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摘要：对偶四元数导航是以惯性坐标系为导航系的捷联惯导算法，其休拉震荡机理与以水平坐标系为导航系的捷联惯导算法不同。在对偶四元数的捷联惯导解算方法的基础上，以对偶四元数导航的北向通道为例分析了对偶四元数导航算法休拉震荡产生的机理，推导出了姿态误差、速度误差和位置误差的休拉震荡幅值和相位之间的关系。
关键词：对偶四元数；惯性导航；休拉震荡；惯性坐标系
引言
基于对偶四元数的组合导航算法，是一种在惯性系下导航的捷联惯导算法[1]。陀螺输出的角速率直接用于姿态更新。由于对偶四元数捷联惯导算法不需要对数学平台加指令角速度，所以基于对偶四元数捷联惯导算法应该不存在休拉回路[4]。但是，在实际的仿真和试验中，我们发现对偶四元数捷联惯导算法依然存在休拉周期。目前尚未发现有文献提及对偶四元数导航的休拉震荡机理问题，因此本文初步研究验证了对偶四元数的休拉震荡问题。
1 基于对偶四元数的捷联惯导算法概述
1.1 对偶四元数的捷联惯导算法概述及符号定义
基于对偶四元数的捷联惯性导航算法[3]与指北方位捷联惯导算法[1]相比，结构更严谨。该算法首次成功用对偶四元数统一描述了姿态、速度、位置及其更新，在该算法中定义了如下符号：
e地球坐标系，i惯性系，b载体坐标系[2]。
T推力速度坐标系，G引力速度坐标系，U位置坐标系，g引力加速度，R载体坐标系原点在惯性系中的位置， 比力矢量在惯性系下的坐标， 的导数， 对偶四元数， 四元数， 在对偶四元数中表示对偶部算子， 旋量对偶四元数[1]。
1.2 对偶四元数的捷联惯导算法原理
基于对偶四元数的捷联惯导算法是通过描述螺旋运动的数学工具——对偶四元数来描述载体运动状态的算法，这种算法将载体运动表示在T系、G系和U系下，统一用螺旋运动（旋量）描述（如图1.1所示）。对偶四元数导航在惯性系下解算姿态，在T系、G系和U系下分别解算推力速度、引力速度和位置。基于对偶四元数的捷联惯导算法及本文引用的算法中相关参量定义详见参考文献1。
2对偶四元数导航的休拉震荡机理分析
在对偶四元数导航算法中，载体在惯性系下的速度等于推力速度与引力速度之和。推力速度是比力的积分，引力速度是载体受到地球引力的积分。即
图2.1 对偶四元数捷联惯导休拉摆示意图
假设初始对准无误差，则惯导解算得到载体在惯性系下的运动状况为以D点为圆心，以DA为半径，绕OD轴，随地球自转做匀速圆周运动。圆周运动向心力与重力的合力等于引力。
假设惯导初始对准中，俯仰角有误差小角 ，则在导航时间t=0时刻，惯导的计算位置在A点，此时引力沿AO方向，大小等于G，由加表测得的推力为 ，推力大小等于g。由于存在俯仰角初始对准的小角度误差，将 分解到AO方向和AE方向上。 在AE方向上的分量 ，是惯导解算过程中载体的计算北向加速度
（2.5）
在式2.5中， 是载体位置与地心的连线与 所夹的锐角，由于 方向相对于地球坐标系稳定，所以 的变化量等于载体计算位置南北漂移的纬度变化量， 的最大值是 。
因为 导致载体沿地球圆形表面南北向运动并考虑式2.5，这恰好是以地球半径为摆长，最大摆角为 的休拉摆运动条件。
图2.2 单摆运动条件
因此参考图2.2所示的单摆运动模型，可得出如下结论：
1） 根据理想单摆运动的动能和重力势能之和守恒计算出南北向修拉震荡最大线速度为
（2.6）
2） 最大线速度发生在引力与重力平衡的位置（图2.1所示B点）处，修拉震荡最大角位置发生在图2.1所示C点处，C点与A点关于OB对称。根据单摆运动规律可知修拉震荡最大纬度变化量
（2.7）
