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一、填空题:
1.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为 .
2.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的 条件.
3.x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20交于A,B两点,则直线AB的方程是 .
4.与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是 .
5.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为 .
6.点P在平面区域2x-y+2≥0x+y-2≤02y-1≥0上,点O在x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为 .
7.以F1(2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与x+3y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆长轴长为 .
8.C∶x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是 .
9.设椭圆x225+y216=1上一点P到左准线的距离为10,F是该椭圆的左焦点,若点M满足OM=12(OP+DF),则|OM|= .
10.在平面直角坐标系xOy中,已知ΔABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆x225+y29=1上,则sinA+sinCsinB= .
11.设F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,若在其右准线上存在P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是 .
12.设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四个命题:
A.存在一条定直线与所有的圆均相切
B.存在一条定直线与所有的圆均相交
C.存在一条定直线与所有的圆均不相交
D.所有的圆均不经过原点
其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号).
二、解答题
13.已知圆满足:①截y轴所得的弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1;③圆心到直线L:x-2y=0的距离为55,求圆的方程.
14.已知椭圆的中心为坐标原点,短轴长为2,一条准线方程为l:x=2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设O为坐标原点,F是椭圆的右焦点,点M是直线l上的动点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值.
15.在平面直角坐标系中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.
(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为23,求直线l的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标。
16.(理科选修)在平面直角坐标系xoy中,抛物线C的顶点在原点,经过点A(2,2),其焦点F在x轴上。
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)求过点F,且与直线OA垂直的直线的方程;
(3)设过点M(m,0)(m>0)的直线交抛物线C于D、E两点,ME=2DM,记D和E两点间的距离为f(m),求f(m)关于m的表达式。
训练(6)解析几何参考答案
一、填空题
1.±3 2.充分必要 3.x+3y=0
4.(x-2)2+(y-2)2=2
5.7 6.32 7.215 8.b 9.2 10.54
11.[33,1) 12.B,D
二、解答题
13.解:设圆心坐标为(a,b),半径为r,方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
因为圆心到直线L:x-2y=0的距离为55,所以a-2b5=15,即a-2b=1
令x=0得,y2-2by+a2+b2-r2=0,因为截y轴所得的弦长为2
所以,(y1-y2)2=(2b)2-4(a2+b2-r2)=4,即r2-a2=1
令y=0得,x2-2ax+a2+b2-r2=0,因为被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1
所以,(x1-x2)2=(2a)2-4(a2+b2-r2)=2r2,即r2=2b2
所以a-2b=11+a2=2b2,解得a=1b=1,或a=-1b=-1
所以,圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2
14.解:(1)∵椭圆C的短轴长为2,椭圆C的一条准线为l:x=2,
∴不妨设椭圆C的方程为x2a2+y2=1.
∴a2c=1+c2c=2,(4分)即c=1.
∴椭圆C的方程为x22+y2=1.
(2)F(1,0),右准线为l:x=2,设N(x0,y0),
则直线FN的斜率为kFN=y0x0-1,直线ON的斜率为kON=y0x0,
∵FN⊥OM,∴直线OM的斜率为kOM=-x0-1y0,
∴直线OM的方程为:y=-x0-1y0x,点M的坐标为M(2,-2(x0-1)y0).
∴直线MN的斜率为kMN=y0+2(x0-1)y0x0-2.
∵MN⊥ON,∴kMN•kON=-1,
∴y0+2(x0-1)y0x0-2•y0x0=-1,
∴y20+2(x0-1)+x0(x0-2)=2,即x20+y20=2.
∴ON=2为定值.
15.解:(1)设直线l的方程为:y=k(x-4),即kx-y-4k=0
由垂径定理,得:圆心C1到直线l的距离d=42-(232)2=1,
结合点到直线距离公式,得:|-3k-1-4k|k2+1=1,
化简得:24k2+7k=0,k=0,or,k=-724
求直线l的方程为:y=0或y=-724(x-4),即y=0或7x+24y-28=0
(2)设点P坐标为(m,n),直线l1、l2的方程分别为:
y-n=k(x-m),y-n=-1k(x-m),即:kx-y+n-km=0,-1kx-y+n+1km=0
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂径定理,得::圆心C1到直线与直线的距离相等。
故有:|-3k-1+n-km|k2+1=|-4k-5+n+1km|1k2+1,
化简得:(2-m-n)k=m-n-3,或(m-n+8)k=m+n-5
关于k的方程有无穷多解,有:2-m-n=0m-n-3=0,或m-n+8=0m+n-5=0
解之得:点P坐标为(-32,132)或(52,-12)。
16.解:(1)由题意,可设抛物线C的标准方程为y2=2px.因为点A(2,2)在抛物线C上,所以p=1.因此,抛物线C的标准方程为y2=2x.
