分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数，它是一个函数，却经常被学生误认为是几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.分段函数情形复杂、综合性强，能有效考查复杂函数的图象和性质，综合考查函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想和分类讨论思想，因此分段函数倍受高考命题人青睐，是历年高考中的热点题型.在2015年高考的全国各省市15份理科试卷中有8份试卷考查了分段函数，这8道题目均为客观题且大多为客观题中的压轴题，分段函数成为2015年高考中一道亮丽的风景线.下面对这8道考题一一加以解析，供参考.
　　例1（浙江卷第10题）已知函数f（x）=x 2x-3，x≥1，
　　lg（x2 1），x<1，则f（f（-3））=；f（x）的最小值是.
　　解因为f（-3）=lg10=1，所以f（f（-3））=f（1）=0.
　　若x≥1，则，f′（x）=x2-2x2，当12时，f′（x）>0，所以f（x）min=f（2）=22-3.若x<1，则f（x）=lg（x2 1）≥f（0）=0.
　　综上可知，f（x）的最小值是22-3.
　　点评本题主要考查分段函数的求值和最值.分段函数的最小（大）值是各段函数最小（大）值（如果有最小值或最大值）中的最小（大）者.
　　例2（福建卷第14题）若函数f（x）=-x 6，x≤2，
　　3 logax，x>2（a>0，且a≠1）的值域是[4， ∞），则实数a的取值范围是.
　　解因为当x≤2时，f（x）=-x 6≥4，而函数f（x）的值域是[4， ∞），故当x>2时，f（x）单调递增，且f（x）>4，即a>1且3 loga2≥4，解得1　　点评本题主要考查分段函数的单调性和值域，根据函数的单调性和值域列不等式组是问题解决的关键.
　　例3（湖北卷第6题）已知符号函数sgnx=1，x>0，
　　0，x=0，
　　-1，x<0.f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）-f（ax）（a>1），则（）.
　　A.sgn[g（x）]=sgnxB.sgn[g（x）]=-sgnx
　　C.sgn[g（x）]=sgn[f（x）]D.sgn[g（x）]=-sgn[f（x）]
　　解因为f（x）是R上的增函数，且a>1，所以当x>0时，xax，则f（x）>f（ax），从而g（x）>0.由符号函数的定义知，sgn[g（x）]=1，g（x）>0，
　　0，g（x）=0，
　　-1，g（x）<0，=1，x<0，
　　0，x=0，
　　-1，x>0，=--1，x<0，
　　0，x=0，
　　1，x>0，即sgn[g（x）]=-sgnx，故选B.
　　点评本题主要考查符号函数、函数的单调性，考查考生运用新概念解决问题的能力和继续学习潜能.
　　例4（山东卷第10题）设函数f（x）=3x-1，x<1，
　　2x，x≥1，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（）.
　　A.[23，1]B.[0，1]C.[23， ∞）D.[1， ∞）
　　解①因为当x<1时，f（x）=3x-1单调递增，且f（x）　　点评函数单调性的运用是本题获得简解的关键.
　　例5（北京卷第14题）设函数f（x）=2x-a，x<1，
　　4（x-a）（x-2a），x≥1.①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是.图1
　　解①若a=1，则f（x）=2x-1，x<1，
　　4（x-1）（x-2），x≥1，作
　　f（x）的图象如图1所示.由图可得f（x）的最小值为-1.
　　②法1注意到，当x<1时，f（x）=2x-a=0
　　x=log2a<10　　（1）若a≤0，由上知，当x<1时，f（x）=2x-a无零点；而当x≥1时，f（x）=4（x-a）（x-2a）无零点.
　　（2）若0　　（3）若a≥2，由上知，当x<1时，f（x）=2x-a无零点；而当x≥1时，f（x）=4（x-a）（x-2a）恰有两个零点a，2a，故a≥2满足条件.
　　综上，实数a的取值范围是[12，1）∪[2， ∞）.图2图3
　　法2当a≥1时，作出f（x）的图象如图2所示.
　　要使f（x）恰有2个零点，则其图象与x轴有2个交点，
　　当且仅当2-a≤0，即a≥2.
　　当a<1时，作出f（x）的图象如图3所示.
　　f（x）恰有2个零点，则当且仅当a<1≤2a，
　　2-a>0，解得
　　12≤a<1.
