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摘 要：“板块叠加模型”具有很强的综合性和技巧性；对模型中临界力的求解，常常会出现诸多的思维误区；把握物体由“静”到“动”的临界条件，可以采取不同的解决思路：外力增大“三步法”、加速度“比较法”、运动“被动法”、按质“分配法”、参考系“变换法”；多角度思考有助于掌握模型的本质特点.
关键词：板块叠加；物理模型；思维误区；思路引导
作者简介：刘二虎（1986-），男，中学一级教师，硕士研究生学历，从事高中物理教学工作.
“板块叠加”是应用牛顿第二定律解决问题中最经典的模型之一，题型灵活多样，具有很强的综合性和技巧性，成为近几年各地模考和高考的热点.“板块叠加”模型本身并不复杂，但学生处理起来往往感到十分困惑，容易出现思维误区，在实际考试中的得分率并不理想.实际上，抓住由“静”到“动”的临界条件，解决这类问题的思路可以灵活多样.
1 典型例题
例题 在水平地面上静止放置一足够长的木板N，将一物块M放在长木板上，在长木板的右端加一水平向右的拉力F，拉力的大小由零逐渐增大.已知物块的质量2m、长木板的质量m，物块与长木板间的动摩擦因数μ，长木板与水平面间的动摩擦因数为0.5μ，且满足最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，
重力加速度用g表示，则
A.如果外力F<2μmg，则物块与长木板静止在水平面上不动
B.如果外力F=2.5μmg，则物块的加速度大小为13μg
C.如果外力F>3.5μmg，则物块与长木板之间有相对运动
D.在逐渐增大外力F的过程中，物块加速度的最大值大于μg
分析 这是一道典型的“板块叠加”模型问题.题中对木板施加逐渐增大的外力，物块和木板的运动状态随着外力的增加而改变.起初，物块和木板相对地面静止，当外力克服地面的摩擦力时，二者一起加速，外力再增大达到一定程度，物块和木板会发生相对运动.解决问题的重点在于求解物块和木板发生相对运动时临界外力的大小.
2 常见的思维误区
物块和木板的上下叠加，看似简单，但涉及到两个物体运动状态的分析，要求学生有较强的过程分析能力，实际在处理问题时容易产生诸多思维误区.
2.1 错判运动状态
这类误区主要是认为物块和木板始终一起向右加速.实际上地面滑动摩擦力大小为1.5μmg，当外力小于1.5μmg时，物块和木块始终相对地面保持静止；当外力大于地面的滑动摩擦力时，物块和木板才会一起向右加速.
2.2 忽略“板块”分离时的加速度
在物块和木板发生相对运动时，容易产生的误区是认为外力只要克服木板-地面、物块-木板两个摩擦力即可，认为外力F>3.5μmg就会发生相对运动；没有意识到在发生相对运动时，物块和木板实际都是有加速度的，并不是相对地面保持静止.
2.3 受力分析时摩擦力判断混乱
在受力分析时，主要难点在于木板-地面、物块-木板两个摩擦力的判断.这里的误区主要有两个：一是认为木板-地面、物块-木板两个摩擦力是同时产生的，二是判断两个摩擦力是静摩擦力还是滑动摩擦力比较混乱.由于外力是施加在木板上，两个摩擦力的产生也是有先后顺序：外力小于1.5μmg时，系统相对地面静止，木板-地面间先产生静摩擦力，物块-木板间没有摩擦力；当物块和木板一起向右加速时，木板-地面间变成滑动摩擦力，物块-木板开始有静摩擦力；物块-木板间的静摩擦力随着外力的增大而增大，并由此来判断相对运动的临界条件.
思维误区的产生，本质上是对这类模型解决思路不明确，没有把握好“叠加体”运动状态的变化过程.把握好两个接触面的摩擦力以及物块和木板之间相对运动的条件，求解出两个外力临界值：一起向右加速克服地面摩擦力时的临界力1.5μmg；物块和木板发生相对运动时的临界力4.5μmg，由此，问题迎刃而解.
3 模型的解决思路
对“板块叠加”模型，首先要做好物块和木板运动情况的分析，特别是随着外力的增大时二者的运动情况的变化，抓住系统由“静”到“动”的临界条件，求出发生相对运动时临界外力的大小，是解决问题的关键.这类模型具有很强的技巧性，实际处理起来时，可以不同的思路.
