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摘要:“一元二次方程”一章是初中数学的重要内容,它既是初中阶段有关方程和方程组知识的归纳和总结,也是进一步学习方程和方程组、函数初步知识、二次曲线和不等式等内容的基础。“一元二次方程”教学,其关键是抓住重点难点,突出思想方法。
关键词:一元二次方程 方程教学 方程化解
【中图分类号】 G623.5 【文献标识码】 C【文章编号】1671-8437(2010)01-0129-01
一 抓住重点难点
一元二次方程有四种不同的解法:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。这四种方法以公式法为基本方法,任何一个一元二次方程都可以用公式法来求解。以往的教科书将“直接开平方法”“配方法”“公式法”“因式分解法”四种方法置于平行地位,没有突出公式法这一重点。而现行教科书从标题上只体现了“公式法”和“因式分解法”,把直接开平方法、配方法放在公式法中。可以看出:这种安排一方面体现了与“数的开方”“二次根式”等有关内容的衔接;另一方面也明确了掌握直接开平方法和配方法是为了推导出公式法,这样就突出了一元二次方程的公式解。教學时,要把握教科书这种安排体系,明确各种解法的地位、作用,以便使学生把握用公式法解一元二次方程这一重点。
本章的难点包括用配方法解一元二次方程,灵活地运用不同的方法解一元二次方程,一元二次方程的根的判别式及其应用,可化为一元二次方程的分式方程和无理方程的增根问题,以及一元二次方程的应用等。
在实际运算中,一般不用配方法来解一元二次方程,这里的关键是掌握配方法,即会配方。这一方面是因为一元二次方程的求根公式、根与系数的关系是由配方法得来的;另一方面配方法是一种重要的数学方法,在学习因式分解、函数、不等式和方程等内容时也经常用到。因此教学时,要让学生重视配方法,掌握配方法。
为了突破这一难点,教科书采用由具体到抽象的办法。首先介绍了用配方法解数字系数的一元二次方程x2+6x+7=0,在此基础上,介绍了用配方法解字母系数的一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0的要求和步骤。教学时,要按照由具体到抽象,前后呼应的特点,讲清用配方法解一元二次方程的基本思路和步骤。
一元二次方程有四种解法,其中最常用的是公式法和因式分解法。在实际解一元二次方时,为了简捷、快速,就要灵活地运用不同的解法。一般说:先考虑用直接开平方法;其次考虑用因式分解法;如果ax2+bx+c=0中,a=1,b为偶数,也可考虑用配方法;对于所有的一元二次方程,都可用公式法解。
对于用公式法解一元二次方程,教学时,应向学生强调两点:一是方程必须为一般形式,不是一般形式的应先化为一般形式;二是b2-4ac必须大于或等于0,即非负数。具备这两个前提,才能使用公式。另外,利用公式法解一元二次方程,开始代入a,b,c求解时,计算往往容易出错,因此确定a,b,c时,要特别注意符号和0。
教科书在给出一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的概念和符号“Δ”后,用黑体字概括出:“一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当Δ>0时,有两个不相等的实数根;当Δ=0时,有两个相等的实数根;当Δ<0时,没有实数根。”这实际上是一元二次方程的根的判别定理。由于这一定理包括了三种互相排斥的所有可能情况,且它的逆命题也成立,所以也是教学中的一个难点。教学时,应注意教科书中“反过来也成立”这句话,即逆命题也成立,要向学生讲清楚这句话的真正含意,从而得出(表示必须并且只需):
Δ=b2-4ac>0方程有两个不等实根;Δ=b2-4ac=0方程有两个相等实根;
Δ=b2-4ac<0方程没有实根;也就是说,Δ=b2-4ac≥0方程有实根
