参与人、行动、信息、策略、支付（效用）和均衡。根据从信息和行为的时间序列上对博弈进行分类，可以交叉分为四个类型：完全信息静态博弈、不完全信息静态博弈、完全信息动态博弈、不完全信息动态博弈。其中，“不完全信息静态博弈”是指：“在博弈中至少存在部分参与人不完全了解其他人的支付情况，且参与人同时选择行动或虽非同时但后行动者并不知道先行动者所选择的行动”，即静态贝叶斯博弈。
工程项目招投标活动的过程其实就是招标人与投标人，以及投标人与投标人之间的互相博弈过程，并且满足不完全信息静态博弈的全部特点，其博弈要素包括：（1）参与人：所有参与其中的投标人。（2）行动：投标人各自的投标报价。（3）信息：各投标人能够获取的所有信息、数据、资料等。（4）策略：投标人的行动规则，如什么情况下投标，总承包还是分包，如何选择报价策略等。（5）支付函数：投标人从投标中获得的效用水平，即投标是否中标，中标是否能够获取期望收益，这也是投标人最为关心的问题。
由纳什定理可知，由于参与竞标的投标人是有限的，因此投标报价博弈还属于有限博弈，至少存在一个纳什均衡，由上文分析它又是不完全信息静态博弈，其均衡又称为“贝叶斯纳什均衡”。因此，对于招投标来说，理性的投标人完全可以应用博弈论的分析方法做出最优报价决策，从而实现自身的利益最大化。
3.国内外相关研究。对于工程建筑的投标报价问题自二十世纪五十年代就在国外有所研究。1656年，Friedman L.A作为研究投标策略竞争的鼻祖，率先开启了投标策略问题的研究。八十年代之后，Wevergergh M建立了关于在建筑工程领域选择及投标决策的模型，使投标报价策略的研究得到了进一步的发展。随着博弈论的逐渐普及，博弈理论慢慢在工程项目的招投标研究中出现。Bostleman R.L等人是最早利用博弈論来研究工程项目的投标决策问题的学者。
我国对于工程建筑领域投标报价问题的研究起步较晚，自二十世纪八十年代我国普遍实行招投标办法之后才开始有相关学者进行有关招投标理论与方法的研究。同时也已经有不少学者开始逐步关注到博弈论在工程投标报价领域应用的重要性和适用性。综合来看，我国在相关研究方面具有以下特征和局限性。
3.1由于不同的评标办法有其各自的特点，因此对于不同的评标方法需要考虑不同的博弈模型。目前学者们对不同的评标办法背景下可以适用的投标决策都进行了相关的研究，但主要集中于综合评标法，合理低价法，以及有无业主标底的复合标底情形，而对于经评审的最低评标价法的相关研究较少。
3.2在博弈论与投标报价的应用结合方式上，目前研究最多的是从投标人角度出发研究投标人之间的报价策略博弈，但也有学者从招标人角度出发研究如何实现招标人利益最大化，或是研究招标人、投标人、监督机构之间的三方监管博弈等。
3.3由于理论模型都是建立在理想化假设的基础上，在实际应用中会受到诸多方面的限制。越来越多的学者开始立足于投标报价模型的适用性与可操作性，对模型进行相应的优化与推广，以让模型能够更契合工程招投标的实际情形。但这方面的研究还在不断探索之中，还存在大量的不完善性。如对成本分布函数博弈模型的研究中，现有研究都是基于均匀分布来进行的，具有较大的局限性。此外，现有研究大部分都是在信息对称情况下进行的，但实际的招投标活动中投标人之间的信息往往是不对称的。 三、经评审的最低投标价法的工程项目投标报价博弈模型
1.三角形分布与工程项目成本在概率论与统计学中，三角形分布是下限为a、众数为c、上限为b的连续概率分布。其概率密度函数f（x）与累积分布函数F（x）的公式为：
根据英国学者的研究，工程项目的每一个具体活动的风险性成本可以简化为统一的三角形分布，仅需预测出“最大值”、“最小值”和“最可能值”三组数据即可，确定分布所需的数据量大大减少，且这些数据易于通过历史经验积累得到。此外三角形分布还可用于项目确定性成本的分析与计算。
