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摘 要：椭圆、双曲线上任一点与两个焦点F1、F2所成的三角形，常称之为焦点三角形。解焦点三角形问题经常借助于正余弦定理，并结合三角形边角关系的有关定理加以解题。解题中，经常需要通过变形，结合椭圆、双曲线的有关定义，使之出现
|PF1| |PF2|=2a或|PF1|-|PF2|=±2a，再结合有关条件，进行解题。
关键词：平台；考查；数量积
一、 以椭圆、双曲线作平台，以焦点三角形为工具，考查离心率等知识
高考中，常结合椭圆、双曲线上任一点与两个焦点F1、F2所成的三角形，來考查椭圆、双曲线的有关基础知识，命题者常以焦点三角形为工具设置考点，如离心率等。
例1 设F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（ ）
A. 52
B. 102
C. 152
D. 5
解析：设F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中：2a=|AF1|-|AF2|=2，2c=|AF1|2 |AF2|2=10，∴离心率e=102，选B。
点评：解焦点三角形的有关问题，一定要很好结合题中的已知条件，并根据椭圆、双曲线有关定义，如例1结合已知条件不难求解出双曲线的a与c。
二、 以平面向量为舞台，考查以焦点三角形三边为向量等知识
高考在考查数学基础知识的同时，注重数学学科的内在联系和知识的综合性，经常在知识网络的“交汇点”处设计试题，常与平面向量相结合，
考查同学们知识能力的综合运用。
例2 设F1，F2分别是双曲线x2-y29=1的左、右焦点。若点P在双曲线上，且PF1·PF2=0，则|PF1 PF2|=（ ）
A. 10
B. 210
C. 5
D. 25
解析：设F1，F2分别是双曲线x2-y29=1的左、右焦点。若点P在双曲线上，且PF1·PF2=0，则|PF1 PF2|=
2|PO|=|F1F2|=210，选B。
点评：本题主要考查焦点三角形与平面向量等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。需要考生有较扎实的理论知识及较强的分析问题的能力，同时要具备良好的运算能力。本题以圆锥曲线作为主线，与平面向量联袂，以求向量的模为最终归宿，充分体现了主干知识在高考中的地位和要求，考查考生的综合数学素养和各种能力。
三、 以焦点三角形的边长为袈裟，考查三角形的面积等知识
在焦点三角形三边上设置“情境”，与三角形面积的有机结合，综合考查学生们对新“情境”的处理能力。
例3 设P为双曲线x2-y212=1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|=3∶2，则△PF1F2的面积为（ ）
A. 63
B. 12
C. 123
D. 24
解析：因为|PF1|∶|PF2|=3∶2，设|PF1|=3x，|PF2|=2x，根据双曲线定义得|PF1|-|PF2|=3x-2x=x=2a=2，所以|PF1|=6，|PF2|=4，|F1F2|=213，（213）2=52=62 42，△PF1F2为直角三角形，其面积为12×6×4=12，选B。
点评：这是以焦点三角形为背景和依托，考查三角形面积的题目。这种将圆锥曲线与三角形面积联袂上演的题目会成为未来高考中的一个极大亮点。
四、 以平面向量的数量积为归宿，考查最值等知识
充分利用直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，常在周长、面积和平面向量的数量积上设置最值，来考查同学们的解决问题及推理计算能力。
例4 设F1、F2分别是椭圆x24 y2=1的左、右焦点。
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1·PF2的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点）。求直线l的斜率k的取值范围。
解析：（Ⅰ）解法一：易知a=2，b=1，c=3
所以F1（-3，0），F2（3，0），设P（x，y），则
PF1·PF2=（-3-x，-y），（3-x，-y）=x2 y2-3=x2 1-x24-3=14（3x2-8）
因为x∈[-2，2]，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1·PF2有最小值-2
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1·PF2有最大值1。
（Ⅱ）略。
点评：本题将圆锥曲线与平面向量的数量积的最值两块主体内容有机地渗透和联系在一起。这种在交汇点设计的试题，注重内容的联系性和知识的综合性，既能增加知识的考查点，又能从学科整体的高度和思维价值的高度考虑问题，可谓视角独特、回味无穷。
总之，在高考数学试卷中以焦点三角形为依托来考查其他数学知识，使知识之间相映生辉，浑然一体的试题。因此，同学们应加强训练，加强应用意识，提高应用能力。
参考文献：
[1]刘克忠.三角形内角平分线性质定理在解高考题中的应用[J].数学学习与研究，2017（16）：130.