一元二次方程的根的判别式的应用,大纲只要求会根据根的判别式判断数字系数的一元二次方程的根的情况。教科书除了给出判定数字系数的一元二次方程根的例习题,还在B组题中安排了用根的判别式确定方程中字母系数的值或取值范围,证明含字母系数的方程有无实数根等。教学时,应根据学生实际情况选择。
解方程的基本思路是,用同一个含有未知数的整式(各分式的最简公分母)去乘方程的两边,约去分母,把分式方程化为整式方程。由于分式方程和转化后的整式方程的未知数的允许值范围不完全一样,所以解也不一定相同,这样分式方程就可能产生增根。教学时,一要向学生指出增根产生的原因,二要说明如何验根。对于无理方程的增根问题,也是先分析为什么可能产生增根,然后说明怎样验根。
二 突出思想方法
(一)转化思想
转化思想是解方程过程中思维活动的主导思想;未知转化为已知,这是解方程的基本思路;一元二次方程转化为一元一次方程,这是通过将原方程“降次”而达到的;特殊转化为一般,一般转化为特殊;通过去分母或用换元法,将分式方程转化为整式方程来解;通过乘方或用换元法,将无理方程转化为有理方程来解;通过消元、降次,把二元二次方程转化为一元二次方程或一元一次方程;通过设未知数,找出等量关系,列方程,解方程,把实际问题转化为解方程问题,等等。
(二)类比思想
本章教学是在学生已学过解一元二次方程和二元一次方程组,列一元一次方程解应用题,解可化为一元一次方程的分式方程,数的开方和二次根式等内容的基础上进行的。因此,在教学中,如出新旧知识的联系,在新旧知识间进行类比,有利于学生掌握本章的知识。
如:用直接开平方法解一元二次方程的分式方程时,可类比平方根的概念和意义。
(三)消元法与降次法
消元法是把多元方程化为一元方程的基本方法。初一学过的代入消元法与加减消元法仍是解二元二次方程的主要方法。此外,本章还利用一元二次方程根与系数的关系把二元二次方程组转化为一元二次方程。
(四)配方法
配方的目的是使代数式或方程的一边变成完全平方式,其根据是乘法公式a2±2ab+b2=(a±b)2。
配方的目的是使代数式或方程的一边变成完全平方式,在讲完一元二次方程的配方法后,要总结出配方法的步骤。
关键词:一元二次方程 方程教学 方程化解
【中图分类号】 G623.5 【文献标识码】 C【文章编号】1671-8437(2010)01-0129-01
一 抓住重点难点
一元二次方程有四种不同的解法:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。这四种方法以公式法为基本方法,任何一个一元二次方程都可以用公式法来求解。以往的教科书将“直接开平方法”“配方法”“公式法”“因式分解法”四种方法置于平行地位,没有突出公式法这一重点。而现行教科书从标题上只体现了“公式法”和“因式分解法”,把直接开平方法、配方法放在公式法中。可以看出:这种安排一方面体现了与“数的开方”“二次根式”等有关内容的衔接;另一方面也明确了掌握直接开平方法和配方法是为了推导出公式法,这样就突出了一元二次方程的公式解。教學时,要把握教科书这种安排体系,明确各种解法的地位、作用,以便使学生把握用公式法解一元二次方程这一重点。
本章的难点包括用配方法解一元二次方程,灵活地运用不同的方法解一元二次方程,一元二次方程的根的判别式及其应用,可化为一元二次方程的分式方程和无理方程的增根问题,以及一元二次方程的应用等。
在实际运算中,一般不用配方法来解一元二次方程,这里的关键是掌握配方法,即会配方。这一方面是因为一元二次方程的求根公式、根与系数的关系是由配方法得来的;另一方面配方法是一种重要的数学方法,在学习因式分解、函数、不等式和方程等内容时也经常用到。因此教学时,要让学生重视配方法,掌握配方法。
为了突破这一难点,教科书采用由具体到抽象的办法。首先介绍了用配方法解数字系数的一元二次方程x2+6x+7=0,在此基础上,介绍了用配方法解字母系数的一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0的要求和步骤。教学时,要按照由具体到抽象,前后呼应的特点,讲清用配方法解一元二次方程的基本思路和步骤。