工程成本是承包人为实施合同工程并达到质量标准，必须消耗或使用的人工、材料、工程设备、施工机械台班及其管理等方面发生的费用和按规定缴纳的规费和税金的总和。在招投标活动中，投标价的组成基础就是投标人所估算的工程成本，而产生不同投标价格的差异是由于不同的投标人在其内部管理、技术装备、新技术、新工艺、新材料等方面的应用水平不同，形成投标人自身的个别成本。投标报价的确定，主要在于对工程成本的确定。三角形分布简化模型可以同时用于对工程项目各类成本，包括确定性成本、风险性成本、直接成本、间接成本等的全面计算，从而得到总成本的简化分布。
根据概率的分布理论，三角形分布具有明显的正态分布特征，可以按照正态分布的规律进行计算或模拟，对于项目成本的三角形分布简化可以将项目成本的复杂计算简化为对于期望值的计算，方便操作。因此，三角形分布虽然是一种对于实际情况的简化，但是这种简化所损失的信息量较小，并且由此所得到的结果与实际情况相差不大。
此外，在实际的招投标活动中，投标人在招投标阶段往往并不能准确预估出项目的成本，而仅能根据项目经验判断成本在某一相对确定的取值左右摆动，而这恰好是三角形分布中的“最可能值”数据。因此在推导投标报价模型时采用三角形分布来代替均匀分布模拟正态分布，可以有效克服均匀分布和通用公式的不适用性缺点，更符合现实情况，也能得出更为准确的理论预期结果。
2.信息对称情况下经评审的最低投标价法报价基本模型的建立。
2.1模型假设与模型要素。信息在博弈模型中担当着重要的桥梁作用，对于信息的掌握程度往往决定着博弈模型的最终结果。为了方便分析，先假设投标者的信息对称，即没有参与人在行动时或在重点结处有与其他参与人不同的信息，即无论在投标前后，所有投标人所掌握的信息是完全一致的。
基于经评审的最低价法的评标方法以及模型的特点，对模型做如下假设：
2.1.1假设对于各个投标人而言的各博弈参与方对于投标过程是完全理性的，即各投标人在投标过程中不存在恶意的投标情况。
2.1.2根据工程类企业运作的相似性，可以假设在竞标博弈过程中，所有投标人的报价策略是相同的，他们对招标项目的成本估计也是相互独立的，且各投标人i（i=1，2，…，n）的成本ci只有自己知道，即投标人i不知道其他投标人的成本cj（j=1，2，…，i-1，i+1，…，n），但任何一个竞标者都知道其他投标人的投标成本cj与自己的成本ci一样服从同一分布。即各投标人对于竞争对手的投标信息了解情况是完全对称的。
2.1.3设l为投标人制作投标方案时可以接受的最低工程成本，h为投标人可以承受的方案最高成本；并且在l与h之间存在最优成本k，即投标人可以实现各方面最佳资源配置时的成本。因此可以假设各投标人成本服从区间[l， h]上的三角形分布，设f（x）为投标人成本的三角形分布概率密度函数。
图4 投标人成本的三角形概率密度分布
2.1.4由于投标报价是以经评审的最低报价为中标前提，因此各投标人的报价均不得低于其工程成本。并且随着工程成本的增加，为了保证一定的利润空间，投标报价也会有相应的提升，在此假定投标人i的报价ai是其工程成本的严格递增可微函数ai=g（ci）。
2.1.5由于投标人各自的成本、工程技术水平、对项目的预判等均存在一定差别，因此在竞标中出现相同报价的概率会很小，为了分析的简便，假设不会出现报价相同的情况。
2.1.6假设各投标人都是风险中性偏好的，不存在冒险的情况；并且各投标人均追求利润的最大化。
2.1.7在竞价过程中，所有投标人在规定的时间内进行密封投标，同时公开开标，因此将投标人的投标次序看作是同时进行的，没有先后顺序之分。
2.1.8由于参与投标活动本身的成本较低，在此忽略不计，投标人i的成本仅为工程成本ci。
2.2两个投标人的投标报价模型推导。基于暗标拍卖的模型，首先仅考虑只有两个投标者参与工程投标，即i=1，2。
