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摘要：借鉴Jones等人构建“儿童统计思维框架”所使用的测试工具，对1～6年级小学生数据分析解释的认知发展趋势以及错误认知进行考察。研究发现：小学生数据分析解释的认知发展分为快速发展时期、较快发展时期、平缓发展时期、停滞发展时期和倒退发展时期，其中1～2年级、4～5年级分别是小学生“数据之间阅读”以及“超越数据阅读”的快速发展时期;无法识别0数值、不能基于数据做出是与否的区分以及基于主观经验预测是小学生在分析与解释数据时常见的三种错误。
关键词：小学生;数据分析;数据解释;认知发展
中图分类号：G62 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2021）04A-0045-07
一、问题提出
自1998年第5届国际统计教学会议（International Conferences on Teaching Statistics，简称ICOTS）开始，统计教育的重点放在了对统计思维、推理和素养的研究挑战上，国外统计教育者如Jones、Mooney等人着手基于“描述数据、组织和简化数据、表示数据、分析和解释数据”[1]271四个结构对中小学生统计思维的认知发展进行描述。
数据的分析和解释作为统计思维过程中最为复杂的环节[2]，依据Curcio的分类可将其分为“数据之间阅读”和“超越数据阅读”两部分，既包括了前者所指的能比较数量和使用数学概念进行数据整合的操作，也包括了后者强调的通过挖掘已有图式，从数据中预测和推断那些隐含的信息[3]。研究表明，小学生在此层面存在一定的困难。Putt等人发现70%的一年级和二年级学生接受访谈时的反应是肤浅的，不完整的[4]。类似的，Pereira-Mendoza和Mellor发现，虽然四年级学生对于条形图能成功（超过95%的成功率）进行字面阅读，但他们对于解释（52%的成功率）和预测（不到20%的成功率）却存在一定困难，且大多数的解释错误可以追溯到计算和读取的错误[5]。
就我国而言，“数据分析观念”这一核心概念明确指出“数据分析是统计的核心”，并要求学生能对所收集的数据“通过分析做出判断”[6]6。作为课程目标的支点，如何发展学生的数据分析观念，如何突出数据分析这一核心？一系列问题应运而生。在深化课程改革的背景之下，开展小学生分析与解释数据的评估探究具有一定的现实意义，能为小学统计课程与教学的设计，以及学生核心素养的发展提供一定的实证依据。
二、研究方法
（一）理论依据
Jones、Mooney等人以Biggs和Collis一般发展模型为基础所构建的“儿童统计思维框架”是国外公认的统计思维发展框架之一。框架从描述、组织和简化、表示、分析与解释数据四个维度对小学生统计思维水平进行了假设与验证，发现儿童会表现出特质的（idiosyncratic，简称I）、过渡的（transitional，简称T）、量化的（quantitative，简称Q）和分析的（analytical，简称A）四个水平[1]271。其各水平特征分别与SOLO理论中的前结构的（prestructural，简称P）、单一结构的（unistructura，简称U）、多元结构的（multistructural，简称M）、关联的（relational，简称R）相对应。
笔者依据Curcio对“数据分析和解释”的分类以及在参考Jones等人有关儿童统计思维研究[7]35中相关测试任务的基础上，设计了小学生分析与解释数据调查问卷（见表1），试图基于学生的回答探寻他们在“数据之间阅读”以及“超出数据阅读”两方面所表现出的数据分析解释水平。试题间相关系数设置如表2所示，数据表明问卷信度良好。
（二）样本选取
选取了安徽、江苏两省6所城区小学以及3所乡镇小学的1598名学生进行问卷调查。其中有效问卷1541份，城区小学有效问卷885份，乡镇小学有效问卷656份。
（三）编码与分析
