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线性代数是大学理工科和经管类学生的一门重要的必修课程[1],既是学习计算数学、微分方程、离散数学等后继课程的必要基础,也是在自然科学、工程技术、经济学等领域中应用广泛的数学工具之一。但由于线性代数课程有较高的抽象性和严密的逻辑性,同时又包含大量的概念、定理推导以及复杂的计算,这使得学生普遍认为学习这门课程比较困难。另外,随着教学观念的不断更新,线性代数等基础课的学时日趋减少。因此,如何利用有限的时间达到更好的教学效果显得尤为重要。鉴于此,本文结合自己的教学实践对如何上好这门课进行了一些探讨与总结。
一、类比、对比的教学方法
类比是一种通过已知事物(或事例)与跟它有某些相同特点的事物(或事例)进行比较类推从而证明论点的论证方法。在第一章行列式的教学中,我们用加减消元求解二元一次方程组,引入二阶行列式的概念,由三元一次方程组引入三阶行列式的概念,依次类推,采用类比的方法,很自然地就可得到解n元一次方程组时需要n阶行列式,从而轻松地引出了n阶行列式的形式和概念;并且根据二元一次方程组的行列式的解形式,顺乎情理地得到用n阶行列式表示n元一次方程组的解的形式,随后做些严格化的讲解--Gramer法则。这样可使学生经历了一个简单的探索过程,提高了他们的学习兴趣,更重要的是使他们将线性方程组的解和行列式紧紧地联系在一起,加深了对线性方程组及行列式的理解。
线性代数中概念定理较多,而概念是数学知识的基础,是数学思想与方法的载体,所以概念教学尤为重要。在概念教学中,教师传授知识不是一个简单地传递,学生的学习也不应是被动地接受。因此在讲清楚概念的同时,要启发学生对所讲概念和前面已学的类似易混淆的概念进行对比,采用对比的方法可使学生加深对概念的理解及准确把握,从而更好地把握数学知识的本质特征。如教师在讲述矩阵的概念时,可以采用该方法,将矩阵的概念和行列式的概念进行对比,首先矩阵表示的是一个数表,行列式则表示的是一个数;其次,矩阵中行数和列数不一定相等,而行列式中必须相等;再次,从表达形式上矩阵用圆括号或方括号来表示,而行列式则用两条竖线表示,等等。二者虽然表示符号相似,但却有本质的不同。通过这样的对比分析后,学生对矩阵和行列式的概念理解更加扎实、深刻。在讲授矩阵乘法满足的规律时,可以与数的乘法进行对比分析,找出共同点及存在的差异,如矩阵乘法不满足交换律和消去律,而数的乘法则不然;两个非零的矩阵乘积可能为零矩阵,而两个非零的数乘积定不为零;等。通过这样的讲授,将有助于学生更好地理解矩阵乘法的特点。另外,在讲完矩阵的转置及逆的这两种运算及规律后,教师可把他们进行类比、对比分析,找出相同点和不同点,如1: , ;2: ,() ;3:, 。将这些规律放在一起类比后,学生能更加容易理解及掌握。另外还应指出转置运算还满足 ,而逆运算没有相似的性质。最后,教师还应指出这两种运算间的联系,即 。通过这样的讲解后,对于转置和逆的运算规律,学生不容易混淆、掌握的更加牢固。等等。这种方法可以广泛地应用在线性代数的教学中,可以使学生加深对知识的理解,提高分析与理解能力、认识水平,激发学生的学习热情。
二、反例教学法
一个一般性命题,可用其某一特殊情况的不真加以否定,该特殊情况就是反例。在线性代数的教学过程中,教师如果能够充分地采用反例教学法,不但可以培养学生逆向思维,还可以加深理解、巩固知识。如在讲授矩阵的乘法不满足交换律时,教师可以举反例,设矩阵,, 根据矩阵乘法的定义,得到,。从这个反例中,很容易得到矩阵乘法确实不满足交换律,无需证明,这样讲解非常直观,学生也很容易接受。除此之外,在讲授矩阵的乘法不满足消去律时,也可以通过反例来说明,如,若矩阵, ,,则有 ,但,非常直观也非常简单地就可以看出。因此,反例教学法在线性代数中有其特殊的价值[3],恰当地使用反例能帮助学生直观地理解概念和定理,同时能减小命题证明的难度;另外,寻求反例的过程也可以培养学生的逆向思维,激发学生的学习兴趣,从而使教学取到事半功倍的效果。