在招标投标过程中，投标人i的利润表现为其收益函数ui。当i中标时（即其报价低于j的报价），他的利润为ai-ci；当i不中标时（即其报价高于j的报价），利润为0；由于工程竞标具有排他性，通常情况下只能有一位投标人中标，由假设（5）已排除了投标人报价相同的情况。则投标人i的收益函数为：
根据最低价中标的原则，综合考虑投标获胜的概率，可得投标方i竞价的期望收益Eui为：Eui=（ai-ci）p（ai
由于報价函数g（ci）的单调递增性，有p（ai
当ai取最优报价ai*时，g-1（ai）=ci，则上式化为
展开并两端积分，有
由于L为常数，故令ci=h，可以求得L=0，最终上式化为
（1）
由于f（x）服从[l， h]上的三角形分布，故
2.2.1k≤ci≤h时， 代入式（1），得
解得
即当仅有两个投标人时，投标人i的最优投标报价为其成本ci与其认为的最高成本h和成本ci差的三分之一。
2.2.2l≤ci≤k时，同上分析计算，可得。即当仅有两个投标人时，其投标报价取决于其分布的最优成本k、最低成本l，及其自身实际成本值ci。
2.3多个投标人的投标报价模型推广。在实际招投标活动中，仅有两个投标人参与竞标的情况几乎不存在，因此要对上述模型进行推广，建立多个投标人的投标报价决策模型。
假设有n个投标人参与竞标，其他假设条件不变，每个投标人的成本函数f（x）均服从[l，h]上的三角形分布。则对于任一投标人i，只知道自身成本ci，而不知道剩余的n-1个投标人的成本，但知道其余n-1个投标人的成本函数同样是取自定义在[l，h]上的三角形分布函数。
在此基础上，投标人i的收益函数为：
同样，根据最低价中标的原则，综合考虑投标获胜的概率，可得投标人i竞价的期望收益Eui为：，其中，p（ai
对ai最优化一阶条件为
化简得：
当ai取最优报价ai*时，g-1（ai）=ci，则上式简化为：
令，则
化为一阶非齐次微分方程，有
由于ai是关于ci的函数，由一阶线性微分方程通解的一般形式可得
其中L为常数，由上述两个投标人时的情况扩展可得L=0，因此上式化为
（2）
由于f（x）服从[l，h]上的三角形分布，故
2.3.1k≤ci≤h时，，则，代入式（2）得
即投标人i的最优投标报价为其成本ci与其认为的最高成本h和成本ci差的（2n-1）分之一之和。
2.3.2l≤ci≤k时，，可得，
代入式（2），同上分析计算，可得到多人博弈下的投标报价决策，在此不作详细计算。即投标人i的最优报价与其实际成本ci，最低成本l，最优成本k，最高成本h，以及投标人数n均密切相关。
3.信息不对称情况下的模型分析。以上讨论的是在信息对称下的基于经评审的最低投标价法的投标报价博弈模型。然而在实际的招投标活动中，投标者为了以更大的机会赢得竞标，必定会通过各种手段来获取招标者及其竞争对手的各种信息，掌握信息较为充分的一方，往往能在竞标中处于比较有利的地位。
在信息不对称情况下，公共假设参考3.2.1。同时为方便说明，以下仅讨论当成本分布函数满足k≤ci≤h区间时，存在多个投标人博弈模型下的信息不对称决策，其他情况可以同理进行推断。
3.1只有一个投标人了解更多其他投标人的成本信息。假设在n人博弈中，投标人i了解到所有其他投标人的投标成本函数满足[l’，h’]上的连续分布，且有l’>l，h’
而相对的，投标人i由于掌握了更多信息，对于其他投标人的成本分布函数有更精确的了解，则此时投标人i的投标报价决策为
由于h’
在这种情况下，这q个拥有更多信息的投标人可以确定更低的报价，其中标的概率会有所提高。尤其是当投标人之间实际成本相差不大时，信息便具有相对重要的作用。
3.3有q（2≤q
四、结语
通过以上分析，可以得出以下结论：