基于SOLO分类法及“儿童统计思维框架”對学生回答的水平进行标记，由低到高分别记为1、2、3、4。从量与质两方面对所收集的数据进行分析。其中，量的方面主要是以SPSS19.0版统计软件分析小学生分析与解释数据的认知发展轨迹，同时也采用质性分析的方法对学生回答进行梳理，获取有关学生错误认知的信息。
三、研究发现
（一）小学生分析与解释数据认知发展轨迹
1.小学生数据之间阅读认知发展轨迹
如图1所示，不论是从“数据之间阅读”这一整体，还是从其两个关键要素来看，在小学阶段学生的认知发展虽都呈现出整体上升的趋势，但均在2～3年级时出现了一次较大幅度的下降，且在5～6年级时又再次出现回落的现象。其中，对于“数据之间阅读”整体以及“数据比较”，相对而言1～2年级的增长速度最快，而在“数据整合”要素上，3～4年级的增长速度要快于其他时段。
就“数据之间阅读”整体来看，通过ANOVA分析初步结果表明：数据之间阅读的平均水平间存在显著的年级差异（F=13.582，p=0.000<0.001）。进一步多重分析比较结果（见表3）显示：1年级与其他5个年级以及3年级和5年级之间存在非常显著或显著的差异，而对于其他年级组间的差异均不具有显著性。而就两个关键要素而言，“数据比较”的事后比较结果可知1年级与3年级、4年级与5年级、4年级与6年级、5年级与6年级之间不存在显著的差异，其他年级组间的差异则均达到了显著性水平，即p<0.05;而对于“数据整合”要素，1年级和2年级、1年级和4年级、1年级和5年级、1年级和6年级、3年级和5年级的平均水平差异显著，而其他各年级组间的平均水平不存在显著差异。
综上可知，小学生对于“数据之间阅读”的认知具有以下阶段性：1～2年级学生处于一个快速发展时期，2～3年级和5～6年级这两个时段处于停滞发展时期，3～5年级则处于平缓发展时期;而具体到“数据比较”要素，1～2年级处于较快发展时期，在2～3年级时由于认知发展趋势下降且差异显著，因而在此时段处于一个倒退发展时期，之后在3～4年级进入一个快速发展时期，而在4～6年级时处于平缓发展时期;对于“数据整合”要素，学生在1～2年级处于较快发展时期，在2～3年级以及5～6年级这两个时段则进入停滞发展时期，在3～5年级时处于平缓发展时期。 2.小学生超越数据阅读认知发展轨迹
1～6年级学生在“超越数据阅读”及其两个关键要素上的认知发展均表现出逐步上升的趋势（如图2）。其中在“超越数据阅读”整体以及“数据预测”方面，4～5年级增长速度相对较快，而5～6年级则相对缓慢;在“数据推断”方面，2～4年级时呈现出快速的增长，而在1～2年级时则相对平缓。
进一步方差分析可知（见表4），超出数据阅读的平均水平间存在非常显著的年级差异（F=149.406，p=0.000<0.001）。进一步多重比较可知，5年级和6年级的平均水平不具有显著差异（p=0.972<0.05），其他年级之间的平均水平均表现出显著或非常显著的差异。结合多重比较结果发现，对于“数据推断”要素1年级和2年级，4年级和5年级，5年级和6年级的数据推断平均水平不存在显著的差异;而其他各年级组均具有非常显著的差异，p值均为0.000。在“数据预测”要素上，3年级和4年级，5年级和6年级的数据预测平均水平不存在显著的差异，其他各年级组间的平均水平差异达到显著。
因而，小学生在“超越数据阅读”方面的认知发展具有以下阶段：在4～5年级时处于快速发展的时期，在1～4年级时处于较快发展时期，而在5～6年级时则处于平缓发展时期。在“数据推断”方面，学生在2～4年级时处于快速发展时期，而在1～2年级以及4～6年级时则处于平缓发展时期;在“数据预测”方面，学生在1～3年级以及4～5年级时处于快速发展时期，而在3～4年级以及5～6年级这两个时段则处于平缓发展时期。
（二）小学生分析与解释数据的认知发展趋势及其特征