三、适当总结和归纳、认真上好习题课
适当地总结和归纳、认真上好习题课,是线性代数教学的一个非常重要的环节。通过习题课,不但可使学生对所学知识得到巩固、形成完整的知识体系,而且可提高学生的计算能力,更重要的是达到运用的目的。在每一章节结束后,首先在习题课上教师应及时把所学的内容进行整理、总结和归纳,包括学过的基本知识点、基本解题方法、技巧,引导学生去掌握完善的、系统的知识,使学生对所学知识能够深刻理解并透彻掌握。如在第四章向量组的教学过程中,学生普遍反映概念、定理多而散,学起来较吃力,所以教师在习题课中应尽量将一些相关有联系的知识点串起来。例如在讲极大线性无关组、基及基础解系时,可通过下面的示意图来讲解,极大线性无关组是向量组中一个非常重要的概念之一,它可以表示整个向量组。当向量组中向量满足加法和数乘两种运算封闭时,该向量组就构成了一个向量空间,此时极大无关组在向量空间中赋予一个新的名词---基。进一步,如果向量空间中的每一个向量都为一个线性方程组的解向量,则该空间即为解空间,在解空间中不再用基这个概念,而是用基础解系来表示。这里虽然出现了三个不同的概念,但他们在本质上是相同的,只是在不同的场合给他们赋予了不同的名称而已。通过这样的讲解,可以加深学生对这三个概念的理解、掌握。
其次,根据不同专业学生的教学大纲规定,教师要精心准备一些具有典型特点、覆盖知识面广的一些综合习题,可让学生先思考如何解,鼓励学生认真思考,然后教师再做分析讲解,通过这些题的练习,进一步加深和巩固对所学内容的理解, 培养他们综合分析问题的能力。同时,对于批改作业中学生普遍存在的问题,也应在习题课中详细讲解,从而及时地解决这些问题。另外,在解题过程中最好能鼓励学生寻求一题多解。如在计算行列式时,教师可以讲解一些方法,例按行(列)展开法、三角形法、降阶法、递推法、加边法及数学归纳法等。这样可使学生明白做题要精,解题之前应分析题目特点,根据不同的特点采取相应的方法,掌握规律后,达到举一反三的目的。以期更好地完成教学工作。
四、传统教学和多媒体教学相结合法
线性代数中涉及的主要是行列式、矩阵、线性方程组等,因此在教学过程中教师书写量大,用的黑板较多,无疑课堂上板书花的时间也很多,再加上这门课的学时较少,可见要想在有限的学时内,较好地完成教学任务,使学生学有所用有一定的困难。但多媒体教学引进后,它改变了传统的教学模式,即节约了板书时间,也丰富了教学手段。另外,利用多媒体教学可以将一些抽象的、复杂的变换及图形生动、直观地表现出来,帮助学生获得感性认识,从而加深对知识的理解和掌握。但利用多媒体教学后,课堂的信息量也大大增大,很难使学生对教学内容留有深刻的印象,特别是数学教学,课堂上不能没有演算、推导的环节,而且完全使用多媒体教学肯定减少了师生之间的互动,这将大大影响教学效果。因此在线性代数的教学过程中,如果能将传统教学和多媒体教学有机地、合理地结合起来,发挥各自的优点,这将能更好地提高学生的学习兴趣,提高教学质量。
以上是作者在教学过程中的一点认识与思考,众所周知,教学是一门艺术,但教无定法,采用何种教法应该因地制宜,有的放矢。但线性代数作为一门基础课程,教师应认真备课,充分了解学生的学习情况,关心学生,尊重学生,激发他们的学习热情,增强学生的自信心。"亲其师,信其道"也正是这个道理。教学活动是师生的双边活动,是教和学两方面的有机的统一,学生应认真听课、练习,使教学效果达到最优。为后继课程打好坚实的基础。
参考文献:
[1]同济大学应用数学系.线性代数(第四版)[M].高等教育出版社,2006.
[2]李梦如,石琴春.关于线性代数课教学的两点看法[J].大学数学,2006,22(2):11-13.