　　综上，实数a的取值范围是[12，1）∪[2， ∞）. 　　例6（湖南卷第15题）函数f（x）=x3，x≤a
　　x2，x>a若存在实数b，使函数g（x）=f（x）-b有两个零点，则a的取值范围是.
　　解函数g（x）=f（x）-b有两个零点，等价于方程f（x）-b=0有两个不等实根，等价于直线y=b与函数y=f（x）的图象有两个公共点.
　　（1）若a=0或a=1，易知函数y=f（x）的图象连续且单调递增，与直线y=b只有一个交点，不合题意.
　　（2）若a<0，当x≤a时，f（x）=x3<0且单调递增；当x>a时，f（x）=x2≥0且先减后增.由图象可知，当0　　（3）若0a时，f（x）=x2>a2且单调递增.又因为0a3，故函数y=f（x）单调递增且在点a处不连续，其图象与直线y=b最多只有一个交点，不合题意.
　　（4）若a>1，当x≤a时，f（x）=x3≤a3且单调递增；当x>a时，f（x）=x2>a2且单调递增.又因为a>1，所以a2　　综上，a的取值范围是a<0或a>1，即（-∞，0）∪（1， ∞）.
　　点评本题主要考查分段函数的最小值和零点问题，综合考查分类讨论思想、数形结合思想、函数方程思想和化归转化思想，其中分类讨论和数形结合是解决本题的基本方法.
　　例7（天津卷第8题）已知函数f（x）=2-x，x≤2
　　（x-2）2，x>2函数g（x）=b-f（2-x），其中b∈R，若函数y=f（x）-g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）.
　　A.（74， ∞）B.（-∞，74）C.（0，74）D.（74，2）
　　解因为f（x）=2-x，x≤2
　　（x-2）2，x>2即f（x）=x 2，x<0
　　-x 2，0≤x≤2
　　（x-2）2，x>2所以f（2-x）=-x 4，x>2
　　x，0≤x≤2
　　x2，x<0函数y=f（x）-g（x）恰有4个零点，即方程f（x）-b f（2-x）=0也就是方程f（x） f（2-x）=b有4个不等实根.
　　令h（x）=f（x） f（2-x）=x2 x 2，x<0，
　　2，0≤x≤2，
　　x2-5x 8，x>2，图4
　　画出函数y=h（x）的图象和直线y=b如图4所示.
　　由图知，当且仅当74　　故所求b的取值范围是74　　点评这是一道含有绝对值的分段函数的零点问题，关键是去掉绝对值符号化为无绝对值符号的分段函数，然后根据图象求解.
　　例8（江苏卷第13题）若函数f（x）=lnx，g（x）=0，0　　x2-4-2，x>1，则方程f（x） g（x）=1实根的个数为.
　　解因为f（x）=lnx，g（x）=0，0　　x2-4-2，x>1，所以f（x）=-lnx，0　　lnx，x>1，g（x）=0，0　　-x2 2，1　　x2-6，x≥2.于是f（x） g（x）=-lnx，0　　lnx-x2 2，1　　lnx x2-6，x≥2.
　　设h（x）=f（x） g（x），当0　　图5图6
　　点评本题是一道有关绝对值的函数与方程的综合性问题，是一道难度较大的分段函数试题，将方程实根的个数问题转化为函数零点问题是解决这类问题的通法，这里运用图象翻折画出函数y=h（x）=f（x） g（x）的图象是解决本题的难点和关键.
　　综上所述，对于分段函数问题，先研究分段函数在各段内的单调性、最值和断点处的函数值，再据此画出分段函数的图象，然后数形结合解决问题.分段函数的图象和性质是解题的关键，是否需要画出函数图象因题而异，若函数图象简单图在心中则不需要画出图象；若函数图象复杂则需要画出图象；对于含有参数的分段函数其图象是动态变化的，为了解决问题的需要往往要画几个图象分类讨论.由此可见，研究分段函数在各段内的性质，画出函数图象是解决分段函数问题的基本方法.作者简介邹生书，男，湖北阳新县人，1962年12月出生，中学高级教师，黄石市骨干教师.主要研究高中数学教学、高考试题、数学竞赛、探究性学习等，在《中学数学杂志》等二十多种数学期刊上发表文章200余篇.