(2)由(1)可得焦点F的坐标是(12,0),又直线OA的斜率为22=1,故与直线OA垂直的直线的斜率为-1.因此,所求直线的方程是x+y-12=0.
(3)解法一:
设点D和E的坐标分别为(x1,y2)和(x2,y2),直线DE的方程是y=k(x-m),k≠0,将x=yk+m代入y2=2x,有ky2-2y-2km=0,解得y1,2=1+1+2mk2k,由ME=2DM知1+1+2mk2=2(1+2mk2-1),化简得k2=4m,因此
DE2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+1k2)(y1-y2)2
=(1+1k2)4(1+2mk2)k2=94(m2+4m)
所以f(m)=32m2+4m(m>0).
解法二:
设D(s22,s),E(t22,t),由点M(m,0)及ME=2DM得
12t2-m=2(m-s22),t-0=2(0-s).
因此t=-2s,m=s2.所以
f(m)=DE=(2s2-s22)2+(-2s-s)2=32m2+4m(m>0)
训练(7)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)
1.计算:cos10π3= .
2.若复数m+2i1-i(m∈R,i是虚数单位)为纯虚数,则m= .
3.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,a、b之间的夹角为600,则a•(a+b)= .
4.已知等比数列an的各项均为正数,若a1=3,前三项的和为21,则a4+a5+a6= .
5.设P和Q是两个集合,定义集合P-Q=x|x∈P,且xQ,若P=1,2,3,4,
Q=x|x+12<2,x∈R,则P-Q= .
6.已知变量x,y满足y≤xx+y≥2y≥3x-6,则z=2x+y的最大值是 .
7.已知扇形的周长为8cm,则该扇形面积的最大值为 cm2.
8.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点A作斜率为l的直线,与椭圆的另一个交点为M,与y轴的交点为B.若AM=MB,则该椭圆的离心率为 .
9.若方程lg|x|=-|x|+5在区间(k,k+1)(k∈z)上有解,则所有满足条件的k的值的和为 .
10.如图,海岸线上有相距5海里的两座灯塔A、B,灯塔B位于灯塔A的正南方向,海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔A的北偏西75°方向,与A相距32海里的D处;乙船位于灯塔B的北偏西60°方向,与B相距5海里的C处,则两艘船之间的距离为 海里.
11.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱AA1的中点,若截面△BC1D是面积为6的直角三角形,则此三棱柱的体积为 .
12.设p:函数f(x)=2|x-a|在区间(4,+∞)上单调递增;q:loga2<1,如果“┐p”是真命题,“P或q”也是真命题,那么实数a的取值范围是 .
13.如图,在正方形ABCD中,已知AB=2,M为BC的中点,若N为正方形内(含边界)任意一点,则AM•AN的最大值是 .
14.已知函数f(x)=ax-x4,x∈[12,1],A,B是其图象上不同的两点.若直线AB的斜率k总满足12≤k≤4,则实数a的值是 .
二、解答题
15.(本题满分14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD中为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点.
(1)若PA=PD,求证:平面PQB⊥平面PAD;
(2)点M在线段PC上,PM=tPC,试确定实数t的值,使得PA||平面MQB.
16.(本题满分14分)已知函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx.
(1)求函数f(x)在[-π6,π3]上的值域;
(2)在△ABC中,若f(C)=2,2sinB=cos(A-C)-cos(A+C),求tanA的值.
17.(本题满分14分)
已知曲线E:ax2+by2=1(a>0,b>0),经过点M(33,0)的直线l与曲线E交与点A、B,且MB=-2MA.
(1)若点B的坐标为(0,2),求曲线E的方程.
(2)若a=b=1,求直线AB的方程.
18.有一座大桥既是交通拥挤地段,又是事故多发地段,为了保证安全,交通部门规定.大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足:(k为正的常数),假定车身长为4 m,当车速为60(km/h)时,车距为2.66个车身长.
(1)写出车距d关于车速v的函数关系式;
(2)应规定怎样的车速,才能使大桥上每小时通过的车辆最多?
