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【摘要】在数学教学过程中,如何做到以学生发展为本,发挥学生的主体作用,下面教学片断或许能给我们一些启示.讨论型课的教学价值,在于能充分暴露学生在讨论过程中的思维过程,因而能否暴露讨论过程中的思维过程,将决定着一堂课的教学成败.在讨论的过程中如何暴露出学生的思维冠程,有效的组织教学,促使思维向正迁移方向发展,实在是一件十分必要的工作.
【关键词】以学生发展为本 思维过程 概念课 教学片段
在数学课堂教学中，发展学生的数学思考能力，提高学生发现、提出、分析、解决、拓展问题的能力，这是新课标所倡导的最基本、最重要的一个理念，也是我们广大中学数学教师在教学实践中不断努力的目标.下面就以我所上過的二面角的平面角的教学片段为例，浅谈如何着眼于发展学生的数学思维能力。
⒈教学片断
师：请大家观察：随着课本张开角度的不同，二面角的大小也不同；还可以观察打开教室里的门，门与墙面所成的二面角随着门的转动也在变化（教师示范），是否有一个角（平面角）能够真实的反映这个二面角的大小？
生：有（不少学生在下面比划）
师：如果有，那么我们就有可能利用这个平面的角的大小……
生：代替二面角的大小
师：对！我们就可以利用这个平面角来度量二面角的大小，将空间问题平面化了！请大家继续观察：这个平面的角与二面角有什么关系？
生：这个平面角的顶点在二面角的棱上，角的两条边分别在二面角的面内并且都垂直于棱。
师：观察的非常到位，请大家思考：只有这样的平面角才能刻画二面角的大小吗？（学生陷于沉思）
师：我们选择刻画二面角的大小的平面角的思路一般是：⑴这个角只与二面角的大小有关，不妨称为确定性.⑵具有操作的简便性。⑶与我们的日常认知相符合，比如当这个二面角的两个面垂直时，这个平面角为90°，当这个二面角的两个面展成一个平面时，平面角应为180°。
生：刚才我们所发现的平面角就具有这些性质。
师:于是我们定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角（书写定义，画出图形）
师：这个平面角只与二面角的大小有关，而与它的顶点在棱上的位置无关，为什么？
生：空间两角相等的定理。
师：这样我们通过直观观察得到了二面角的平面角的定义，它是科学合理也便于操作的。但数学毕竟不是一门实验科学，它是以逻辑推理为论证依据的，于是我们还可以从另一方面去思考：度量二面角（这是一个空间角）是一个两个平面的位置关系，我们按照立体几何的基本思想——降维，把它转化成……
生：平面问题——空间问题平面化！
师：如何做出这个平面呢？（有学生用手势作直切面，也有学生还在思考）
师：一步将问题直接转化为平面问题，似乎走得太远，我们先退一步将它化为一条直线和一个平面的位置关系，这样做是否可以?如果行，该如何取这条直线呢？
生：可以，这条直线应该在二面角的一个面 内取，然后考察这条直线与另一个面所成的角是否可以度量二面角，先看这条直线与二面角的棱的关系如何。
师：我们以锐二面角为例，在 内取这条直线，它与二面角的棱的位置关系如何？
生：这直线和二面角的棱相交。
师：能不能和棱平行呢？
生：不行
师：为什么？
生：若平行，那么这条直线与另一个平面所成的角就恒为 ，它就不能反映这个二面角的大小了。
师：很好，同理这条直线也不能与二面角的棱重合。不妨这样描述这条直线：在二面角 的棱上任取一点O，过这点在它的一个半平面 内引异于棱 的射线OP，再考察射线OP和另一个半平面 所成的角。
生：射线OP和 所成的角是不确定的，当射线OP绕着它的端点O在 内旋转时，它和 所成的角也随之发生变化，则这个角不只是随着二面角的变化而变化，它不能真实反映二面角的大小。
师：它不只是随着二面角的变化而变化的原因是什么？
生：因为OP与 所成的角没有确定。
生：当OP 时，OP与 所成的角就只是随着二面角的变化而变化了。
师：这个特殊位置很重要，我们要关注。我们还可以发现当射线OP垂直于棱 时，OP与 所成的角是所有这样的OP与 所成的角中最大的（可以证明，有兴趣的同学课后可以探讨），在数学探究中，从特殊性出发，往往会顺利地打开思路。我们记这特殊位置的射线为 ,再考察射线 和另一个半平面 所成的角。
生:根据直线和平面所成的角的概念，作 于 ,连接 得到射线 和 所成的角是 .用这个角就可以度量二面角的大小了。
师： 的大小是否与点O在棱上的位置相关呢?
