论文部分内容阅读
【摘要】《初中数学新课程标准》规定：“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。”新的课程标准认为，数学核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六个方面。应用题教学是培养学生数学抽象、数学建模的重要抓手，是初中学生学习数学的一大难点，也是近年各地中考常见的考试内容。学生从算术到方程的思维方式的转变，用符号表示未知量，找较多个已知量和未知量之间的关系，对于大多数初中的学生都比较困难，运用表格法能帮助学生理清各个量之间的关系，找到等量关系，快速列出方程，从而突破列方程解应用题的难点，使绝大部分学生轻易地掌握解题思路和方法，大大地提高了教学的有效性，树立学生学习数学的信心。
【关键词】表格法;方程;应用题
一、认识表格法
表格法就是在实际问题中，根据题意将已知条件都找出，再进行归类，建立适当的表格，把各个量填入表格，再根据题意反映的实际问题模型，设好未知量，再找出从已知量到未知量之间的联系，根据题意，找到等量关系，从而列出方程，完成应用题的解答方法。教学不仅是知识的传递，更是知识的处理与迁移，方法模型的建立过程，表格法主要体现两个作用：一是表格法将引导学生对已知量，未知量进行分析，归类，再借助表格理清已知量和未知量之间的关系，对学生研究问题的思维有很好的启迪作用;二是利用表格法，可以从一般到特殊进行分析，便于学生观察、探索，抽象出各变量的变化规律，使问题模型化，对于中等学生，解决应用题能力比较薄弱、数学抽象思维能力较差的同学，能起到很好的作用。
二、表格法在数学方程应用题中应用广泛
1.列表格法为初学方程类应用题学生搭建了方法桥梁。小学阶段学生高年级前学习的都是算术方法解决实际问题，经过长期的训练，大部分学生对算术方法解决应用题比较熟练，而且相当部分学生形成思维、方法定势，所以进入小学高年级、初中阶段后，要求使用方程模型解决应用题，这部分同学会方程应用题普遍感到困难，在学习当中找不到方法，容易导致在数学应用题学习中没有信心，对方程类应用题感到害怕，甚至害怕数学。表格法恰好为学生学习方程应用题指明了方法和方向，对于数学学习能力不强的学生提供了一种可模仿的模型。
例1：某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m圆柱形储水箱。现该楼进行维修改造，为了减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m。那么，在容積不变的前提下，水箱的高度将由原来的4m变为多少米？
分析：由题意可知，本题是等体积问题，关系到两个对象水箱的底面积、高和体积，这些已知量和未知量之间的关系，在教学过程当中，如果没有归类，6个量的关系比较混乱，中等层次的学生较难找出各量之间的具体关系。采用表格法，对这个6个量，分为新、旧水箱两种情况，设未知量新水箱的高度为米，可以列出如下的表格，从而容易观察，找到等题关系。
根据题意容易列出方程：22π·4=1.62πx
解得：x=6.25
答：水箱的高变成了6.25米。
点评：本例来选自于《北京师范大学出版社数学七年级上册》第141页《水箱变高了》，通过表格可以把两个水箱的多个量，分类整理，再借助表格，进行直观呈现，从而表示出新旧水箱的体积，再根据体积相等，列出方程，突破了题目的难点，这对相当部分的中等层次学生搭建了很好的分析各已知未知量的桥梁，对刚刚接触列方程解应用题的学生，思维能力还是特别强的七年级学生帮助很大。
2.列表格法为分式类方程应用题提供较固定的解决方法。分式应用题是八年级分式这一板块的内容，是在学习了分式计算、分式方程之后，培养学生应用解决实际问题的能力，此类应用题一般涉及2种情况，每一种情况是由三个关联量进行描述。
例2：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款，已知七年级同学捐款总额为4800元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等，如果设七年级捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？
分析：由题意可得，本题反映的是七年级和八年级两类对象，也可以看作是两种捐款情况，捐款总额、捐款人数、人均捐款之间的被除式，除式和商之间的纵向关系，通过表格法能快速呈现各量之间横向关系。七年级捐款人数为x人，依题意，八年级捐款人数为（x 20）人，其他各通过表格可以简单清晰呈现出来，列表格如下：
根据表格的七八年级中的各量，容易通过人均捐款额相等，可以快速找到等量关系，列出方程4800/x=5000/（x 20），从而问题得以简单解决。
点评：本例选自《北京师范大学出版社数学八年级下册》第125页， 书本上选用的大部分分式类型的应用题，未知数都是分母，大多数应用题都可以套用此类表格模型，对学生熟练掌握分式应用题帮助非常大。
此类问题也是历年中考各地命题热点，刚刚结束的2020年中考中多地考了此内容。如，（2020·云南）某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域.实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务.实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？