19.(本题满分16分)设a>0,函数f(x)=x2+a|lnx-1|.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(2)当x∈[1,+∞)时,求函数f(x)的最小值.
20.(本题满分16分)在数列an中,已知a1=p>0,且an+1•an=n2+3n+2,n∈N
(1)若数列an为等差数列,求p的值.
(2)求数列an的前n项和Sn
附加题(理科选修)
1.已知圆F1:(x+1)2+y2=16,定点F2(1,0),动圆过点F2,且与圆F1相内切.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)若过原点的直线l与(1)中的曲线C交于A,B两点,且ΔABF1的面积为32,求直线l的方程.
2.如图,在棱长为1的正方体AC1中,E、F分别为A1D1和A1B1的中点.
(1)求异面直线AE和BF所成的角的余弦值;
(2)求平面BDD1与平面BFC1所成的锐二面角的余弦值;
(3)若点P在正方形ABCD内部或其边界上,且EP//平面BFC1,求EP的最大值、最小值.
训练(7)参考答案
一、填空题
1.-12; 2.2; 3.52; 4.168; 5.4;
6.9; 7.4; 8.63; 9.-1; 10.13;
11.83; 12.(4,+∞); 13.6; 14.92.
二、解答题
15.(本题满分14分)
解:(1)连BD,四边形ABCD菱形∵AD=AB,∠BAD=60°
∴△ABD为正三角形Q为AD中点
∴AD⊥BQ
∵PA=PD Q为AD的中点,AD⊥PQ
又BQ∩PQ=Q
∴AD⊥平面PQB,AD平面PAD
∴平面PQB⊥平面PAD
(2)当t=13时,使得PA||平面MQB,连AC交BQ于N,交BD于O,则O为BD的中点,又∵BQ为△ABD边AD上中线,∴N为正三角形ABD的中心,令菱形ABCD的边长为a,则AN=33a,AC=3a.
∵PA||平面MQB PA平面PAC平面PAC∩平面MQB=MN
∴PA||MN
PMPC=ANAC=33a3a=13即:PM=13PC t=13.
16.解:
(1)f(x)=2cos2x+23sinxcosx=1+cos2x+3sin2x=2sin(2x+π6)+1
∵-π6≤x≤π3∴-π6≤2x+π6≤56π,-12≤sin(2x+π6)≤1
∴0≤sin(2x+π6)+1≤3
f(x)在区间[-π6,π3]上的值域为[0,3]
(2)f(c)=2sin(2c+π6)+1=2 sin(2c+π6)=12,
∵o ∴2c+π6=5π6,c=π3
∵2sinB=cos(A-c)-cos(A+C)=2sinAsinC
∴sin(A+C)=sinAsinC
sinAcosC+cosAsinC=sinAsinC
tanA=sinCsinC-cosC=sinπ3sinπ3-cosπ3=3+32
17.(本题满分14分)
解:(1)设A(x0,y0),因为B(0,2),M(33,0),
故MB=(-33,2),MA=x0-33,y0)
因为MB=-2MA,所以(-33,2)=-1(x0-33,y0).
所以x0=32,y0=-1.即A(32,-1).
因为A,B都在曲线E上,所以a•02+b•22=1,a•(32)2+b•(-1)2=1.
解得a=1,b=14.
所以曲线E的方程为x2+y24=1.
当点A的坐标为(32,-12)时,对应的点B的坐标为(0,1),
此时直线AB的斜率k=-3,所求直线AB的方程为y=-3x+1;
当点A的坐标为(32,12)时,对应的点B的坐标为(0,-1),
此时直线AB的斜率k=3,所求直线AB的方程为y=3x-1.
18.(1)因为当v=60时,d=2.66l,所以k=2.66l-12l602l=2.16602=0.0006,
∴d=0.0024v2+26分
(2)设每小时通过的车辆为Q,则Q=1000vd+4.即Q=1000v0.0024v2+6=10000.0024v+6v
∵0.0024v+6v≥20.0024v×6v=0.24,
∴Q≤10000.24=125003,当且仅当0.0024v=6v,即v=50时,Q取最大值125003.
答:当v=50(km/h)时,大桥每小时通过的车辆最多.
19.解(1)当a=1时,f(x)=x2+|lnx-1|
令x=1得f(1)=2,f′(1)=1,所以切点为(1,2),切线的斜率为1,
所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为:x-y+1=0.