生：再在 面内作 ,那么 ‖ ，于是 与 所成的角和 与 所成的角相等。
师：即 的大小只与二面角 的大小相关，于是我们可以定义这个角为二面角的平面角。由于， 于 ，则射影即这个角的顶点在棱上，两条边分别在面内且都和棱垂直，于是很自然的得出了二面角的平面角的定义，殊途同归！通过这样的探讨，我们进一步体会到“降维”是将空间问题转化为平面问题的基本思路，化归思想是数学问题解决时的常用方法。
2. 教后反思
对于本课题，学生们具有的数学知识有：平面内的角的概念，斜线与平面所成的角的概念等一系列的角的概念，在二面角单元的教学过程中，二面角的平面角的概念既是教学的重点又是教学的难点。突破这一难点的关键是，充分暴露二面角的平面角这个概念的形成过程中的数学思维。
我还设计了从另一个角度——降维来探求二面角向平面角的转化，希望在老师的引导下紧紧扣住立体几何中降维化归、类比分析的数学思想，让学生展开探究活动，充分感悟二面角的平面角这一概念形成过程中的数学思维活动，从而形成二面角的平面角的概念。
这样的展示数学思维活动的真实过程的数学教学，使学生有机会看到数学知识的实际背景和抽象过程，使他们有机会开展主动的火热的数学思维活动，通过自己的发现来形成概念，获得知识，并且得到数学思想方法乃至数学观念上的训练，这些比具体的数学知识更重要，当学生离开学校，走进社会后，具体的数学知识也许会淡忘，也可能无处运用，但扎根于他头脑中的数学思维方法，看待问题、分析问题的眼光和思路等却能随时发挥作用，使他终身受益！
参考文献：
[1] 巨申文.趣谈数学思想方法 【M】.西安：西安地图出版社
[2]问题与问题解决：高中新课程教学。数学／朱建明，孙旭东／南京：江苏教育出版社。
【关键词】以学生发展为本 思维过程 概念课 教学片段
在数学课堂教学中，发展学生的数学思考能力，提高学生发现、提出、分析、解决、拓展问题的能力，这是新课标所倡导的最基本、最重要的一个理念，也是我们广大中学数学教师在教学实践中不断努力的目标.下面就以我所上過的二面角的平面角的教学片段为例，浅谈如何着眼于发展学生的数学思维能力。
⒈教学片断
师：请大家观察：随着课本张开角度的不同，二面角的大小也不同；还可以观察打开教室里的门，门与墙面所成的二面角随着门的转动也在变化（教师示范），是否有一个角（平面角）能够真实的反映这个二面角的大小？
生：有（不少学生在下面比划）
师：如果有，那么我们就有可能利用这个平面的角的大小……
生：代替二面角的大小
师：对！我们就可以利用这个平面角来度量二面角的大小，将空间问题平面化了！请大家继续观察：这个平面的角与二面角有什么关系？
生：这个平面角的顶点在二面角的棱上，角的两条边分别在二面角的面内并且都垂直于棱。
师：观察的非常到位，请大家思考：只有这样的平面角才能刻画二面角的大小吗？（学生陷于沉思）
师：我们选择刻画二面角的大小的平面角的思路一般是：⑴这个角只与二面角的大小有关，不妨称为确定性.⑵具有操作的简便性。⑶与我们的日常认知相符合，比如当这个二面角的两个面垂直时，这个平面角为90°，当这个二面角的两个面展成一个平面时，平面角应为180°。
生：刚才我们所发现的平面角就具有这些性质。
师:于是我们定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角（书写定义，画出图形）
师：这个平面角只与二面角的大小有关，而与它的顶点在棱上的位置无关，为什么？
生：空间两角相等的定理。
师：这样我们通过直观观察得到了二面角的平面角的定义，它是科学合理也便于操作的。但数学毕竟不是一门实验科学，它是以逻辑推理为论证依据的，于是我们还可以从另一方面去思考：度量二面角（这是一个空间角）是一个两个平面的位置关系，我们按照立体几何的基本思想——降维，把它转化成……