3） 纬度变化量的最大值和最小值与震荡速度的最小值同时出现，震荡速度最大值与休拉震荡平衡位置同时出现。
4） 由于对偶四元数导航以惯性系作为导航系，载体姿态四元数描述载体系相对于惯性系的变换关系，当载体纬度发生变化时，由于地球曲率的影响，会导致最终折算到当地地理系下的姿态随之发生变化。
3 对偶四元数导航的休拉震荡机理仿真验证
设定仿真条件：载体所在位置为北纬40度，东经120度，初始速度为0，载体坐标系与当地地理坐标系重合。陀螺与加表输出数据取理想值
（2.8）
（2.10）
在未加入俯仰角对准误差的情况下，载体的俯仰角，北向速度，纬度均未出现修拉震荡，漂移量非常小可以忽略，如图3.1至图3.3所示。
图3.1 理想情况下对偶四元数导航的俯仰角曲线
图3.2 理想情况下对偶四元数导航的北向速度曲线
图3.3 理想情况下对偶四元数导航的纬度曲线
在前述仿真条件的基础上，若设定俯仰角对准误差0.5°，根据式（2.6）可计算得到修拉震荡最大线速度应为68.9米每秒（在图3.5中得到验证），根据式（2.7）可得纬度变化量最大1度，即载体计算位置在北纬39°到北纬40°之间震荡（在图3.6中得到验证）。由于地球曲率的原因，随着纬度发生漂移，折算到当地地理坐标系载体姿态角（这里指俯仰角）也随着变化，变化量等于纬度变化量（在图3.4中得到验证）。
图3.4 初始对准俯仰角加入0.5°误差后的仰角曲线
图3.5 初始对准俯仰角加入0.5°误差后的北向速度曲线
图3.6 初始对准俯仰角加入0.5°误差后的纬度曲线
通过图3.4至图3.6可以看出，修拉震荡最大线速度约69米每秒（发生在21分钟和63分钟时）。当震荡达到最大线速度时，修拉震荡位置恰好到震荡范围的中点。当修拉震荡速度为0时（发生在42分钟和84分钟时），修拉震荡位置偏移量达到最大或最小。这就验证了第二节的第三条结论。
从此节得出第二节中关于对偶四元数修拉震荡的结论是成立的。
4. 结论
本文在对偶四元数导航原理的基础上，分析了对偶四元数导航的休拉震荡机理，并在在实际的仿真和试验中，验证了对偶四元数捷联惯导算法中存在休拉周期。当震荡达到最大线速度时，修拉震荡位置恰好到震荡范围的中点。纬度变化量的最大值和最小值与震荡速度的最小值同时出现，震荡速度最大值与休拉震荡平衡位置同时出现。由于对偶四元数导航以惯性系作为导航系，载体姿态四元数描述载体系相对于惯性系的变换关系，当载体纬度发生变化时，由于地球曲率的影响，会导致最终折算到当地地理系下的姿态以休拉震荡周期变化。
参考文献
[1] 武元新. 对偶四元数导航算法与非线性高斯滤波研究[D]. 长沙：国防科技大学，2005
[2] 秦永元. 惯性导航[M]. 北京：科学出版社，2006： 287-355
[3] 黄雪妮，赵忠，杨利兰. 游移方位激光捷联惯导系统传递对准方法[J].兵工自动化，2011
[4] 王佳.激光捷联惯导系统误差标定与高精度导航算法研究[D]. 哈尔滨：哈尔滨工业大学，2008
[5] A.T.Yang. “Application of quaternion algebra and dual numbers to the analysis of spatial mechanisms” PhD. Thesis.Columbia Universitv.1964
[6]V.N.Branets and I.P.Shmyglevsky， Introduction to the Theory of Strapdown Inertial Navigation System：Moscow，Nauka （in Russian）， 1992