(2)①当x≥e时,f(x)=x2+alnx-a,f′(x)=2x+ax(x≥e)
∵a>0,∴f(x)>0恒成立.∴f(x)在[e,+∞)上增函数.
故当x=e时,ymin=f(e)=e2
②当1≤x f′(x)=2x-ax=2x(x+a2)(x-a2)(1≤x (Ⅰ)当a2≤1,即0 (Ⅱ)当1 故当x=a2时,ymin=3a2-a2lna2,且此时f(a2) (Ⅲ)当a2≥e;即a≥2e2时,f′(x)在x∈(1,e)时为负数,所以f(x)在区间[1,e]上为减函数,故当x=e时,ymin=f(e)=e2.
综上所述,当a≥2e2时,f(x)在x≥e时和1≤x≤e时的最小值都是e2.
所以此时f(x)的最小值为f(e)=e2;当2 f(a2)=3a2-a2lna2,而f(a2) 所以此时f(x)的最小值为f(a2)=3a2-a2lna2.
当0 而f(1) 所以函数y=f(x)的最小值为ymin=1+a,02e2
20.解:(1)设数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd,
依题得:[a1+(n-1)d](a1+nd)=n2+3n+2,对n∈N恒成立.
即:d2n2+(2a1d-d2)n+(a21-a1d)=n2+3n+2,对n∈N恒成立.
所以d2=12a1d-d2=3,a21-a1d=2,即:d=1a1=2或d=-1a1=-2
∵a1=p>0,故p的值为2.
(2)∵an+1•an=n2+3n+2=(n+2)(n+3)
∴an+2•an+1=(n+2)(n+3)
所以,an+2an=n+3n+1
①当n为奇数,且n≥3时,a3a1=42,a5a3=64,……,anan-2=n+1n-1.
相乘得ana1=n+12,所以an=n+12p.当n=1也符合.
②当n为偶数,且n≥4时,a4a2=53,a6a4=75……anan-2=n+1n-1
相乘得ana2=n+13,所以an=n+13a2
∵a1•a2=6,所以a2=6p.因此an=2(n+1)p,当n=2时也符合.
所以数列an的通项公式为an=n+12p,n为奇数2(n+1)p,n为偶数.
当n为偶数时,
Sn=p+6p+2p+10p+……+n2p+2(n+1)p=p•n2(1+n2)2+2p•n2(3+n+1)2
=n(n+2)8p+n(n+4)2p
当n为奇数时,n-1为偶数,
Sn=Sn-1+an=(n-1)(n-1+2)8p+(n-1)(n-1+4)2p+n+12p
=(n+1)(n+3)8p+(n-1)(n+3)2p
所以Sn=(n+1)(n+3)8p+(n-1)(n+3)2p,n为奇数n(n+2)8p+n(n+4)2p?n为偶数
附加题(理科选修)参考答案
1.解:(1)设圆M的半径为r.
因为圆M与圆F1,所以MF2=r
所以MF1=4-MF2,即:MF1+MF2=4
所以点M的轨迹C是以F1,F2为焦点的椭圆且设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)其中2a=4,c=1,所以a=2,b=3
所以曲线C的方程x24+y23=1
(2)因为直线l过椭圆的中心,由椭圆的对称性可知,SΔABF1=2SΔaoF1
因为SΔABF1=32,所以SΔAOF1=34.
不妨设点A(x1,y1)在x轴上方,则SΔAOF1=12•OF1•y1=34.
所以y1=32,x1=±3,即:点A的坐标为(3,32)或(-3,32)
所以直线l的斜率为±12,故所求直线方和程为x±2y=0
2.解:(1)A(1,0,0),E(12,0,1),B(1,1,0),F(1,12,1)
AE=(-12,0,1),BF=(0,-12,1)
cos(AE,BF)=15454=45
(2)平面BDD1的一个法向量为MA=(12,-12,0)
设平面BFC1的法向量为n=(x,y,z)
n•BF=-12y+z=0n•BC=(x,y,z)•(-1,0,1)=-x+z=0
∴x=zy=2z
取z=1得平面BFC1的一个法向量n=(1,2,1)
cos<MA,n>=MA•n|MA||n|=12-1226=-36
∴所求的余弦值为36
(3)设P(x,y,0)(0≤x≤1,0≤y≤1)
EP=(x-12,y,-1),由EP•n=0得(x-12)+2y-1=0
即x=-2y+32,∵0≤x≤1,∴0≤-2y+32≤1∴14≤y≤34
∴|EP|=(x-12)2+y2+1
=(2y-1)2+y2+1
=5y2-4y+2=5(y-25)2+65
∵14≤y≤34
∴当y=25时,∴|EP|min=305
当y=34时,∴EPmax=294
1.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点,且∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为 .