生：平面问题——空间问题平面化！
师：如何做出这个平面呢？（有学生用手势作直切面，也有学生还在思考）
师：一步将问题直接转化为平面问题，似乎走得太远，我们先退一步将它化为一条直线和一个平面的位置关系，这样做是否可以?如果行，该如何取这条直线呢？
生：可以，这条直线应该在二面角的一个面 内取，然后考察这条直线与另一个面所成的角是否可以度量二面角，先看这条直线与二面角的棱的关系如何。
师：我们以锐二面角为例，在 内取这条直线，它与二面角的棱的位置关系如何？
生：这直线和二面角的棱相交。
师：能不能和棱平行呢？
生：不行
师：为什么？
生：若平行，那么这条直线与另一个平面所成的角就恒为 ，它就不能反映这个二面角的大小了。
师：很好，同理这条直线也不能与二面角的棱重合。不妨这样描述这条直线：在二面角 的棱上任取一点O，过这点在它的一个半平面 内引异于棱 的射线OP，再考察射线OP和另一个半平面 所成的角。
生：射线OP和 所成的角是不确定的，当射线OP绕着它的端点O在 内旋转时，它和 所成的角也随之发生变化，则这个角不只是随着二面角的变化而变化，它不能真实反映二面角的大小。
师：它不只是随着二面角的变化而变化的原因是什么？
生：因为OP与 所成的角没有确定。
生：当OP 时，OP与 所成的角就只是随着二面角的变化而变化了。
师：这个特殊位置很重要，我们要关注。我们还可以发现当射线OP垂直于棱 时，OP与 所成的角是所有这样的OP与 所成的角中最大的（可以证明，有兴趣的同学课后可以探讨），在数学探究中，从特殊性出发，往往会顺利地打开思路。我们记这特殊位置的射线为 ,再考察射线 和另一个半平面 所成的角。
生:根据直线和平面所成的角的概念，作 于 ,连接 得到射线 和 所成的角是 .用这个角就可以度量二面角的大小了。
师： 的大小是否与点O在棱上的位置相关呢?
生：再在 面内作 ,那么 ‖ ，于是 与 所成的角和 与 所成的角相等。
师：即 的大小只与二面角 的大小相关，于是我们可以定义这个角为二面角的平面角。由于， 于 ，则射影即这个角的顶点在棱上，两条边分别在面内且都和棱垂直，于是很自然的得出了二面角的平面角的定义，殊途同归！通过这样的探讨，我们进一步体会到“降维”是将空间问题转化为平面问题的基本思路，化归思想是数学问题解决时的常用方法。
2. 教后反思
对于本课题，学生们具有的数学知识有：平面内的角的概念，斜线与平面所成的角的概念等一系列的角的概念，在二面角单元的教学过程中，二面角的平面角的概念既是教学的重点又是教学的难点。突破这一难点的关键是，充分暴露二面角的平面角这个概念的形成过程中的数学思维。
我还设计了从另一个角度——降维来探求二面角向平面角的转化，希望在老师的引导下紧紧扣住立体几何中降维化归、类比分析的数学思想，让学生展开探究活动，充分感悟二面角的平面角这一概念形成过程中的数学思维活动，从而形成二面角的平面角的概念。
这样的展示数学思维活动的真实过程的数学教学，使学生有机会看到数学知识的实际背景和抽象过程，使他们有机会开展主动的火热的数学思维活动，通过自己的发现来形成概念，获得知识，并且得到数学思想方法乃至数学观念上的训练，这些比具体的数学知识更重要，当学生离开学校，走进社会后，具体的数学知识也许会淡忘，也可能无处运用，但扎根于他头脑中的数学思维方法，看待问题、分析问题的眼光和思路等却能随时发挥作用，使他终身受益！
参考文献：
[1] 巨申文.趣谈数学思想方法 【M】.西安：西安地图出版社
[2]问题与问题解决：高中新课程教学。数学／朱建明，孙旭东／南京：江苏教育出版社。