论文部分内容阅读
摘 要：北师大版数学教科书八年级上册第四章《四边形性质探索》中，有几道例习题的解答缺乏严密性. 本文针对这些解答，予以分析，指出其错误所在，以期唤起同行的警觉，避免在教学中误导学生，给学生的思维发展造成不良影响．
关键词：教科书；错误；直观；严谨
北师大版数学教科书八年级上册第四章《四边形性质探索》中，有几道例习题的解答存在错误，在此提出并与同行共同交流探讨．
问题一?摇 第100页的例1：如图1，四边形ABCD是平行四边形，DB⊥AD，求BC，CD及OB的长．
图1
解：平行四边形的对边相等，于是BC=AD=8，CD=AB=10.
在Rt△ADB中，AD=8，AB=10，BD===6，由平行四边形的对角线互相平分，得OB=BD=3.
分析：上述解答由平行四边形的对角线互相平分，得OB=BD=3，必须有条件A，O，C三点在同一条直线上，但是题目中并没有给出. 图形直观绝不能保证A，O，C三点在同一条直线上，所以本题的条件不充分，实际上是一道无解题．若将原题的文字部分改为：如图1，四边形ABCD是平行四边形，AC与DB相交于点O， DB⊥AD，求BC，CD及OB的长，则原解答正确.
问题二?摇 第120页的例1：如图2，在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=4，高DF=2，求腰DC的长．
解：如图2，将腰AB平移到DE的位置，由平移的性质和平行四边形的判别法，可知四边形ABED是平行四边形，DE=AB=DC，BE=AD.
图2
?摇?摇在等腰△DEC中，EC=BC-BE=BC-AD=4-2=2，CF=EC=1，DC===.
分析：上述解答容易看出是由平移的性质得到DE∥AB且DE=AB，由此判定四边形ABED是平行四边形，从而得到BE=AD，DE=AB=DC，然后由等腰△DEC求出DC的长． 这里存在两个问题，首先整个解答过程都没有涉及已知条件“AD∥BC”，若AD与BC不平行（如图3所示），将腰AB平移到DE的位置，点E不落在线段BC上，这时EC=BC-BE不成立，因此不是条件“AD∥BC”多余，而是解答有错误，事实上将腰AB平移到DE的位置，不能仅凭图形直观就默认点E落在线段BC上，必须推理得到．其次由平移的性质“经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等”也可以直接得到BE=AD，无须判定四边形ABED是平行四边形．
正确解答：如图2，将腰AB平移到DE的位置，由平移的性质可知DE=AB，BE=AD且BE∥AD，又因为AD∥BC，所以点E落在线段BC上（经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行）． 因为AB=DC，所以DE=DC．
在等腰△DEC中，EC=BC-BE=BC-AD=4-2=2，CF=EC=1，DC===．
由上述解答可以知道，这道例题用平移线段的方法添加辅助线解答极易产生错误，下面的解答简单明了．
如图2，过点D作DE∥AB，交BC于点E（也可以在BC上截取BE=AD，连结DE…）． 因为AD∥BC，所以四边形ABED是平行四边形，由此DE=AB=DC，BE=AD.
在等腰△DEC中，EC=BC-BE=BC-AD=4-2=2，CF=EC=1，DC===．
问题三?摇 第123页习题4.9的第1题：图4是由六个全等的正三角形围成的图形． 图中有几个等腰梯形？简述你的理由．
教师教学用书第141页给出的解答是：六个等腰梯形．
如四边形ABEF是等腰梯形，理由可以是：由∠ABO+∠BAF=3×60°=180°，∠ABO+∠FEO=120°，得对边AF，BE平行，对边AB，EF不平行，四边形ABEF是梯形；又由∠ABO=∠FEO=60°，可得这个梯形是等腰梯形．
分析：上述解答由∠ABO+∠BAF=180°推得的应是线段AF，BO平行，而不是边AF，BE平行．
这里的 B，O，E三点在同一条直线上不能因为图形直观而“想当然”，必须说明理由．
正确解答：六个等腰梯形． 如四边形ABEF是等腰梯形，理由可以是：由∠BOE=∠BOA+∠AOF+∠FOE=3×60°=180°，得B，O，E三点在同一条直线上．
由∠ABO+∠BAF=3×60°=180°，∠ABO+∠FEO=120°，得对边AF，BE平行，对边AB，FE不平行，所以四边形ABEF是梯形． 又由∠ABO=∠FEO=60°，可得这个梯形是等腰梯形． 同理，四边形BCFA，四边形CDAB，四边形DEBC，四边形EFCD，四边形FADE都是等腰梯形．
问题四?摇 第124页习题4.9的第2题：如图5，在梯形ABCD中，AB∥CD．若OA=OB，OC=OD，则梯形ABCD是等腰梯形吗？为什么？
图5
教师教学用书第142页给出的解答是：是等腰梯形．理由是：由条件可得△AOD≌△BOC，因而AD=BC．