[7] V.N. Branets and I.P.Shmyglevsky，Application of Quaternions to the Problems of Rigid Body Orientation：Nauka，1973
关键词：对偶四元数；惯性导航；休拉震荡；惯性坐标系
引言
基于对偶四元数的组合导航算法，是一种在惯性系下导航的捷联惯导算法[1]。陀螺输出的角速率直接用于姿态更新。由于对偶四元数捷联惯导算法不需要对数学平台加指令角速度，所以基于对偶四元数捷联惯导算法应该不存在休拉回路[4]。但是，在实际的仿真和试验中，我们发现对偶四元数捷联惯导算法依然存在休拉周期。目前尚未发现有文献提及对偶四元数导航的休拉震荡机理问题，因此本文初步研究验证了对偶四元数的休拉震荡问题。
1 基于对偶四元数的捷联惯导算法概述
1.1 对偶四元数的捷联惯导算法概述及符号定义
基于对偶四元数的捷联惯性导航算法[3]与指北方位捷联惯导算法[1]相比，结构更严谨。该算法首次成功用对偶四元数统一描述了姿态、速度、位置及其更新，在该算法中定义了如下符号：
e地球坐标系，i惯性系，b载体坐标系[2]。
T推力速度坐标系，G引力速度坐标系，U位置坐标系，g引力加速度，R载体坐标系原点在惯性系中的位置， 比力矢量在惯性系下的坐标， 的导数， 对偶四元数， 四元数， 在对偶四元数中表示对偶部算子， 旋量对偶四元数[1]。
1.2 对偶四元数的捷联惯导算法原理
基于对偶四元数的捷联惯导算法是通过描述螺旋运动的数学工具——对偶四元数来描述载体运动状态的算法，这种算法将载体运动表示在T系、G系和U系下，统一用螺旋运动（旋量）描述（如图1.1所示）。对偶四元数导航在惯性系下解算姿态，在T系、G系和U系下分别解算推力速度、引力速度和位置。基于对偶四元数的捷联惯导算法及本文引用的算法中相关参量定义详见参考文献1。
2对偶四元数导航的休拉震荡机理分析
在对偶四元数导航算法中，载体在惯性系下的速度等于推力速度与引力速度之和。推力速度是比力的积分，引力速度是载体受到地球引力的积分。即
图2.1 对偶四元数捷联惯导休拉摆示意图
假设初始对准无误差，则惯导解算得到载体在惯性系下的运动状况为以D点为圆心，以DA为半径，绕OD轴，随地球自转做匀速圆周运动。圆周运动向心力与重力的合力等于引力。
假设惯导初始对准中，俯仰角有误差小角 ，则在导航时间t=0时刻，惯导的计算位置在A点，此时引力沿AO方向，大小等于G，由加表测得的推力为 ，推力大小等于g。由于存在俯仰角初始对准的小角度误差，将 分解到AO方向和AE方向上。 在AE方向上的分量 ，是惯导解算过程中载体的计算北向加速度
（2.5）
在式2.5中， 是载体位置与地心的连线与 所夹的锐角，由于 方向相对于地球坐标系稳定，所以 的变化量等于载体计算位置南北漂移的纬度变化量， 的最大值是 。
因为 导致载体沿地球圆形表面南北向运动并考虑式2.5，这恰好是以地球半径为摆长，最大摆角为 的休拉摆运动条件。
图2.2 单摆运动条件
因此参考图2.2所示的单摆运动模型，可得出如下结论：
1） 根据理想单摆运动的动能和重力势能之和守恒计算出南北向修拉震荡最大线速度为
（2.6）
2） 最大线速度发生在引力与重力平衡的位置（图2.1所示B点）处，修拉震荡最大角位置发生在图2.1所示C点处，C点与A点关于OB对称。根据单摆运动规律可知修拉震荡最大纬度变化量
（2.7）
3） 纬度变化量的最大值和最小值与震荡速度的最小值同时出现，震荡速度最大值与休拉震荡平衡位置同时出现。
4） 由于对偶四元数导航以惯性系作为导航系，载体姿态四元数描述载体系相对于惯性系的变换关系，当载体纬度发生变化时，由于地球曲率的影响，会导致最终折算到当地地理系下的姿态随之发生变化。