2.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的 条件.
3.x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20交于A,B两点,则直线AB的方程是 .
4.与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是 .
5.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为 .
6.点P在平面区域2x-y+2≥0x+y-2≤02y-1≥0上,点O在x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为 .
7.以F1(2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与x+3y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆长轴长为 .
8.C∶x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是 .
9.设椭圆x225+y216=1上一点P到左准线的距离为10,F是该椭圆的左焦点,若点M满足OM=12(OP+DF),则|OM|= .
10.在平面直角坐标系xOy中,已知ΔABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆x225+y29=1上,则sinA+sinCsinB= .
11.设F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,若在其右准线上存在P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是 .
12.设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*).下列四个命题:
A.存在一条定直线与所有的圆均相切
B.存在一条定直线与所有的圆均相交
C.存在一条定直线与所有的圆均不相交
D.所有的圆均不经过原点
其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号).
二、解答题
13.已知圆满足:①截y轴所得的弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1;③圆心到直线L:x-2y=0的距离为55,求圆的方程.
14.已知椭圆的中心为坐标原点,短轴长为2,一条准线方程为l:x=2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设O为坐标原点,F是椭圆的右焦点,点M是直线l上的动点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值.
15.在平面直角坐标系中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.
(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为23,求直线l的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标。
16.(理科选修)在平面直角坐标系xoy中,抛物线C的顶点在原点,经过点A(2,2),其焦点F在x轴上。
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)求过点F,且与直线OA垂直的直线的方程;
(3)设过点M(m,0)(m>0)的直线交抛物线C于D、E两点,ME=2DM,记D和E两点间的距离为f(m),求f(m)关于m的表达式。
训练(6)解析几何参考答案
一、填空题
1.±3 2.充分必要 3.x+3y=0
4.(x-2)2+(y-2)2=2
5.7 6.32 7.215 8.b 9.2 10.54
11.[33,1) 12.B,D
二、解答题
13.解:设圆心坐标为(a,b),半径为r,方程为(x-a)2+(y-b)2=r2
因为圆心到直线L:x-2y=0的距离为55,所以a-2b5=15,即a-2b=1
令x=0得,y2-2by+a2+b2-r2=0,因为截y轴所得的弦长为2
所以,(y1-y2)2=(2b)2-4(a2+b2-r2)=4,即r2-a2=1
令y=0得,x2-2ax+a2+b2-r2=0,因为被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1
所以,(x1-x2)2=(2a)2-4(a2+b2-r2)=2r2,即r2=2b2
所以a-2b=11+a2=2b2,解得a=1b=1,或a=-1b=-1
所以,圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2
14.解:(1)∵椭圆C的短轴长为2,椭圆C的一条准线为l:x=2,
∴不妨设椭圆C的方程为x2a2+y2=1.
∴a2c=1+c2c=2,(4分)即c=1.
∴椭圆C的方程为x22+y2=1.
(2)F(1,0),右准线为l:x=2,设N(x0,y0),
则直线FN的斜率为kFN=y0x0-1,直线ON的斜率为kON=y0x0,
∵FN⊥OM,∴直线OM的斜率为kOM=-x0-1y0,
∴直线OM的方程为:y=-x0-1y0x,点M的坐标为M(2,-2(x0-1)y0).
∴直线MN的斜率为kMN=y0+2(x0-1)y0x0-2.
∵MN⊥ON,∴kMN•kON=-1,
∴y0+2(x0-1)y0x0-2•y0x0=-1,
∴y20+2(x0-1)+x0(x0-2)=2,即x20+y20=2.
∴ON=2为定值.