对于“数据之间阅读”的两个层面，有超过75%的1～6年级小学生均达到了“分析的（A）”水平。基于对学生回答的质性分析可知，大多数小学生在对数据比较时能够认识到0数量的存在，在对数据进行整合时能够对各项数据给出正确、合理的运算。但对于“超越数据阅读”层面学生则相对较弱，“1～3年级绝大多数的学生均处于特质的（I）水平，大部分的4～6年级学生则处于过渡的（T）和量化的（Q）水平。”[7]38进一步对学生回答整理分析可知，1～3年级大多数学生在对数据进行推断时，表现出对题目要求的不理解，具体体现为无回应，或是所给出的回答仍为字面信息或是基于数据之间阅读中所获取的信息;在对数据预测时，则更多地表现出无回应，或是在预测时不是基于数据而是基于个人经验，随意给出了一个脱离范围的“荒谬”回应。处于T水平的4～6年级学生在推断数据时，虽然能够基于已有数据及其背景做出不能得到信息的推断，但在推断时只能关注其中的一个方面，而在数据预测时则仅能够基于所给数据提供一个犹豫的回应;而处于Q水平的小学生在数据推断时则能够陈述出无法从图中确定的多个方面信息，在数据预测时不仅能考虑到多个方面，还能够尝试基于数据以及情境的意义给出回应，但推理还不够完整。
（三）小学生分析和解释数据的错误认知分析
通过对学生回答的质性分析，可以发现“数据比较时对于0数值的忽视;数据推断时聚焦于数据和数据间信息的读取;基于主观经验给出预测”[8]51是小学生分析和解释数据过程中常见的三种错误，明确使用率分别为34.6%、32.8%及19.3%。
排在首位的错误认知是在含有0数量的多个数据比较时，表现出对于0数值的忽视。通过与学生的交流访谈可以发现，较低的读取显示水平以及缺乏一定的数学表达转换能力是产生此错误认知的两个主要原因。而对于第二种错误认知类型，由于小学数学教材中从未出现过此种问题，因而这是小学生对于数据推断的一种自然认识。通过对回答的分析及访谈了解到，形成此错误认知的两个主要原因为：一是部分学生对于题意的错误理解，将“不能得到的信息”理解为不能直接看出来的信息;二是由于部分学生读取显示能力不足，即不能对0数量信息给出正确的描述。综合以上两种错误原因可以看出，学生读取显示水平的高低会直接影响到他们有关“数据之间阅读”和“超越数据阅读”的水平。
四、結论与建议
（一）研究结论
依据方差分析结果中平均差异的数值以及差异性是否显著等标准，可将小学生分析与解释数据认知发展划分为五个阶段（见表5），分别为快速发展时期、较快发展时期、平缓发展时期、停滞发展时期和倒退发展时期。
（2）大多数小学生在数据之间阅读时不仅能识别0数量的存在，而且能对数据进行正确整合;但在超越数据阅读时，1～3年级学生更多的是关注自己的主观经验或是一些特殊的、不相关的数据，而4～6年级学生虽然能试图或稳定地使用定量推理作为他们统计推断的依据，但一般只专注于数据的一个方面或多个方面，还不能将多个方面进行整合，也不能将数据与其情境进行有效联系。
（3）无法识别0数值、不能基于数据做出是与否的区分以及基于主观经验预测是小学生分析与解释数据的三种共性认知错误。
（二）思考与建议
1.把握学生认知发展快速期，合理设计统计课程内容
认知发展轨迹显示，1～2年级是学生“数据之间阅读”的快速发展时期。事实上，与数据比较、整合这两种操作相关的知识点——比较数的大小、数的加减法以及对数据的简单分析，正是《义务教育数学课程标准（2011年版）》第一学段所提出的具体内容。而且所调查学校所使用的人教版以及苏教版教材均在2年级下册设置了“数据收集与整理”的章节，提供了较多类似于“这个月共有多少天？多云比下雨多几天？”[9]等数据之间阅读的学习机会，占两版教材“统计与概率”板块习题的41.2%左右。而在“超越数据阅读”方面，4～5年级是学生认知发展的快速时期。不仅课标将“能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测”[6]6列为第二学段课程内容，在教材中也通过“平均数”“条形统计图”“统计表”“折线统计图”等章节提供了诸如“你怎样评价这两支篮球队”[10]等问题，但数量较少，仅有9.7%左右。可见，数学课程与教学对学生分析与解释数据的认知发展，在一定程度上起到推动与促进的作用。因而，在课程与教学设计时可以结合学生认知发展的快速阶段，为学生提供相应要素的学习机会，特别对于现有教材中鲜有出现“含有0数量的统计图”等问题，帮助学生的数据分析与解释水平获得均衡、快速发展。