一元二次方程有四种解法,其中最常用的是公式法和因式分解法。在实际解一元二次方时,为了简捷、快速,就要灵活地运用不同的解法。一般说:先考虑用直接开平方法;其次考虑用因式分解法;如果ax2+bx+c=0中,a=1,b为偶数,也可考虑用配方法;对于所有的一元二次方程,都可用公式法解。
对于用公式法解一元二次方程,教学时,应向学生强调两点:一是方程必须为一般形式,不是一般形式的应先化为一般形式;二是b2-4ac必须大于或等于0,即非负数。具备这两个前提,才能使用公式。另外,利用公式法解一元二次方程,开始代入a,b,c求解时,计算往往容易出错,因此确定a,b,c时,要特别注意符号和0。
教科书在给出一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的概念和符号“Δ”后,用黑体字概括出:“一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当Δ>0时,有两个不相等的实数根;当Δ=0时,有两个相等的实数根;当Δ<0时,没有实数根。”这实际上是一元二次方程的根的判别定理。由于这一定理包括了三种互相排斥的所有可能情况,且它的逆命题也成立,所以也是教学中的一个难点。教学时,应注意教科书中“反过来也成立”这句话,即逆命题也成立,要向学生讲清楚这句话的真正含意,从而得出(表示必须并且只需):
Δ=b2-4ac>0方程有两个不等实根;Δ=b2-4ac=0方程有两个相等实根;
Δ=b2-4ac<0方程没有实根;也就是说,Δ=b2-4ac≥0方程有实根
一元二次方程的根的判别式的应用,大纲只要求会根据根的判别式判断数字系数的一元二次方程的根的情况。教科书除了给出判定数字系数的一元二次方程根的例习题,还在B组题中安排了用根的判别式确定方程中字母系数的值或取值范围,证明含字母系数的方程有无实数根等。教学时,应根据学生实际情况选择。
解方程的基本思路是,用同一个含有未知数的整式(各分式的最简公分母)去乘方程的两边,约去分母,把分式方程化为整式方程。由于分式方程和转化后的整式方程的未知数的允许值范围不完全一样,所以解也不一定相同,这样分式方程就可能产生增根。教学时,一要向学生指出增根产生的原因,二要说明如何验根。对于无理方程的增根问题,也是先分析为什么可能产生增根,然后说明怎样验根。
二 突出思想方法
(一)转化思想
转化思想是解方程过程中思维活动的主导思想;未知转化为已知,这是解方程的基本思路;一元二次方程转化为一元一次方程,这是通过将原方程“降次”而达到的;特殊转化为一般,一般转化为特殊;通过去分母或用换元法,将分式方程转化为整式方程来解;通过乘方或用换元法,将无理方程转化为有理方程来解;通过消元、降次,把二元二次方程转化为一元二次方程或一元一次方程;通过设未知数,找出等量关系,列方程,解方程,把实际问题转化为解方程问题,等等。
(二)类比思想
本章教学是在学生已学过解一元二次方程和二元一次方程组,列一元一次方程解应用题,解可化为一元一次方程的分式方程,数的开方和二次根式等内容的基础上进行的。因此,在教学中,如出新旧知识的联系,在新旧知识间进行类比,有利于学生掌握本章的知识。
如:用直接开平方法解一元二次方程的分式方程时,可类比平方根的概念和意义。
(三)消元法与降次法
消元法是把多元方程化为一元方程的基本方法。初一学过的代入消元法与加减消元法仍是解二元二次方程的主要方法。此外,本章还利用一元二次方程根与系数的关系把二元二次方程组转化为一元二次方程。
(四)配方法
配方的目的是使代数式或方程的一边变成完全平方式,其根据是乘法公式a2±2ab+b2=(a±b)2。
配方的目的是使代数式或方程的一边变成完全平方式,在讲完一元二次方程的配方法后,要总结出配方法的步骤。