[3]陆峰.线性代数教学中使用反例教学的例证研究[J].湖北成人教育学院,2008,14(5):102-103.
[4]伍建华,江世宏,戴祖旭,郭光耀,张晶.大学数学教学的现状调查和分析[J].数学教育学报,2007,16(3):36-39.
一、类比、对比的教学方法
类比是一种通过已知事物(或事例)与跟它有某些相同特点的事物(或事例)进行比较类推从而证明论点的论证方法。在第一章行列式的教学中,我们用加减消元求解二元一次方程组,引入二阶行列式的概念,由三元一次方程组引入三阶行列式的概念,依次类推,采用类比的方法,很自然地就可得到解n元一次方程组时需要n阶行列式,从而轻松地引出了n阶行列式的形式和概念;并且根据二元一次方程组的行列式的解形式,顺乎情理地得到用n阶行列式表示n元一次方程组的解的形式,随后做些严格化的讲解--Gramer法则。这样可使学生经历了一个简单的探索过程,提高了他们的学习兴趣,更重要的是使他们将线性方程组的解和行列式紧紧地联系在一起,加深了对线性方程组及行列式的理解。
线性代数中概念定理较多,而概念是数学知识的基础,是数学思想与方法的载体,所以概念教学尤为重要。在概念教学中,教师传授知识不是一个简单地传递,学生的学习也不应是被动地接受。因此在讲清楚概念的同时,要启发学生对所讲概念和前面已学的类似易混淆的概念进行对比,采用对比的方法可使学生加深对概念的理解及准确把握,从而更好地把握数学知识的本质特征。如教师在讲述矩阵的概念时,可以采用该方法,将矩阵的概念和行列式的概念进行对比,首先矩阵表示的是一个数表,行列式则表示的是一个数;其次,矩阵中行数和列数不一定相等,而行列式中必须相等;再次,从表达形式上矩阵用圆括号或方括号来表示,而行列式则用两条竖线表示,等等。二者虽然表示符号相似,但却有本质的不同。通过这样的对比分析后,学生对矩阵和行列式的概念理解更加扎实、深刻。在讲授矩阵乘法满足的规律时,可以与数的乘法进行对比分析,找出共同点及存在的差异,如矩阵乘法不满足交换律和消去律,而数的乘法则不然;两个非零的矩阵乘积可能为零矩阵,而两个非零的数乘积定不为零;等。通过这样的讲授,将有助于学生更好地理解矩阵乘法的特点。另外,在讲完矩阵的转置及逆的这两种运算及规律后,教师可把他们进行类比、对比分析,找出相同点和不同点,如1: , ;2: ,() ;3:, 。将这些规律放在一起类比后,学生能更加容易理解及掌握。另外还应指出转置运算还满足 ,而逆运算没有相似的性质。最后,教师还应指出这两种运算间的联系,即 。通过这样的讲解后,对于转置和逆的运算规律,学生不容易混淆、掌握的更加牢固。等等。这种方法可以广泛地应用在线性代数的教学中,可以使学生加深对知识的理解,提高分析与理解能力、认识水平,激发学生的学习热情。
二、反例教学法
一个一般性命题,可用其某一特殊情况的不真加以否定,该特殊情况就是反例。在线性代数的教学过程中,教师如果能够充分地采用反例教学法,不但可以培养学生逆向思维,还可以加深理解、巩固知识。如在讲授矩阵的乘法不满足交换律时,教师可以举反例,设矩阵,, 根据矩阵乘法的定义,得到,。从这个反例中,很容易得到矩阵乘法确实不满足交换律,无需证明,这样讲解非常直观,学生也很容易接受。除此之外,在讲授矩阵的乘法不满足消去律时,也可以通过反例来说明,如,若矩阵, ,,则有 ,但,非常直观也非常简单地就可以看出。因此,反例教学法在线性代数中有其特殊的价值[3],恰当地使用反例能帮助学生直观地理解概念和定理,同时能减小命题证明的难度;另外,寻求反例的过程也可以培养学生的逆向思维,激发学生的学习兴趣,从而使教学取到事半功倍的效果。
三、适当总结和归纳、认真上好习题课