3.1 外力增大“三步法”
分析运动过程可知，物块和木板的运动随着外力的增加而发生改变.当外力F<1.5μmg时系统相对地面静止，继续增大外力，二者一起加速，此时彼此之间依靠静摩擦力相互连接.随着外力增加，加速度相应增大，静摩擦力达到最大静摩擦力这一临界条件时，外力增加到第二个临界值.对于这个临界力的求解可以依据外力增大“三步法”的思路：
第一步“整体”，当F比较小时二者一起加速，设加速度大小为a，有
F-0.5μ（2m m）g=（M m）a（1）
第二步“隔离”，分析物块的受力，此时物块和木板间的静摩擦力f满足：
f=2ma（2）
第三步“判斷”，依据临界条件判断即当M的摩擦力达到最大静摩擦力时达到临界条件，若外力继续增大，物块和木板发生相对运动时，彼此之间的静摩擦力达到最大，有
f=2μmg（3）
由（2）、（3）式得出发生相对运动时临界加速度a=μg，代入（1）式可求出临界力F=4.5μmg，从而进行判断.
依照“整体”、“隔离”、“判断”三步推进，让解决问题的思路简洁清晰，能轻松的求解出临界力，且方法易于掌握.
3.2 加速度“比较法”
从运动的角度来看，发生相对运动时二者的加速度大小不一样.考虑到外力施加在木板上，当木板加速度大于物块所能达到的最大加速时，二者发生相对运动.
设物块的加速度为a1，木板加速度为a2，物块与木板间的摩擦力为f，对木板f=2ma1，对木板F-0.5μ（2m m）g-f=ma2，发生相对运动时，物块与木板之间的摩擦力突变为滑动摩擦力，f=2μmg，此时a1=μg，且满足，a2>a1，可求出外力F>4.5μmg，即临界力为4.5μmg. 加速度“比较法”依据发生相对运动的运动条件来分析，易于理解和接受，是处理“板块叠加”模型很好的思路.
3.3 运动“被动法”
在运动过程中，由于外力是直接施加在木板上面，可以认为木板是受外力的作用“主动”运动，而物块是由于二者之间的静摩擦力带动运动，处于“被动”状态.二者一起加速，加速度相同，但作为“被动”运动的物块，所能承受的最大加速度是有限的.
当物块的加速度最大时，此时的加速度是二者一起加速的最大加速度，彼此间的静摩擦力达到最大静摩擦力.
整个过程中，“被动”运动的物块最大静摩擦力f=2μmg，此时系统一起加速的最大加速度为am=μg，若F-0.5μ（2m m）g>（2m m）am，物块和木板发生相对运动，可求出力F>4.5μmg，即临界力为4.5μmg.
运动的“被动”分析法对思维的要求相对较高，需要对运动过程有清晰的认知.
3.4 按质“分配法”
对于“连接体”问题，系统受到的外力可以等效的分配到各个物体上，每个物体受到的“等效合力”按质量的比例来分配[1].当物块和木板一起向右加速时，二者相对静止，系统总外力F合=F-0.5μ（2m m）g，此时物块的“等效合力”为mm 2mF合； 一起加速时，物块的 “等效合力” 和实际受到的合力相等，即mm 2mF合=f，物块和木板分离的瞬间f=2μmg，可求出力F=4.5μmg，即临界力为4.5μmg.
对于连接体，系统其受到合外力按质量分配到各个物体上，这一原理简单实用.用按质“分配法”的思路处理“板块叠加”问题时，首先要理解好“等效合外力”的思想.
3.5 参考系“变换法”
参考系“变换法”是用相对运动的思想来处理问题，将物块运动的参考系从地面变换到木板上.
以地面為参考系，若木板的加速度大小为a，物块和木板间的摩擦力大小为f，对木板：F-0.5μ（2m m）g-f=ma.
以木板为参考系，物块相对木板，需要考虑物块受到两个力的作用：一个是物块和木板彼此间的摩擦力f，另一个是加速参考系带来的“惯性力”2ma.一起加速时，物块相对木板是静止的，要实现这一“平衡”只要2ma=f.
当发生相对运动时，考虑到外力施加在木板上，物块相对木板向“后”运动，则2ma>f，且f=2μmg， 可求出力F>4.5μmg，即临界力为4.5μmg.
参考系“变换法”实际是选择“非惯性”参考系来研究问题，难点在于 “惯性力”的理解和把握.
