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著名数学家华罗庚曾说过： “数形结合百般好，隔裂分家万事休.”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的.
一般而言，“形”有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算.
2021年全国新高考Ⅰ卷第16题以民间剪纸艺术为背景，考查了考生的归纳与推理能力，及复杂数列求和运算能力，是难度较高的综合题目.
原题如下：
16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1=240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2=180dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______;如果对折n次，那么Sk=______dm2.
【审题和分析】：首先要理解题目，在考场中一般会发1-2张草稿纸，可以用草稿纸按照题意对折1-3次，或者绘制草图，得到如下图形：（当然考场中只需画前3次即可发现规律）
还可以在每次标上数值，以探索对折后面积（边长）变化的规律，如下：
【解法1】：（1）对折4次可得到如下规格：dm×12dm，dm×6dm，5dm×3dm，10dm×dm，20dm×dm，共5种;
（2）由题意可得S1=2×120，S2=3×60，S3=4×30，S4=5×15，…，Sn=，
设S=+++L+，
观察这个式子的特征，属于{anbn}结构，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列，所以下面用错位相减法求和，即：
S=++…++，
两式作差得：
S=240+120（++…+）-=240+-=360--=360-，
因此，S=720-=720-.
故答案为：5;720-.
【点评1】此题表面上以“形”的方式呈现，即民间剪纸艺术——考生常见、可考场上进行操作的“对折纸张”活动，实质上在解决这个问题的时候，要求学生以“数”——即转化为数列求和的方法进行计算，所以，看懂题意和理解数列求和的方法，是解决这个问题的关键.
【点评2】对于数列求和常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解;
（2）对于{anbn}结构，其中{an}是等差数列，是{bn}等比数列，用错位相减法求和;
（3）对于{an+bn}结构，利用分组求和法;
（4）对于{}结构，其中{an}是等差数列，公差为d（d≠0），则=（-），利用裂项相消法求和.
【解法2】（由新疆昌吉州一中张润平老师提供）：如果把“形”坐标化，能得到更加“精细”的代数表示，即解法2如下，
记此规格的长方形长为xndm×yndm，它对应于坐标平面内的点P（xn，yn），
其中xn=20，yn=12，（n∈N），则对折过程如下图：
P（x0，y0）;
P1（x0，y0），P1（x0，y0）;…………（1）
P2（x0，（）2y0），P2（x0，y0），P2（（）2x0，y0）;…………（2）
P3（x0，（）3y0），P3（x0，（）2y0），P3（（）2x0，y0），P3（（）3x0，y0）;…………（3）
仔细审读，发现规律很有意思！
【排列规则规律解读：
（1）对于每一“点”，首先按“y”轴对折，其次按“x”轴对折（下同）;
（2）从第二行开始，将上行的第2个以后的点“对折”时，按“y”轴对折所得的点与前面得到的点重合，按“x”对折得到的点是“新”点】
综上，对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5.
如果对折n次，得到下列n+1个点：
Pn，k（（）2x0，（）n-ky0），其中，k=0，1，2，…，（n+1），所以
Sk=[（）ix0·（）k-iy0]=[（）kx0y0]=x0y0（k+1）（）k
Sk=[x0y0（k+1）（）k]=x0y0[（k+1）（）k]，
其中Tn=[（k+1）（）k]，
这是一个等差数列与等比数列的乘积形式，属于错位相减法的典型结构，下面利用错位相减法进行求和，和解法1类似，此处从略.
【点评3】本题是一道数列题，其背景是民间折纸艺术，即数学上的对称关系. 解法2通过以“数”解“形”，即把“形”利用坐标表示，正是笛卡尔坐标的思想！十分巧妙！
【点评4】一般而言，以“数”解“形”解题的基本思路： 明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来（如果能建立坐标表示出来更好），再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等.【本文系廣州市海珠区“十三·五”教育规划课题“GeoGebra和初中数学教学深度融合的研究”（立项号：2020C028）研究成果】
责任编辑 徐国坚
一般而言，“形”有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算.
