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【摘要】表征是一种教学手段，利用它可以加深学生對数学的理解，它存在于数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践等各大领域教学中。在代数领域中，运用图形表征，对于学生理解数的特征、运算方法、数的大小比较等有重要的作用。
【关键词】图形表征 模型表征 言语表征
数学是研究数量关系和空间形式的科学。儿童学习数学的主要矛盾是抽象和形象的矛盾，表征是化解这一矛盾的办法之一。何为“表征”？《站起来的儿童数学》一书中指出：“表征是利用某一种形式，将事物或者想法重新表现出来，以达到沟通的目的。”当表征所表示的意思真正掌握以后，可以进一步作为生成性资源，从而帮助学生降低解题难度。
在教学过程中，我们发现大多学生在代数领域不能够主动建构不同于教学中最常用的表征。而且还发现数学成绩与数学表征能力相互影响、促进，互为因果。其中，学有余力的学生表征方式的特点有方式比较丰富、具有整合性、灵活性，能在较大程度上反映概念的本质属性，比较准确。而学习有困难的学生所呈现的表征特征是方式比较单一、具有分散性、僵滞性，反映概念本质属性的程度低，不够准确。
表征是一种教学手段，利用它可以加深学生对数学的理解，它存在于数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践等各大领域教学中。在代数领域中，运用图形表征，对于学生理解数的特征、运算方法、数的大小比较等有重要的作用。
一、借助图形表征，揭开数特征的面纱
布鲁纳认为，儿童的思维活动依赖外在刺激的程度来决定儿童心智的成长。教材在编排认数的逻辑顺序一般是通过实物、图形等直观可视的方式来表征抽象的数，为学生认识、理解数提供帮助。当离开具体物体时，学生能在心中以具体的形象作为思考的材料并以图形的形式进行展现。这种可视化的阐述拉近了抽象的数与学生心理的差距，从而易于学生理解和接受。
如教学五年级下册《认识分数》时，儿童理解分数意义的关键在于对“单位1”的正确认识，“单位1”不仅可以表示一个东西或一个计量单位，还可以表示由几个物体组成的一个整体，所以这节课的重点与难点都应该放在认识“单位1”的意义上。通过呈现用实物图表示的一块饼、一个长方形、一根1米长的直条和由6个圆组成的一个整体，让学生用分数表示每个图中的涂色部分，同时让学生知道一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，并由此引出单位“1”的概念。通过表征，单位“1”变得直观、可视，这样的方式使学生很自然地理解用“自然数1”来表示单位“1”。
学生认数的过程中离不开直观，借助“形”的生动性和直观性认识数，化抽象为具体，在大量感性材料中学生感悟数的内涵，建立表象，从而更好地沟通数的意义、数与数之间的联系、数感的培养。如：在数小棒、搭多边形中认识整数;在等分图形中认识分数和小数;利用交集图理解公因数与公倍数;等等。这种可视的表征方式唤起了学生的生活经验，从而使学生揭开数的本质。
二、借助模型表征， 回归意义价值
模型表征是以具体可触摸的模型取代实物，并保留原物的可操作性。以模型表征数，使抽象的数和现实之间的数量建立联系。模型表征的教学要做到有步骤、有计划的推进，使儿童亲身经历表征的全过程。在这种形式化的表征中，学生可以掌握相对难理解且课本中抽象化水平较高的内容。
在小学阶段学生主要学习“行为的分数”。教材中往往以学生数学的日常生活与活动为模型，建立分数的概念。例如：把一个蛋糕平均分成两份，每份是 ;把一张正方形的纸平均分成四份，其中的一份是 。这仅仅是从面积模型的角度来理解，学生还可以借助多种模型来理解分数。
如：分数的集合模型表征。
分数的集合模型需要学生有更高层次的抽象能力，它的核心是把“多个”看作“整体1”，其优点是有利于比较抽象的数值形式表示“比”与“百分比”。“整体1”可以分为以下6种情况（以“ ”为例）：
①1个物体，比如，一个“正方形”平均分为6份，取其中的1份;
②6个物体，比如，“6支铅笔”其中的“1支”占“6支”的 ;
③6个以上但是6的倍数，比如，“12块饼干”平均分为6份，取其中的1份;
④比1个多但比6少，比如，“2块糖”作为整体;
⑤比6个多但不能被6整除，比如，“7个苹果”作为“整体”;
⑥一个单独物体的一部分的六分之一，比如，1米的五分之四的六分之一。
用这些材料进行表征可帮学生建立“单位”“位值”等概念，为他们进行有意义的运算打下基础。
再如：分数的数轴模型表征。
数轴上点与数的对应——数形结合的思想，这种思想第一次进入学生的头脑，应该说这是数学思想方法上的一次飞跃，一次革命。数轴学习的过程，就是沟通数与直线的联系的过程。数轴的原型是温度计和行程路线图，首先由温度计、行程路线图提炼出数轴的几何结构，然后建立分数、小数、整数以及今后学习负数与直线上点的对应，这就得出了数轴。而这个数轴作为桥梁就把看上去无关的两个无穷集合建立联系，一方面数的性质可以直观地表示在图形上，另一方面在图形上又可以形象而具体地研究数的性质。