分析：上述解答容易看出是直接由条件OA=OB，OD=OC，∠AOD=∠BOC推得△AOD≌△BOC． 显然这里受图形直观的影响将∠AOD与∠BOC看成了对顶角，但是题目中并没有明确AC与BD相交于点O这个条件，因此∠AOD与∠BOC不一定是对顶角．
正确解答：是等腰梯形．理由可以是：过点O作EF∥AB，分别交AD，BC于点E，F（如图5）. 由AB∥DC，得EF∥DC，所以∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8．由OA=OB，OC=OD，得∠1=∠3，∠5=∠7，所以∠2=∠4，∠6=∠8，即∠AOD=∠BOC，所以△AOD≌△BOC，因而AD=BC，即梯形ABCD是等腰梯形．
问题五?摇 第124页习题4.9的第3题：如图6，AE=BE，DE=CE． 四边形ABCD是等腰梯形吗？为什么？
教师教学用书第142页给出的解答是：是等腰梯形．理由是：由已知可得△EDC和△EAB都是等腰三角形，且顶角相同，所以∠EDC=∠A，因而DC∥AB，又由∠A=∠B，所以四边形ABCD是等腰梯形．
分析：上述解答由DC∥AB，∠A=∠B不能推得四边形ABCD是等腰梯形．一组对边平行，而另一组对边不平行，这是用梯形的定义判定一个四边形是梯形的必备条件，所以AD与BC不平行不能因为图形直观而不说明．
正确解答：是等腰梯形．理由可以是：由已知可得△EDC和△EAB都是等腰三角形，且顶角相同，所以∠EDC=∠A，因而DC∥AB． 因为AE与BE交于点E，所以AD与BC不平行．又由∠A=∠B，所以四边形ABCD是等腰梯形．
上述问题提醒我们，尽管借助图形直观有很大的益处，但是由图形直观得到的结论有时是不可靠的，必须从理论上给出严密的逻辑推理，这也进一步说明理论的重要性． 另外，由于这些问题是教科书中的例习题，且出错的原因很隐蔽，因此教学时易对学生产生误导，影响学生思维的形成和发展，所以应引起我们的高度重视，在新编或再版教科书时予以修正．
关键词：教科书；错误；直观；严谨
北师大版数学教科书八年级上册第四章《四边形性质探索》中，有几道例习题的解答存在错误，在此提出并与同行共同交流探讨．
问题一?摇 第100页的例1：如图1，四边形ABCD是平行四边形，DB⊥AD，求BC，CD及OB的长．
图1
解：平行四边形的对边相等，于是BC=AD=8，CD=AB=10.
在Rt△ADB中，AD=8，AB=10，BD===6，由平行四边形的对角线互相平分，得OB=BD=3.
分析：上述解答由平行四边形的对角线互相平分，得OB=BD=3，必须有条件A，O，C三点在同一条直线上，但是题目中并没有给出. 图形直观绝不能保证A，O，C三点在同一条直线上，所以本题的条件不充分，实际上是一道无解题．若将原题的文字部分改为：如图1，四边形ABCD是平行四边形，AC与DB相交于点O， DB⊥AD，求BC，CD及OB的长，则原解答正确.
问题二?摇 第120页的例1：如图2，在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=4，高DF=2，求腰DC的长．
解：如图2，将腰AB平移到DE的位置，由平移的性质和平行四边形的判别法，可知四边形ABED是平行四边形，DE=AB=DC，BE=AD.
图2
?摇?摇在等腰△DEC中，EC=BC-BE=BC-AD=4-2=2，CF=EC=1，DC===.
分析：上述解答容易看出是由平移的性质得到DE∥AB且DE=AB，由此判定四边形ABED是平行四边形，从而得到BE=AD，DE=AB=DC，然后由等腰△DEC求出DC的长． 这里存在两个问题，首先整个解答过程都没有涉及已知条件“AD∥BC”，若AD与BC不平行（如图3所示），将腰AB平移到DE的位置，点E不落在线段BC上，这时EC=BC-BE不成立，因此不是条件“AD∥BC”多余，而是解答有错误，事实上将腰AB平移到DE的位置，不能仅凭图形直观就默认点E落在线段BC上，必须推理得到．其次由平移的性质“经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等”也可以直接得到BE=AD，无须判定四边形ABED是平行四边形．
正确解答：如图2，将腰AB平移到DE的位置，由平移的性质可知DE=AB，BE=AD且BE∥AD，又因为AD∥BC，所以点E落在线段BC上（经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行）． 因为AB=DC，所以DE=DC．
在等腰△DEC中，EC=BC-BE=BC-AD=4-2=2，CF=EC=1，DC===．
由上述解答可以知道，这道例题用平移线段的方法添加辅助线解答极易产生错误，下面的解答简单明了．
如图2，过点D作DE∥AB，交BC于点E（也可以在BC上截取BE=AD，连结DE…）． 因为AD∥BC，所以四边形ABED是平行四边形，由此DE=AB=DC，BE=AD.