2021年全国新高考Ⅰ卷第16题以民间剪纸艺术为背景，考查了考生的归纳与推理能力，及复杂数列求和运算能力，是难度较高的综合题目.
原题如下：
16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1=240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2=180dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______;如果对折n次，那么Sk=______dm2.
【审题和分析】：首先要理解题目，在考场中一般会发1-2张草稿纸，可以用草稿纸按照题意对折1-3次，或者绘制草图，得到如下图形：（当然考场中只需画前3次即可发现规律）
还可以在每次标上数值，以探索对折后面积（边长）变化的规律，如下：
【解法1】：（1）对折4次可得到如下规格：dm×12dm，dm×6dm，5dm×3dm，10dm×dm，20dm×dm，共5种;
（2）由题意可得S1=2×120，S2=3×60，S3=4×30，S4=5×15，…，Sn=，
设S=+++L+，
观察这个式子的特征，属于{anbn}结构，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列，所以下面用错位相减法求和，即：
S=++…++，
两式作差得：
S=240+120（++…+）-=240+-=360--=360-，
因此，S=720-=720-.
故答案为：5;720-.
【点评1】此题表面上以“形”的方式呈现，即民间剪纸艺术——考生常见、可考场上进行操作的“对折纸张”活动，实质上在解决这个问题的时候，要求学生以“数”——即转化为数列求和的方法进行计算，所以，看懂题意和理解数列求和的方法，是解决这个问题的关键.
【点评2】对于数列求和常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解;
（2）对于{anbn}结构，其中{an}是等差数列，是{bn}等比数列，用错位相减法求和;
（3）对于{an+bn}结构，利用分组求和法;
（4）对于{}结构，其中{an}是等差数列，公差为d（d≠0），则=（-），利用裂项相消法求和.
【解法2】（由新疆昌吉州一中张润平老师提供）：如果把“形”坐标化，能得到更加“精细”的代数表示，即解法2如下，
记此规格的长方形长为xndm×yndm，它对应于坐标平面内的点P（xn，yn），
其中xn=20，yn=12，（n∈N），则对折过程如下图：
P（x0，y0）;
P1（x0，y0），P1（x0，y0）;…………（1）
P2（x0，（）2y0），P2（x0，y0），P2（（）2x0，y0）;…………（2）
P3（x0，（）3y0），P3（x0，（）2y0），P3（（）2x0，y0），P3（（）3x0，y0）;…………（3）
仔细审读，发现规律很有意思！
【排列规则规律解读：
（1）对于每一“点”，首先按“y”轴对折，其次按“x”轴对折（下同）;
（2）从第二行开始，将上行的第2个以后的点“对折”时，按“y”轴对折所得的点与前面得到的点重合，按“x”对折得到的点是“新”点】
综上，对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5.
如果对折n次，得到下列n+1个点：
Pn，k（（）2x0，（）n-ky0），其中，k=0，1，2，…，（n+1），所以
Sk=[（）ix0·（）k-iy0]=[（）kx0y0]=x0y0（k+1）（）k
Sk=[x0y0（k+1）（）k]=x0y0[（k+1）（）k]，
其中Tn=[（k+1）（）k]，
这是一个等差数列与等比数列的乘积形式，属于错位相减法的典型结构，下面利用错位相减法进行求和，和解法1类似，此处从略.
【点评3】本题是一道数列题，其背景是民间折纸艺术，即数学上的对称关系. 解法2通过以“数”解“形”，即把“形”利用坐标表示，正是笛卡尔坐标的思想！十分巧妙！
【点评4】一般而言，以“数”解“形”解题的基本思路： 明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来（如果能建立坐标表示出来更好），再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等.【本文系廣州市海珠区“十三·五”教育规划课题“GeoGebra和初中数学教学深度融合的研究”（立项号：2020C028）研究成果】
责任编辑 徐国坚