例：在直线上画出表示各分数的点，看看表示真分数和假分数的点各在直线的哪一段上。
通过观察数轴上表示各个分数的点的位置，学生会有三点发现：第一，表示真分数的点在0和1之间，因此真分数都比1小;表示假分数的点在1或1的右边，因此假分数等于或者大于1。第二，每条数轴上的同分母分数从左往右逐渐变大，这是因为它们含有分数单位的个数增多。第三，表示“ 、 、 ”的点都与表示1的点重合，表示“ 、 、 ” 的点都与表示2的点重合，表示二分之六的点则与表示3的点重合，这就表明上述假分数中较为特殊的一类，它们都可以化成整数。利用数轴的直观性表征进行教学，学生对于真分数、假分数等之间的区别和联系有了更加可视化的表征，可以取得事半功倍的效果。
三、借助言语表征，完善结构系统
言语表征是语言材料所负载的信息在头脑中的存在方式，是一种相对图形表征来说较为高级的表征方式。言语表征是符号性表征中的一种，它是储存于头脑中的“概念意向”在特定的时候被激活，适时描摹对象并用口语加以描述，其他个体可结合语言来勾画具象的过程。
例如：把假分数化成带分数时，关键要引导学生找到相应的整数和真分数，理解“可以用除法计算”的道理。有的同学会联系图来描述，“ ” 里有“11个 ”，其中的“8个 ”可以看作2，其余的“3个 ”是“ ”，“2与 ”合起来是“ ”。
又如：在进行分数与小数比较大小时，有的学生借助已有的知识经验和生活经验来描述：0.5米是1米的一半， 超过了1米的一半，所以“0.5> ”;有的同学运用自己的策略与方法进行比较，在比较中自主探索把分数化成小数的方法：把“ ”转化成小数0.75。以言语符号进行表征的儿童，他们的思维活动不再依赖实物或图像的操作，仅以口语这一符号来反映个体的心智活动，故抽象思考性较高。
在教学过程中，教师的教学应该建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，应引导学生运用多元表征，引领学生经历自我建构、自我生成的过程。
【参考文献】
1、教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
2、王林.小学数学课程标准研究与实践[M].南京：江苏教育出版社，2011.
3、庄惠芬.站起来的儿童数学[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2015.
4、陈曦.借助直观表征培养数学思维能力[J].小学数学教育，2016（9）.
【关键词】图形表征 模型表征 言语表征
数学是研究数量关系和空间形式的科学。儿童学习数学的主要矛盾是抽象和形象的矛盾，表征是化解这一矛盾的办法之一。何为“表征”？《站起来的儿童数学》一书中指出：“表征是利用某一种形式，将事物或者想法重新表现出来，以达到沟通的目的。”当表征所表示的意思真正掌握以后，可以进一步作为生成性资源，从而帮助学生降低解题难度。
在教学过程中，我们发现大多学生在代数领域不能够主动建构不同于教学中最常用的表征。而且还发现数学成绩与数学表征能力相互影响、促进，互为因果。其中，学有余力的学生表征方式的特点有方式比较丰富、具有整合性、灵活性，能在较大程度上反映概念的本质属性，比较准确。而学习有困难的学生所呈现的表征特征是方式比较单一、具有分散性、僵滞性，反映概念本质属性的程度低，不够准确。
表征是一种教学手段，利用它可以加深学生对数学的理解，它存在于数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践等各大领域教学中。在代数领域中，运用图形表征，对于学生理解数的特征、运算方法、数的大小比较等有重要的作用。
一、借助图形表征，揭开数特征的面纱
布鲁纳认为，儿童的思维活动依赖外在刺激的程度来决定儿童心智的成长。教材在编排认数的逻辑顺序一般是通过实物、图形等直观可视的方式来表征抽象的数，为学生认识、理解数提供帮助。当离开具体物体时，学生能在心中以具体的形象作为思考的材料并以图形的形式进行展现。这种可视化的阐述拉近了抽象的数与学生心理的差距，从而易于学生理解和接受。
如教学五年级下册《认识分数》时，儿童理解分数意义的关键在于对“单位1”的正确认识，“单位1”不仅可以表示一个东西或一个计量单位，还可以表示由几个物体组成的一个整体，所以这节课的重点与难点都应该放在认识“单位1”的意义上。通过呈现用实物图表示的一块饼、一个长方形、一根1米长的直条和由6个圆组成的一个整体，让学生用分数表示每个图中的涂色部分，同时让学生知道一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，并由此引出单位“1”的概念。通过表征，单位“1”变得直观、可视，这样的方式使学生很自然地理解用“自然数1”来表示单位“1”。