参考文献：
[1]王益华.如何解决有外力作用的“叠加体”问题[J].物理教师，2015，04：59-60.
[2]陈玉生.“板-块”叠加体的几种典型模型[J].中学物理教学参考，2015，11：44-47.
关键词：板块叠加；物理模型；思维误区；思路引导
作者简介：刘二虎（1986-），男，中学一级教师，硕士研究生学历，从事高中物理教学工作.
“板块叠加”是应用牛顿第二定律解决问题中最经典的模型之一，题型灵活多样，具有很强的综合性和技巧性，成为近几年各地模考和高考的热点.“板块叠加”模型本身并不复杂，但学生处理起来往往感到十分困惑，容易出现思维误区，在实际考试中的得分率并不理想.实际上，抓住由“静”到“动”的临界条件，解决这类问题的思路可以灵活多样.
1 典型例题
例题 在水平地面上静止放置一足够长的木板N，将一物块M放在长木板上，在长木板的右端加一水平向右的拉力F，拉力的大小由零逐渐增大.已知物块的质量2m、长木板的质量m，物块与长木板间的动摩擦因数μ，长木板与水平面间的动摩擦因数为0.5μ，且满足最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，
重力加速度用g表示，则
A.如果外力F<2μmg，则物块与长木板静止在水平面上不动
B.如果外力F=2.5μmg，则物块的加速度大小为13μg
C.如果外力F>3.5μmg，则物块与长木板之间有相对运动
D.在逐渐增大外力F的过程中，物块加速度的最大值大于μg
分析 这是一道典型的“板块叠加”模型问题.题中对木板施加逐渐增大的外力，物块和木板的运动状态随着外力的增加而改变.起初，物块和木板相对地面静止，当外力克服地面的摩擦力时，二者一起加速，外力再增大达到一定程度，物块和木板会发生相对运动.解决问题的重点在于求解物块和木板发生相对运动时临界外力的大小.
2 常见的思维误区
物块和木板的上下叠加，看似简单，但涉及到两个物体运动状态的分析，要求学生有较强的过程分析能力，实际在处理问题时容易产生诸多思维误区.
2.1 错判运动状态
这类误区主要是认为物块和木板始终一起向右加速.实际上地面滑动摩擦力大小为1.5μmg，当外力小于1.5μmg时，物块和木块始终相对地面保持静止；当外力大于地面的滑动摩擦力时，物块和木板才会一起向右加速.
2.2 忽略“板块”分离时的加速度
在物块和木板发生相对运动时，容易产生的误区是认为外力只要克服木板-地面、物块-木板两个摩擦力即可，认为外力F>3.5μmg就会发生相对运动；没有意识到在发生相对运动时，物块和木板实际都是有加速度的，并不是相对地面保持静止.
2.3 受力分析时摩擦力判断混乱
在受力分析时，主要难点在于木板-地面、物块-木板两个摩擦力的判断.这里的误区主要有两个：一是认为木板-地面、物块-木板两个摩擦力是同时产生的，二是判断两个摩擦力是静摩擦力还是滑动摩擦力比较混乱.由于外力是施加在木板上，两个摩擦力的产生也是有先后顺序：外力小于1.5μmg时，系统相对地面静止，木板-地面间先产生静摩擦力，物块-木板间没有摩擦力；当物块和木板一起向右加速时，木板-地面间变成滑动摩擦力，物块-木板开始有静摩擦力；物块-木板间的静摩擦力随着外力的增大而增大，并由此来判断相对运动的临界条件.
思维误区的产生，本质上是对这类模型解决思路不明确，没有把握好“叠加体”运动状态的变化过程.把握好两个接触面的摩擦力以及物块和木板之间相对运动的条件，求解出两个外力临界值：一起向右加速克服地面摩擦力时的临界力1.5μmg；物块和木板发生相对运动时的临界力4.5μmg，由此，问题迎刃而解.
3 模型的解决思路
对“板块叠加”模型，首先要做好物块和木板运动情况的分析，特别是随着外力的增大时二者的运动情况的变化，抓住系统由“静”到“动”的临界条件，求出发生相对运动时临界外力的大小，是解决问题的关键.这类模型具有很强的技巧性，实际处理起来时，可以不同的思路.