3 对偶四元数导航的休拉震荡机理仿真验证
设定仿真条件：载体所在位置为北纬40度，东经120度，初始速度为0，载体坐标系与当地地理坐标系重合。陀螺与加表输出数据取理想值
（2.8）
（2.10）
在未加入俯仰角对准误差的情况下，载体的俯仰角，北向速度，纬度均未出现修拉震荡，漂移量非常小可以忽略，如图3.1至图3.3所示。
图3.1 理想情况下对偶四元数导航的俯仰角曲线
图3.2 理想情况下对偶四元数导航的北向速度曲线
图3.3 理想情况下对偶四元数导航的纬度曲线
在前述仿真条件的基础上，若设定俯仰角对准误差0.5°，根据式（2.6）可计算得到修拉震荡最大线速度应为68.9米每秒（在图3.5中得到验证），根据式（2.7）可得纬度变化量最大1度，即载体计算位置在北纬39°到北纬40°之间震荡（在图3.6中得到验证）。由于地球曲率的原因，随着纬度发生漂移，折算到当地地理坐标系载体姿态角（这里指俯仰角）也随着变化，变化量等于纬度变化量（在图3.4中得到验证）。
图3.4 初始对准俯仰角加入0.5°误差后的仰角曲线
图3.5 初始对准俯仰角加入0.5°误差后的北向速度曲线
图3.6 初始对准俯仰角加入0.5°误差后的纬度曲线
通过图3.4至图3.6可以看出，修拉震荡最大线速度约69米每秒（发生在21分钟和63分钟时）。当震荡达到最大线速度时，修拉震荡位置恰好到震荡范围的中点。当修拉震荡速度为0时（发生在42分钟和84分钟时），修拉震荡位置偏移量达到最大或最小。这就验证了第二节的第三条结论。
从此节得出第二节中关于对偶四元数修拉震荡的结论是成立的。
4. 结论
本文在对偶四元数导航原理的基础上，分析了对偶四元数导航的休拉震荡机理，并在在实际的仿真和试验中，验证了对偶四元数捷联惯导算法中存在休拉周期。当震荡达到最大线速度时，修拉震荡位置恰好到震荡范围的中点。纬度变化量的最大值和最小值与震荡速度的最小值同时出现，震荡速度最大值与休拉震荡平衡位置同时出现。由于对偶四元数导航以惯性系作为导航系，载体姿态四元数描述载体系相对于惯性系的变换关系，当载体纬度发生变化时，由于地球曲率的影响，会导致最终折算到当地地理系下的姿态以休拉震荡周期变化。
参考文献
[1] 武元新. 对偶四元数导航算法与非线性高斯滤波研究[D]. 长沙：国防科技大学，2005
[2] 秦永元. 惯性导航[M]. 北京：科学出版社，2006： 287-355
[3] 黄雪妮，赵忠，杨利兰. 游移方位激光捷联惯导系统传递对准方法[J].兵工自动化，2011
[4] 王佳.激光捷联惯导系统误差标定与高精度导航算法研究[D]. 哈尔滨：哈尔滨工业大学，2008
[5] A.T.Yang. “Application of quaternion algebra and dual numbers to the analysis of spatial mechanisms” PhD. Thesis.Columbia Universitv.1964
[6]V.N.Branets and I.P.Shmyglevsky， Introduction to the Theory of Strapdown Inertial Navigation System：Moscow，Nauka （in Russian）， 1992
[7] V.N. Branets and I.P.Shmyglevsky，Application of Quaternions to the Problems of Rigid Body Orientation：Nauka，1973