适当地总结和归纳、认真上好习题课,是线性代数教学的一个非常重要的环节。通过习题课,不但可使学生对所学知识得到巩固、形成完整的知识体系,而且可提高学生的计算能力,更重要的是达到运用的目的。在每一章节结束后,首先在习题课上教师应及时把所学的内容进行整理、总结和归纳,包括学过的基本知识点、基本解题方法、技巧,引导学生去掌握完善的、系统的知识,使学生对所学知识能够深刻理解并透彻掌握。如在第四章向量组的教学过程中,学生普遍反映概念、定理多而散,学起来较吃力,所以教师在习题课中应尽量将一些相关有联系的知识点串起来。例如在讲极大线性无关组、基及基础解系时,可通过下面的示意图来讲解,极大线性无关组是向量组中一个非常重要的概念之一,它可以表示整个向量组。当向量组中向量满足加法和数乘两种运算封闭时,该向量组就构成了一个向量空间,此时极大无关组在向量空间中赋予一个新的名词---基。进一步,如果向量空间中的每一个向量都为一个线性方程组的解向量,则该空间即为解空间,在解空间中不再用基这个概念,而是用基础解系来表示。这里虽然出现了三个不同的概念,但他们在本质上是相同的,只是在不同的场合给他们赋予了不同的名称而已。通过这样的讲解,可以加深学生对这三个概念的理解、掌握。
其次,根据不同专业学生的教学大纲规定,教师要精心准备一些具有典型特点、覆盖知识面广的一些综合习题,可让学生先思考如何解,鼓励学生认真思考,然后教师再做分析讲解,通过这些题的练习,进一步加深和巩固对所学内容的理解, 培养他们综合分析问题的能力。同时,对于批改作业中学生普遍存在的问题,也应在习题课中详细讲解,从而及时地解决这些问题。另外,在解题过程中最好能鼓励学生寻求一题多解。如在计算行列式时,教师可以讲解一些方法,例按行(列)展开法、三角形法、降阶法、递推法、加边法及数学归纳法等。这样可使学生明白做题要精,解题之前应分析题目特点,根据不同的特点采取相应的方法,掌握规律后,达到举一反三的目的。以期更好地完成教学工作。
四、传统教学和多媒体教学相结合法
线性代数中涉及的主要是行列式、矩阵、线性方程组等,因此在教学过程中教师书写量大,用的黑板较多,无疑课堂上板书花的时间也很多,再加上这门课的学时较少,可见要想在有限的学时内,较好地完成教学任务,使学生学有所用有一定的困难。但多媒体教学引进后,它改变了传统的教学模式,即节约了板书时间,也丰富了教学手段。另外,利用多媒体教学可以将一些抽象的、复杂的变换及图形生动、直观地表现出来,帮助学生获得感性认识,从而加深对知识的理解和掌握。但利用多媒体教学后,课堂的信息量也大大增大,很难使学生对教学内容留有深刻的印象,特别是数学教学,课堂上不能没有演算、推导的环节,而且完全使用多媒体教学肯定减少了师生之间的互动,这将大大影响教学效果。因此在线性代数的教学过程中,如果能将传统教学和多媒体教学有机地、合理地结合起来,发挥各自的优点,这将能更好地提高学生的学习兴趣,提高教学质量。
以上是作者在教学过程中的一点认识与思考,众所周知,教学是一门艺术,但教无定法,采用何种教法应该因地制宜,有的放矢。但线性代数作为一门基础课程,教师应认真备课,充分了解学生的学习情况,关心学生,尊重学生,激发他们的学习热情,增强学生的自信心。"亲其师,信其道"也正是这个道理。教学活动是师生的双边活动,是教和学两方面的有机的统一,学生应认真听课、练习,使教学效果达到最优。为后继课程打好坚实的基础。
参考文献:
[1]同济大学应用数学系.线性代数(第四版)[M].高等教育出版社,2006.
[2]李梦如,石琴春.关于线性代数课教学的两点看法[J].大学数学,2006,22(2):11-13.
[3]陆峰.线性代数教学中使用反例教学的例证研究[J].湖北成人教育学院,2008,14(5):102-103.
[4]伍建华,江世宏,戴祖旭,郭光耀,张晶.大学数学教学的现状调查和分析[J].数学教育学报,2007,16(3):36-39.