关键词：小学生;数据分析;数据解释;认知发展
中图分类号：G62 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2021）04A-0045-07
一、问题提出
自1998年第5届国际统计教学会议（International Conferences on Teaching Statistics，简称ICOTS）开始，统计教育的重点放在了对统计思维、推理和素养的研究挑战上，国外统计教育者如Jones、Mooney等人着手基于“描述数据、组织和简化数据、表示数据、分析和解释数据”[1]271四个结构对中小学生统计思维的认知发展进行描述。
数据的分析和解释作为统计思维过程中最为复杂的环节[2]，依据Curcio的分类可将其分为“数据之间阅读”和“超越数据阅读”两部分，既包括了前者所指的能比较数量和使用数学概念进行数据整合的操作，也包括了后者强调的通过挖掘已有图式，从数据中预测和推断那些隐含的信息[3]。研究表明，小学生在此层面存在一定的困难。Putt等人发现70%的一年级和二年级学生接受访谈时的反应是肤浅的，不完整的[4]。类似的，Pereira-Mendoza和Mellor发现，虽然四年级学生对于条形图能成功（超过95%的成功率）进行字面阅读，但他们对于解释（52%的成功率）和预测（不到20%的成功率）却存在一定困难，且大多数的解释错误可以追溯到计算和读取的错误[5]。
就我国而言，“数据分析观念”这一核心概念明确指出“数据分析是统计的核心”，并要求学生能对所收集的数据“通过分析做出判断”[6]6。作为课程目标的支点，如何发展学生的数据分析观念，如何突出数据分析这一核心？一系列问题应运而生。在深化课程改革的背景之下，开展小学生分析与解释数据的评估探究具有一定的现实意义，能为小学统计课程与教学的设计，以及学生核心素养的发展提供一定的实证依据。
二、研究方法
（一）理论依据
Jones、Mooney等人以Biggs和Collis一般发展模型为基础所构建的“儿童统计思维框架”是国外公认的统计思维发展框架之一。框架从描述、组织和简化、表示、分析与解释数据四个维度对小学生统计思维水平进行了假设与验证，发现儿童会表现出特质的（idiosyncratic，简称I）、过渡的（transitional，简称T）、量化的（quantitative，简称Q）和分析的（analytical，简称A）四个水平[1]271。其各水平特征分别与SOLO理论中的前结构的（prestructural，简称P）、单一结构的（unistructura，简称U）、多元结构的（multistructural，简称M）、关联的（relational，简称R）相对应。
笔者依据Curcio对“数据分析和解释”的分类以及在参考Jones等人有关儿童统计思维研究[7]35中相关测试任务的基础上，设计了小学生分析与解释数据调查问卷（见表1），试图基于学生的回答探寻他们在“数据之间阅读”以及“超出数据阅读”两方面所表现出的数据分析解释水平。试题间相关系数设置如表2所示，数据表明问卷信度良好。
（二）样本选取
选取了安徽、江苏两省6所城区小学以及3所乡镇小学的1598名学生进行问卷调查。其中有效问卷1541份，城区小学有效问卷885份，乡镇小学有效问卷656份。
（三）编码与分析
基于SOLO分类法及“儿童统计思维框架”對学生回答的水平进行标记，由低到高分别记为1、2、3、4。从量与质两方面对所收集的数据进行分析。其中，量的方面主要是以SPSS19.0版统计软件分析小学生分析与解释数据的认知发展轨迹，同时也采用质性分析的方法对学生回答进行梳理，获取有关学生错误认知的信息。