3.列表格法为方程应用题架设了一条从特殊到一般的桥梁。一元二次方程类应用题相比一次方程，难度提高较大，涉及2个变量，跟二次函数的内容紧密相关，平时教学中采用常见的方法，学生课堂达成度不高，利用列表格法，搭建了从特殊到一般的桥梁，学生掌握此类问题的比例大幅增加。 例3：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
分析：本题涉及商品利润变化问题，从这个角度上分析，此问题是二次函数与一元二次方程的联系问题，此类问题在二次函数上，是设计求最大利润问题。学生在解决利润类应用题本身就存在较大困难，再联系到变量问题，大部分学生都是无从下手。此处使用表格法，可以让学生从不变到变化，从特殊到一般的数学解决数学问题方法。问题是设置了两个问题，采用间接设未知数的方法，降低难度，设商品上涨了x元，列出表格如下：
根据等量关系10000元这一等量关系，容易得出方程（10 x）×（600-10x）=10000
通过解方程，求得未知数的解x1=10，x2=40，则售价为50元或80元，根据题目要求：售价在40～60元范围内，则可以得到售价为50元，销售量则为500件，问题解决。
点评：此例选自《北京师范大学出版社数学九年级上册》第54页，此例题使用的表格法有别了前面所提到一元一次方程，分式方程的例子。此表格是通过表格，列出变化的量，从简单到复杂，从特殊到一般的变化过程，把这过程通过表格呈现出来，便于学生在学习过程中，观察、分析和归纳，感受各变化量之间的关系，从而找出变量关系式，这种方式，在研究复杂多个變量关系中，特别有价值，在二次函数问题中，也充分使用此类表格法。
此类问题也是中考热门的考点，如，（2019·东营）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个;若销售单价每降低1元，每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？
三、表格法在数学方程应用题中的应用反思
表格法在初中数学列方程解决问题过程中，是一种非常有效分析的方法，它起到的是桥梁的作用，它也是一种特殊的方法，有特定的适用范围，要防止学生养成一见到应用题，就误以为用列表格法解解。其次，表格法必须建立在学生对方程类型的题目有一定的了解的基础上，在学习方程类应用题时存在困难，没有办法找到各量之间关系和方法时，可以尝试使用借助表格法这个桥梁，或是利于理清数量关系，突破难点，或是从特殊到一般分析各量变化，前提条件必须读懂题目，理解题意，在日常方程应用教学当中，不能放松对读题，学生理解题意的训练加强。
最后，学生在有一定的抽象思维能力之后，就要跳出列表格的框框，实现破表格模型，做到表格在心中，从而进一步提高思维能力，分析数量关系的能力，提高数学抽象的核心素养。
参考文献：
[1]教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2012（8）.
[2]马复.义务教育教科书数学七年级上册[M].北京：北京师范大学出版社，2014（141）.
[3]马复.义务教育教科书数学八年级下册[M].北京：北京师范大学出版社，2014（125）.
[4]马复.义务教育教科书数学九年级上册[M].北京：北京师范大学出版社，2014：54-55.
[5]张河源.巧用表格分析法解一元一次方程应用题[J].中学数学研究（华南师范大学版），2016（12）：31-33.
【关键词】表格法;方程;应用题
一、认识表格法
表格法就是在实际问题中，根据题意将已知条件都找出，再进行归类，建立适当的表格，把各个量填入表格，再根据题意反映的实际问题模型，设好未知量，再找出从已知量到未知量之间的联系，根据题意，找到等量关系，从而列出方程，完成应用题的解答方法。教学不仅是知识的传递，更是知识的处理与迁移，方法模型的建立过程，表格法主要体现两个作用：一是表格法将引导学生对已知量，未知量进行分析，归类，再借助表格理清已知量和未知量之间的关系，对学生研究问题的思维有很好的启迪作用;二是利用表格法，可以从一般到特殊进行分析，便于学生观察、探索，抽象出各变量的变化规律，使问题模型化，对于中等学生，解决应用题能力比较薄弱、数学抽象思维能力较差的同学，能起到很好的作用。
二、表格法在数学方程应用题中应用广泛
1.列表格法为初学方程类应用题学生搭建了方法桥梁。小学阶段学生高年级前学习的都是算术方法解决实际问题，经过长期的训练，大部分学生对算术方法解决应用题比较熟练，而且相当部分学生形成思维、方法定势，所以进入小学高年级、初中阶段后，要求使用方程模型解决应用题，这部分同学会方程应用题普遍感到困难，在学习当中找不到方法，容易导致在数学应用题学习中没有信心，对方程类应用题感到害怕，甚至害怕数学。表格法恰好为学生学习方程应用题指明了方法和方向，对于数学学习能力不强的学生提供了一种可模仿的模型。
例1：某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m圆柱形储水箱。现该楼进行维修改造，为了减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m。那么，在容積不变的前提下，水箱的高度将由原来的4m变为多少米？
分析：由题意可知，本题是等体积问题，关系到两个对象水箱的底面积、高和体积，这些已知量和未知量之间的关系，在教学过程当中，如果没有归类，6个量的关系比较混乱，中等层次的学生较难找出各量之间的具体关系。采用表格法，对这个6个量，分为新、旧水箱两种情况，设未知量新水箱的高度为米，可以列出如下的表格，从而容易观察，找到等题关系。
根据题意容易列出方程：22π·4=1.62πx
解得：x=6.25
答：水箱的高变成了6.25米。