在等腰△DEC中，EC=BC-BE=BC-AD=4-2=2，CF=EC=1，DC===．
问题三?摇 第123页习题4.9的第1题：图4是由六个全等的正三角形围成的图形． 图中有几个等腰梯形？简述你的理由．
教师教学用书第141页给出的解答是：六个等腰梯形．
如四边形ABEF是等腰梯形，理由可以是：由∠ABO+∠BAF=3×60°=180°，∠ABO+∠FEO=120°，得对边AF，BE平行，对边AB，EF不平行，四边形ABEF是梯形；又由∠ABO=∠FEO=60°，可得这个梯形是等腰梯形．
分析：上述解答由∠ABO+∠BAF=180°推得的应是线段AF，BO平行，而不是边AF，BE平行．
这里的 B，O，E三点在同一条直线上不能因为图形直观而“想当然”，必须说明理由．
正确解答：六个等腰梯形． 如四边形ABEF是等腰梯形，理由可以是：由∠BOE=∠BOA+∠AOF+∠FOE=3×60°=180°，得B，O，E三点在同一条直线上．
由∠ABO+∠BAF=3×60°=180°，∠ABO+∠FEO=120°，得对边AF，BE平行，对边AB，FE不平行，所以四边形ABEF是梯形． 又由∠ABO=∠FEO=60°，可得这个梯形是等腰梯形． 同理，四边形BCFA，四边形CDAB，四边形DEBC，四边形EFCD，四边形FADE都是等腰梯形．
问题四?摇 第124页习题4.9的第2题：如图5，在梯形ABCD中，AB∥CD．若OA=OB，OC=OD，则梯形ABCD是等腰梯形吗？为什么？
图5
教师教学用书第142页给出的解答是：是等腰梯形．理由是：由条件可得△AOD≌△BOC，因而AD=BC．
分析：上述解答容易看出是直接由条件OA=OB，OD=OC，∠AOD=∠BOC推得△AOD≌△BOC． 显然这里受图形直观的影响将∠AOD与∠BOC看成了对顶角，但是题目中并没有明确AC与BD相交于点O这个条件，因此∠AOD与∠BOC不一定是对顶角．
正确解答：是等腰梯形．理由可以是：过点O作EF∥AB，分别交AD，BC于点E，F（如图5）. 由AB∥DC，得EF∥DC，所以∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8．由OA=OB，OC=OD，得∠1=∠3，∠5=∠7，所以∠2=∠4，∠6=∠8，即∠AOD=∠BOC，所以△AOD≌△BOC，因而AD=BC，即梯形ABCD是等腰梯形．
问题五?摇 第124页习题4.9的第3题：如图6，AE=BE，DE=CE． 四边形ABCD是等腰梯形吗？为什么？
教师教学用书第142页给出的解答是：是等腰梯形．理由是：由已知可得△EDC和△EAB都是等腰三角形，且顶角相同，所以∠EDC=∠A，因而DC∥AB，又由∠A=∠B，所以四边形ABCD是等腰梯形．
分析：上述解答由DC∥AB，∠A=∠B不能推得四边形ABCD是等腰梯形．一组对边平行，而另一组对边不平行，这是用梯形的定义判定一个四边形是梯形的必备条件，所以AD与BC不平行不能因为图形直观而不说明．
正确解答：是等腰梯形．理由可以是：由已知可得△EDC和△EAB都是等腰三角形，且顶角相同，所以∠EDC=∠A，因而DC∥AB． 因为AE与BE交于点E，所以AD与BC不平行．又由∠A=∠B，所以四边形ABCD是等腰梯形．
上述问题提醒我们，尽管借助图形直观有很大的益处，但是由图形直观得到的结论有时是不可靠的，必须从理论上给出严密的逻辑推理，这也进一步说明理论的重要性． 另外，由于这些问题是教科书中的例习题，且出错的原因很隐蔽，因此教学时易对学生产生误导，影响学生思维的形成和发展，所以应引起我们的高度重视，在新编或再版教科书时予以修正．