三、研究发现
（一）小学生分析与解释数据认知发展轨迹
1.小学生数据之间阅读认知发展轨迹
如图1所示，不论是从“数据之间阅读”这一整体，还是从其两个关键要素来看，在小学阶段学生的认知发展虽都呈现出整体上升的趋势，但均在2～3年级时出现了一次较大幅度的下降，且在5～6年级时又再次出现回落的现象。其中，对于“数据之间阅读”整体以及“数据比较”，相对而言1～2年级的增长速度最快，而在“数据整合”要素上，3～4年级的增长速度要快于其他时段。
就“数据之间阅读”整体来看，通过ANOVA分析初步结果表明：数据之间阅读的平均水平间存在显著的年级差异（F=13.582，p=0.000<0.001）。进一步多重分析比较结果（见表3）显示：1年级与其他5个年级以及3年级和5年级之间存在非常显著或显著的差异，而对于其他年级组间的差异均不具有显著性。而就两个关键要素而言，“数据比较”的事后比较结果可知1年级与3年级、4年级与5年级、4年级与6年级、5年级与6年级之间不存在显著的差异，其他年级组间的差异则均达到了显著性水平，即p<0.05;而对于“数据整合”要素，1年级和2年级、1年级和4年级、1年级和5年级、1年级和6年级、3年级和5年级的平均水平差异显著，而其他各年级组间的平均水平不存在显著差异。
综上可知，小学生对于“数据之间阅读”的认知具有以下阶段性：1～2年级学生处于一个快速发展时期，2～3年级和5～6年级这两个时段处于停滞发展时期，3～5年级则处于平缓发展时期;而具体到“数据比较”要素，1～2年级处于较快发展时期，在2～3年级时由于认知发展趋势下降且差异显著，因而在此时段处于一个倒退发展时期，之后在3～4年级进入一个快速发展时期，而在4～6年级时处于平缓发展时期;对于“数据整合”要素，学生在1～2年级处于较快发展时期，在2～3年级以及5～6年级这两个时段则进入停滞发展时期，在3～5年级时处于平缓发展时期。 2.小学生超越数据阅读认知发展轨迹
1～6年级学生在“超越数据阅读”及其两个关键要素上的认知发展均表现出逐步上升的趋势（如图2）。其中在“超越数据阅读”整体以及“数据预测”方面，4～5年级增长速度相对较快，而5～6年级则相对缓慢;在“数据推断”方面，2～4年级时呈现出快速的增长，而在1～2年级时则相对平缓。
进一步方差分析可知（见表4），超出数据阅读的平均水平间存在非常显著的年级差异（F=149.406，p=0.000<0.001）。进一步多重比较可知，5年级和6年级的平均水平不具有显著差异（p=0.972<0.05），其他年级之间的平均水平均表现出显著或非常显著的差异。结合多重比较结果发现，对于“数据推断”要素1年级和2年级，4年级和5年级，5年级和6年级的数据推断平均水平不存在显著的差异;而其他各年级组均具有非常显著的差异，p值均为0.000。在“数据预测”要素上，3年级和4年级，5年级和6年级的数据预测平均水平不存在显著的差异，其他各年级组间的平均水平差异达到显著。
因而，小学生在“超越数据阅读”方面的认知发展具有以下阶段：在4～5年级时处于快速发展的时期，在1～4年级时处于较快发展时期，而在5～6年级时则处于平缓发展时期。在“数据推断”方面，学生在2～4年级时处于快速发展时期，而在1～2年级以及4～6年级时则处于平缓发展时期;在“数据预测”方面，学生在1～3年级以及4～5年级时处于快速发展时期，而在3～4年级以及5～6年级这两个时段则处于平缓发展时期。
（二）小学生分析与解释数据的认知发展趋势及其特征