学生认数的过程中离不开直观，借助“形”的生动性和直观性认识数，化抽象为具体，在大量感性材料中学生感悟数的内涵，建立表象，从而更好地沟通数的意义、数与数之间的联系、数感的培养。如：在数小棒、搭多边形中认识整数;在等分图形中认识分数和小数;利用交集图理解公因数与公倍数;等等。这种可视的表征方式唤起了学生的生活经验，从而使学生揭开数的本质。
二、借助模型表征， 回归意义价值
模型表征是以具体可触摸的模型取代实物，并保留原物的可操作性。以模型表征数，使抽象的数和现实之间的数量建立联系。模型表征的教学要做到有步骤、有计划的推进，使儿童亲身经历表征的全过程。在这种形式化的表征中，学生可以掌握相对难理解且课本中抽象化水平较高的内容。
在小学阶段学生主要学习“行为的分数”。教材中往往以学生数学的日常生活与活动为模型，建立分数的概念。例如：把一个蛋糕平均分成两份，每份是 ;把一张正方形的纸平均分成四份，其中的一份是 。这仅仅是从面积模型的角度来理解，学生还可以借助多种模型来理解分数。
如：分数的集合模型表征。
分数的集合模型需要学生有更高层次的抽象能力，它的核心是把“多个”看作“整体1”，其优点是有利于比较抽象的数值形式表示“比”与“百分比”。“整体1”可以分为以下6种情况（以“ ”为例）：
①1个物体，比如，一个“正方形”平均分为6份，取其中的1份;
②6个物体，比如，“6支铅笔”其中的“1支”占“6支”的 ;
③6个以上但是6的倍数，比如，“12块饼干”平均分为6份，取其中的1份;
④比1个多但比6少，比如，“2块糖”作为整体;
⑤比6个多但不能被6整除，比如，“7个苹果”作为“整体”;
⑥一个单独物体的一部分的六分之一，比如，1米的五分之四的六分之一。
用这些材料进行表征可帮学生建立“单位”“位值”等概念，为他们进行有意义的运算打下基础。
再如：分数的数轴模型表征。
数轴上点与数的对应——数形结合的思想，这种思想第一次进入学生的头脑，应该说这是数学思想方法上的一次飞跃，一次革命。数轴学习的过程，就是沟通数与直线的联系的过程。数轴的原型是温度计和行程路线图，首先由温度计、行程路线图提炼出数轴的几何结构，然后建立分数、小数、整数以及今后学习负数与直线上点的对应，这就得出了数轴。而这个数轴作为桥梁就把看上去无关的两个无穷集合建立联系，一方面数的性质可以直观地表示在图形上，另一方面在图形上又可以形象而具体地研究数的性质。
例：在直线上画出表示各分数的点，看看表示真分数和假分数的点各在直线的哪一段上。
通过观察数轴上表示各个分数的点的位置，学生会有三点发现：第一，表示真分数的点在0和1之间，因此真分数都比1小;表示假分数的点在1或1的右边，因此假分数等于或者大于1。第二，每条数轴上的同分母分数从左往右逐渐变大，这是因为它们含有分数单位的个数增多。第三，表示“ 、 、 ”的点都与表示1的点重合，表示“ 、 、 ” 的点都与表示2的点重合，表示二分之六的点则与表示3的点重合，这就表明上述假分数中较为特殊的一类，它们都可以化成整数。利用数轴的直观性表征进行教学，学生对于真分数、假分数等之间的区别和联系有了更加可视化的表征，可以取得事半功倍的效果。
三、借助言语表征，完善结构系统
言语表征是语言材料所负载的信息在头脑中的存在方式，是一种相对图形表征来说较为高级的表征方式。言语表征是符号性表征中的一种，它是储存于头脑中的“概念意向”在特定的时候被激活，适时描摹对象并用口语加以描述，其他个体可结合语言来勾画具象的过程。
例如：把假分数化成带分数时，关键要引导学生找到相应的整数和真分数，理解“可以用除法计算”的道理。有的同学会联系图来描述，“ ” 里有“11个 ”，其中的“8个 ”可以看作2，其余的“3个 ”是“ ”，“2与 ”合起来是“ ”。
又如：在进行分数与小数比较大小时，有的学生借助已有的知识经验和生活经验来描述：0.5米是1米的一半， 超过了1米的一半，所以“0.5> ”;有的同学运用自己的策略与方法进行比较，在比较中自主探索把分数化成小数的方法：把“ ”转化成小数0.75。以言语符号进行表征的儿童，他们的思维活动不再依赖实物或图像的操作，仅以口语这一符号来反映个体的心智活动，故抽象思考性较高。
在教学过程中，教师的教学应该建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，应引导学生运用多元表征，引领学生经历自我建构、自我生成的过程。
【参考文献】
1、教育部基础教育课程教材专家工作委员会.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
2、王林.小学数学课程标准研究与实践[M].南京：江苏教育出版社，2011.
3、庄惠芬.站起来的儿童数学[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2015.
4、陈曦.借助直观表征培养数学思维能力[J].小学数学教育，2016（9）.