3.1 外力增大“三步法”
分析运动过程可知，物块和木板的运动随着外力的增加而发生改变.当外力F<1.5μmg时系统相对地面静止，继续增大外力，二者一起加速，此时彼此之间依靠静摩擦力相互连接.随着外力增加，加速度相应增大，静摩擦力达到最大静摩擦力这一临界条件时，外力增加到第二个临界值.对于这个临界力的求解可以依据外力增大“三步法”的思路：
第一步“整体”，当F比较小时二者一起加速，设加速度大小为a，有
F-0.5μ（2m m）g=（M m）a（1）
第二步“隔离”，分析物块的受力，此时物块和木板间的静摩擦力f满足：
f=2ma（2）
第三步“判斷”，依据临界条件判断即当M的摩擦力达到最大静摩擦力时达到临界条件，若外力继续增大，物块和木板发生相对运动时，彼此之间的静摩擦力达到最大，有
f=2μmg（3）
由（2）、（3）式得出发生相对运动时临界加速度a=μg，代入（1）式可求出临界力F=4.5μmg，从而进行判断.
依照“整体”、“隔离”、“判断”三步推进，让解决问题的思路简洁清晰，能轻松的求解出临界力，且方法易于掌握.
3.2 加速度“比较法”
从运动的角度来看，发生相对运动时二者的加速度大小不一样.考虑到外力施加在木板上，当木板加速度大于物块所能达到的最大加速时，二者发生相对运动.
设物块的加速度为a1，木板加速度为a2，物块与木板间的摩擦力为f，对木板f=2ma1，对木板F-0.5μ（2m m）g-f=ma2，发生相对运动时，物块与木板之间的摩擦力突变为滑动摩擦力，f=2μmg，此时a1=μg，且满足，a2>a1，可求出外力F>4.5μmg，即临界力为4.5μmg. 加速度“比较法”依据发生相对运动的运动条件来分析，易于理解和接受，是处理“板块叠加”模型很好的思路.
3.3 运动“被动法”
在运动过程中，由于外力是直接施加在木板上面，可以认为木板是受外力的作用“主动”运动，而物块是由于二者之间的静摩擦力带动运动，处于“被动”状态.二者一起加速，加速度相同，但作为“被动”运动的物块，所能承受的最大加速度是有限的.
当物块的加速度最大时，此时的加速度是二者一起加速的最大加速度，彼此间的静摩擦力达到最大静摩擦力.
整个过程中，“被动”运动的物块最大静摩擦力f=2μmg，此时系统一起加速的最大加速度为am=μg，若F-0.5μ（2m m）g>（2m m）am，物块和木板发生相对运动，可求出力F>4.5μmg，即临界力为4.5μmg.
运动的“被动”分析法对思维的要求相对较高，需要对运动过程有清晰的认知.
3.4 按质“分配法”
对于“连接体”问题，系统受到的外力可以等效的分配到各个物体上，每个物体受到的“等效合力”按质量的比例来分配[1].当物块和木板一起向右加速时，二者相对静止，系统总外力F合=F-0.5μ（2m m）g，此时物块的“等效合力”为mm 2mF合； 一起加速时，物块的 “等效合力” 和实际受到的合力相等，即mm 2mF合=f，物块和木板分离的瞬间f=2μmg，可求出力F=4.5μmg，即临界力为4.5μmg.
对于连接体，系统其受到合外力按质量分配到各个物体上，这一原理简单实用.用按质“分配法”的思路处理“板块叠加”问题时，首先要理解好“等效合外力”的思想.
3.5 参考系“变换法”
参考系“变换法”是用相对运动的思想来处理问题，将物块运动的参考系从地面变换到木板上.
以地面為参考系，若木板的加速度大小为a，物块和木板间的摩擦力大小为f，对木板：F-0.5μ（2m m）g-f=ma.
以木板为参考系，物块相对木板，需要考虑物块受到两个力的作用：一个是物块和木板彼此间的摩擦力f，另一个是加速参考系带来的“惯性力”2ma.一起加速时，物块相对木板是静止的，要实现这一“平衡”只要2ma=f.
当发生相对运动时，考虑到外力施加在木板上，物块相对木板向“后”运动，则2ma>f，且f=2μmg， 可求出力F>4.5μmg，即临界力为4.5μmg.
参考系“变换法”实际是选择“非惯性”参考系来研究问题，难点在于 “惯性力”的理解和把握.
参考文献：
[1]王益华.如何解决有外力作用的“叠加体”问题[J].物理教师，2015，04：59-60.
[2]陈玉生.“板-块”叠加体的几种典型模型[J].中学物理教学参考，2015，11：44-47.