[2]雷文军.浅谈解三角形的一题多解——以2016年一道江苏高考题为例[J].高中数理化，2017（4）：11.
作者简介：许金聚，福建省泉州市，福建省安溪第八中学。
|PF1| |PF2|=2a或|PF1|-|PF2|=±2a，再结合有关条件，进行解题。
关键词：平台；考查；数量积
一、 以椭圆、双曲线作平台，以焦点三角形为工具，考查离心率等知识
高考中，常结合椭圆、双曲线上任一点与两个焦点F1、F2所成的三角形，來考查椭圆、双曲线的有关基础知识，命题者常以焦点三角形为工具设置考点，如离心率等。
例1 设F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（ ）
A. 52
B. 102
C. 152
D. 5
解析：设F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中：2a=|AF1|-|AF2|=2，2c=|AF1|2 |AF2|2=10，∴离心率e=102，选B。
点评：解焦点三角形的有关问题，一定要很好结合题中的已知条件，并根据椭圆、双曲线有关定义，如例1结合已知条件不难求解出双曲线的a与c。
二、 以平面向量为舞台，考查以焦点三角形三边为向量等知识
高考在考查数学基础知识的同时，注重数学学科的内在联系和知识的综合性，经常在知识网络的“交汇点”处设计试题，常与平面向量相结合，
考查同学们知识能力的综合运用。
例2 设F1，F2分别是双曲线x2-y29=1的左、右焦点。若点P在双曲线上，且PF1·PF2=0，则|PF1 PF2|=（ ）
A. 10
B. 210
C. 5
D. 25
解析：设F1，F2分别是双曲线x2-y29=1的左、右焦点。若点P在双曲线上，且PF1·PF2=0，则|PF1 PF2|=
2|PO|=|F1F2|=210，选B。
点评：本题主要考查焦点三角形与平面向量等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。需要考生有较扎实的理论知识及较强的分析问题的能力，同时要具备良好的运算能力。本题以圆锥曲线作为主线，与平面向量联袂，以求向量的模为最终归宿，充分体现了主干知识在高考中的地位和要求，考查考生的综合数学素养和各种能力。
三、 以焦点三角形的边长为袈裟，考查三角形的面积等知识
在焦点三角形三边上设置“情境”，与三角形面积的有机结合，综合考查学生们对新“情境”的处理能力。
例3 设P为双曲线x2-y212=1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|=3∶2，则△PF1F2的面积为（ ）
A. 63
B. 12
C. 123
D. 24
解析：因为|PF1|∶|PF2|=3∶2，设|PF1|=3x，|PF2|=2x，根据双曲线定义得|PF1|-|PF2|=3x-2x=x=2a=2，所以|PF1|=6，|PF2|=4，|F1F2|=213，（213）2=52=62 42，△PF1F2为直角三角形，其面积为12×6×4=12，选B。
点评：这是以焦点三角形为背景和依托，考查三角形面积的题目。这种将圆锥曲线与三角形面积联袂上演的题目会成为未来高考中的一个极大亮点。
四、 以平面向量的数量积为归宿，考查最值等知识
充分利用直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，常在周长、面积和平面向量的数量积上设置最值，来考查同学们的解决问题及推理计算能力。
例4 设F1、F2分别是椭圆x24 y2=1的左、右焦点。
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1·PF2的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点）。求直线l的斜率k的取值范围。
解析：（Ⅰ）解法一：易知a=2，b=1，c=3
所以F1（-3，0），F2（3，0），设P（x，y），则
PF1·PF2=（-3-x，-y），（3-x，-y）=x2 y2-3=x2 1-x24-3=14（3x2-8）
因为x∈[-2，2]，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1·PF2有最小值-2
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1·PF2有最大值1。
（Ⅱ）略。
点评：本题将圆锥曲线与平面向量的数量积的最值两块主体内容有机地渗透和联系在一起。这种在交汇点设计的试题，注重内容的联系性和知识的综合性，既能增加知识的考查点，又能从学科整体的高度和思维价值的高度考虑问题，可谓视角独特、回味无穷。
总之，在高考数学试卷中以焦点三角形为依托来考查其他数学知识，使知识之间相映生辉，浑然一体的试题。因此，同学们应加强训练，加强应用意识，提高应用能力。
参考文献：
[1]刘克忠.三角形内角平分线性质定理在解高考题中的应用[J].数学学习与研究，2017（16）：130.
[2]雷文军.浅谈解三角形的一题多解——以2016年一道江苏高考题为例[J].高中数理化，2017（4）：11.
作者简介：许金聚，福建省泉州市，福建省安溪第八中学。