对于“数据之间阅读”的两个层面，有超过75%的1～6年级小学生均达到了“分析的（A）”水平。基于对学生回答的质性分析可知，大多数小学生在对数据比较时能够认识到0数量的存在，在对数据进行整合时能够对各项数据给出正确、合理的运算。但对于“超越数据阅读”层面学生则相对较弱，“1～3年级绝大多数的学生均处于特质的（I）水平，大部分的4～6年级学生则处于过渡的（T）和量化的（Q）水平。”[7]38进一步对学生回答整理分析可知，1～3年级大多数学生在对数据进行推断时，表现出对题目要求的不理解，具体体现为无回应，或是所给出的回答仍为字面信息或是基于数据之间阅读中所获取的信息;在对数据预测时，则更多地表现出无回应，或是在预测时不是基于数据而是基于个人经验，随意给出了一个脱离范围的“荒谬”回应。处于T水平的4～6年级学生在推断数据时，虽然能够基于已有数据及其背景做出不能得到信息的推断，但在推断时只能关注其中的一个方面，而在数据预测时则仅能够基于所给数据提供一个犹豫的回应;而处于Q水平的小学生在数据推断时则能够陈述出无法从图中确定的多个方面信息，在数据预测时不仅能考虑到多个方面，还能够尝试基于数据以及情境的意义给出回应，但推理还不够完整。
（三）小学生分析和解释数据的错误认知分析
通过对学生回答的质性分析，可以发现“数据比较时对于0数值的忽视;数据推断时聚焦于数据和数据间信息的读取;基于主观经验给出预测”[8]51是小学生分析和解释数据过程中常见的三种错误，明确使用率分别为34.6%、32.8%及19.3%。
排在首位的错误认知是在含有0数量的多个数据比较时，表现出对于0数值的忽视。通过与学生的交流访谈可以发现，较低的读取显示水平以及缺乏一定的数学表达转换能力是产生此错误认知的两个主要原因。而对于第二种错误认知类型，由于小学数学教材中从未出现过此种问题，因而这是小学生对于数据推断的一种自然认识。通过对回答的分析及访谈了解到，形成此错误认知的两个主要原因为：一是部分学生对于题意的错误理解，将“不能得到的信息”理解为不能直接看出来的信息;二是由于部分学生读取显示能力不足，即不能对0数量信息给出正确的描述。综合以上两种错误原因可以看出，学生读取显示水平的高低会直接影响到他们有关“数据之间阅读”和“超越数据阅读”的水平。
四、結论与建议
（一）研究结论
依据方差分析结果中平均差异的数值以及差异性是否显著等标准，可将小学生分析与解释数据认知发展划分为五个阶段（见表5），分别为快速发展时期、较快发展时期、平缓发展时期、停滞发展时期和倒退发展时期。
（2）大多数小学生在数据之间阅读时不仅能识别0数量的存在，而且能对数据进行正确整合;但在超越数据阅读时，1～3年级学生更多的是关注自己的主观经验或是一些特殊的、不相关的数据，而4～6年级学生虽然能试图或稳定地使用定量推理作为他们统计推断的依据，但一般只专注于数据的一个方面或多个方面，还不能将多个方面进行整合，也不能将数据与其情境进行有效联系。
（3）无法识别0数值、不能基于数据做出是与否的区分以及基于主观经验预测是小学生分析与解释数据的三种共性认知错误。
（二）思考与建议
1.把握学生认知发展快速期，合理设计统计课程内容
认知发展轨迹显示，1～2年级是学生“数据之间阅读”的快速发展时期。事实上，与数据比较、整合这两种操作相关的知识点——比较数的大小、数的加减法以及对数据的简单分析，正是《义务教育数学课程标准（2011年版）》第一学段所提出的具体内容。而且所调查学校所使用的人教版以及苏教版教材均在2年级下册设置了“数据收集与整理”的章节，提供了较多类似于“这个月共有多少天？多云比下雨多几天？”[9]等数据之间阅读的学习机会，占两版教材“统计与概率”板块习题的41.2%左右。而在“超越数据阅读”方面，4～5年级是学生认知发展的快速时期。不仅课标将“能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测”[6]6列为第二学段课程内容，在教材中也通过“平均数”“条形统计图”“统计表”“折线统计图”等章节提供了诸如“你怎样评价这两支篮球队”[10]等问题，但数量较少，仅有9.7%左右。可见，数学课程与教学对学生分析与解释数据的认知发展，在一定程度上起到推动与促进的作用。因而，在课程与教学设计时可以结合学生认知发展的快速阶段，为学生提供相应要素的学习机会，特别对于现有教材中鲜有出现“含有0数量的统计图”等问题，帮助学生的数据分析与解释水平获得均衡、快速发展。