点评：本例来选自于《北京师范大学出版社数学七年级上册》第141页《水箱变高了》，通过表格可以把两个水箱的多个量，分类整理，再借助表格，进行直观呈现，从而表示出新旧水箱的体积，再根据体积相等，列出方程，突破了题目的难点，这对相当部分的中等层次学生搭建了很好的分析各已知未知量的桥梁，对刚刚接触列方程解应用题的学生，思维能力还是特别强的七年级学生帮助很大。
2.列表格法为分式类方程应用题提供较固定的解决方法。分式应用题是八年级分式这一板块的内容，是在学习了分式计算、分式方程之后，培养学生应用解决实际问题的能力，此类应用题一般涉及2种情况，每一种情况是由三个关联量进行描述。
例2：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款，已知七年级同学捐款总额为4800元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等，如果设七年级捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？
分析：由题意可得，本题反映的是七年级和八年级两类对象，也可以看作是两种捐款情况，捐款总额、捐款人数、人均捐款之间的被除式，除式和商之间的纵向关系，通过表格法能快速呈现各量之间横向关系。七年级捐款人数为x人，依题意，八年级捐款人数为（x 20）人，其他各通过表格可以简单清晰呈现出来，列表格如下：
根据表格的七八年级中的各量，容易通过人均捐款额相等，可以快速找到等量关系，列出方程4800/x=5000/（x 20），从而问题得以简单解决。
点评：本例选自《北京师范大学出版社数学八年级下册》第125页， 书本上选用的大部分分式类型的应用题，未知数都是分母，大多数应用题都可以套用此类表格模型，对学生熟练掌握分式应用题帮助非常大。
此类问题也是历年中考各地命题热点，刚刚结束的2020年中考中多地考了此内容。如，（2020·云南）某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域.实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务.实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？
3.列表格法为方程应用题架设了一条从特殊到一般的桥梁。一元二次方程类应用题相比一次方程，难度提高较大，涉及2个变量，跟二次函数的内容紧密相关，平时教学中采用常见的方法，学生课堂达成度不高，利用列表格法，搭建了从特殊到一般的桥梁，学生掌握此类问题的比例大幅增加。 例3：某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？
分析：本题涉及商品利润变化问题，从这个角度上分析，此问题是二次函数与一元二次方程的联系问题，此类问题在二次函数上，是设计求最大利润问题。学生在解决利润类应用题本身就存在较大困难，再联系到变量问题，大部分学生都是无从下手。此处使用表格法，可以让学生从不变到变化，从特殊到一般的数学解决数学问题方法。问题是设置了两个问题，采用间接设未知数的方法，降低难度，设商品上涨了x元，列出表格如下：
根据等量关系10000元这一等量关系，容易得出方程（10 x）×（600-10x）=10000
通过解方程，求得未知数的解x1=10，x2=40，则售价为50元或80元，根据题目要求：售价在40～60元范围内，则可以得到售价为50元，销售量则为500件，问题解决。
点评：此例选自《北京师范大学出版社数学九年级上册》第54页，此例题使用的表格法有别了前面所提到一元一次方程，分式方程的例子。此表格是通过表格，列出变化的量，从简单到复杂，从特殊到一般的变化过程，把这过程通过表格呈现出来，便于学生在学习过程中，观察、分析和归纳，感受各变化量之间的关系，从而找出变量关系式，这种方式，在研究复杂多个變量关系中，特别有价值，在二次函数问题中，也充分使用此类表格法。
此类问题也是中考热门的考点，如，（2019·东营）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个;若销售单价每降低1元，每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？
三、表格法在数学方程应用题中的应用反思
表格法在初中数学列方程解决问题过程中，是一种非常有效分析的方法，它起到的是桥梁的作用，它也是一种特殊的方法，有特定的适用范围，要防止学生养成一见到应用题，就误以为用列表格法解解。其次，表格法必须建立在学生对方程类型的题目有一定的了解的基础上，在学习方程类应用题时存在困难，没有办法找到各量之间关系和方法时，可以尝试使用借助表格法这个桥梁，或是利于理清数量关系，突破难点，或是从特殊到一般分析各量变化，前提条件必须读懂题目，理解题意，在日常方程应用教学当中，不能放松对读题，学生理解题意的训练加强。
最后，学生在有一定的抽象思维能力之后，就要跳出列表格的框框，实现破表格模型，做到表格在心中，从而进一步提高思维能力，分析数量关系的能力，提高数学抽象的核心素养。
参考文献：
[1]教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2012（8）.
[2]马复.义务教育教科书数学七年级上册[M].北京：北京师范大学出版社，2014（141）.
[3]马复.义务教育教科书数学八年级下册[M].北京：北京师范大学出版社，2014（125）.
[4]马复.义务教育教科书数学九年级上册[M].北京：北京师范大学出版社，2014：54-55.
[5]张河源.巧用表格分析法解一元一次方程应用题[J].中学数学研究（华南师范大学版），2016（12）：31-33.