1.模型的推导求解依赖于成本分布函数的形式，函数形式不同，最终得到的表达式也不同。用三角形分布模拟投标人的成本分布函数具有一定的科学性与合理性，投标人应在工作活动中立足于历史工程的报价数据，利用统计学原理对企业自身的三角形分布进行分析与拟合，以充分利用模型，合理做出报价决策，提高中标概率。 2.由三角形分布下，多人竞标的报价决策公式可以得出，随着投标人数n的增加，报价值会逐渐降低，并越来越接近其成本值。这与《招投标法》中规定的“要求投标人数不得少于三人，对招标人有利”相一致。
3.成本分布函数的区间取值也会对最终的报价结果产生影响，且投标人数越少，区间值的影响越显著。故投标人应根据工作经验及相关数据，结合企业自身水平，合理确定最低、最高，以及最优成本值。
4.竞标过程中对于信息的掌握程度会影响最终的结果。在信息对称情况下，投标人按照自身与对手的博弈分析而得到的报价决策是最优的；但在信息不对称的情况下，掌握更多相关成本信息的投标人往往更具有主动优势与有利地位。因此，各投标人都应注意自身信息的保密性，并尽可能准确获取其他竞争者的信息。
虽然该模型建立在诸多理想假设条件的基础上，与实际的招投标活动存在一定的差距，但在目前工程领域较为常用的经评审的最低投标价法评标办法下，通过三角形分布来模拟企业的成本分布，比传统的均匀分布及难以求解的通用公式有了一定的进步，可以帮助投标企业更准确的进行报价决策，提高中标概率，扩大利润空间。同时通过以上结论，有助于督促投标企业在成本控制、信息掌握、经验积累等方面做出努力，从而进一步提高企业的工程服务水平，促进建筑业的良性发展。
参考文献：
[1]郑丛旭. 基于博弈论的公路工程项目投标报价研究[D] 长沙：长沙理工大学. 2010.
[2]建设部. 经评审的最低投标价法实施细则[S]. 2002.04.26.
[3]张维迎. 博弈论与信息经济学[M]. 上海：上海三联书店，1996.
[4]梁刚，宋伟. 基于博弈论的工程项目招投标机制设计探讨[J]. 山西建筑. 2008.10：25-27.
[5]Friedman L. A competitive bidding strategy. Operations Research， 1956（4）：104-112.
[6]Weverbergh M. Competitive bidding： estimating the joint distribution of bids. Working paper 82-79， December， Centrum voor Bedrijfseconomie en Beddrijfsenometrie Universiteit Antwerpeb – USFIA， 1982：131-135.
[7]Bostleman R.L， Au T and Parti E， Construcion Management Game – Deterministic Model， ASCE Journal of Construction Division， V01.95， 1969 pp.25-38.
[8]維基百科 – “三角形分布”[DB/OL].http：//zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E5%88%86%E5%B8%83.
[9]任泽民，阎西康，刘平. 建安工程成本的内涵与投标价格[J]. 建筑经济. 2007.12：11-13.
[10]马国顺，杨丽英，刘文文. 基于三角形分布的一级密封价格拍卖博弈及均衡分析[J]. 工业技术经济. 2010.02：74-76.
[11]施锡铨. 博弈论[M]. 上海：上海财经大学出版社，2000.
[12]李梦君. 暗标拍卖的博弈分析[J]. 科技创业月刊. 2009.22（9）：43-44.