15.解:(1)设直线l的方程为:y=k(x-4),即kx-y-4k=0
由垂径定理,得:圆心C1到直线l的距离d=42-(232)2=1,
结合点到直线距离公式,得:|-3k-1-4k|k2+1=1,
化简得:24k2+7k=0,k=0,or,k=-724
求直线l的方程为:y=0或y=-724(x-4),即y=0或7x+24y-28=0
(2)设点P坐标为(m,n),直线l1、l2的方程分别为:
y-n=k(x-m),y-n=-1k(x-m),即:kx-y+n-km=0,-1kx-y+n+1km=0
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂径定理,得::圆心C1到直线与直线的距离相等。
故有:|-3k-1+n-km|k2+1=|-4k-5+n+1km|1k2+1,
化简得:(2-m-n)k=m-n-3,或(m-n+8)k=m+n-5
关于k的方程有无穷多解,有:2-m-n=0m-n-3=0,或m-n+8=0m+n-5=0
解之得:点P坐标为(-32,132)或(52,-12)。
16.解:(1)由题意,可设抛物线C的标准方程为y2=2px.因为点A(2,2)在抛物线C上,所以p=1.因此,抛物线C的标准方程为y2=2x.
(2)由(1)可得焦点F的坐标是(12,0),又直线OA的斜率为22=1,故与直线OA垂直的直线的斜率为-1.因此,所求直线的方程是x+y-12=0.
(3)解法一:
设点D和E的坐标分别为(x1,y2)和(x2,y2),直线DE的方程是y=k(x-m),k≠0,将x=yk+m代入y2=2x,有ky2-2y-2km=0,解得y1,2=1+1+2mk2k,由ME=2DM知1+1+2mk2=2(1+2mk2-1),化简得k2=4m,因此
DE2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+1k2)(y1-y2)2
=(1+1k2)4(1+2mk2)k2=94(m2+4m)
所以f(m)=32m2+4m(m>0).
解法二:
设D(s22,s),E(t22,t),由点M(m,0)及ME=2DM得
12t2-m=2(m-s22),t-0=2(0-s).
因此t=-2s,m=s2.所以
f(m)=DE=(2s2-s22)2+(-2s-s)2=32m2+4m(m>0)
训练(7)
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)
1.计算:cos10π3= .
2.若复数m+2i1-i(m∈R,i是虚数单位)为纯虚数,则m= .
3.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,a、b之间的夹角为600,则a•(a+b)= .
4.已知等比数列an的各项均为正数,若a1=3,前三项的和为21,则a4+a5+a6= .
5.设P和Q是两个集合,定义集合P-Q=x|x∈P,且xQ,若P=1,2,3,4,
Q=x|x+12<2,x∈R,则P-Q= .
6.已知变量x,y满足y≤xx+y≥2y≥3x-6,则z=2x+y的最大值是 .
7.已知扇形的周长为8cm,则该扇形面积的最大值为 cm2.
8.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点A作斜率为l的直线,与椭圆的另一个交点为M,与y轴的交点为B.若AM=MB,则该椭圆的离心率为 .
9.若方程lg|x|=-|x|+5在区间(k,k+1)(k∈z)上有解,则所有满足条件的k的值的和为 .
10.如图,海岸线上有相距5海里的两座灯塔A、B,灯塔B位于灯塔A的正南方向,海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔A的北偏西75°方向,与A相距32海里的D处;乙船位于灯塔B的北偏西60°方向,与B相距5海里的C处,则两艘船之间的距离为 海里.
11.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱AA1的中点,若截面△BC1D是面积为6的直角三角形,则此三棱柱的体积为 .
12.设p:函数f(x)=2|x-a|在区间(4,+∞)上单调递增;q:loga2<1,如果“┐p”是真命题,“P或q”也是真命题,那么实数a的取值范围是 .
13.如图,在正方形ABCD中,已知AB=2,M为BC的中点,若N为正方形内(含边界)任意一点,则AM•AN的最大值是 .
14.已知函数f(x)=ax-x4,x∈[12,1],A,B是其图象上不同的两点.若直线AB的斜率k总满足12≤k≤4,则实数a的值是 .
二、解答题
15.(本题满分14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD中为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点.
(1)若PA=PD,求证:平面PQB⊥平面PAD;
(2)点M在线段PC上,PM=tPC,试确定实数t的值,使得PA||平面MQB.
16.(本题满分14分)已知函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx.
(1)求函数f(x)在[-π6,π3]上的值域;
(2)在△ABC中,若f(C)=2,2sinB=cos(A-C)-cos(A+C),求tanA的值.
17.(本题满分14分)
已知曲线E:ax2+by2=1(a>0,b>0),经过点M(33,0)的直线l与曲线E交与点A、B,且MB=-2MA.
(1)若点B的坐标为(0,2),求曲线E的方程.
(2)若a=b=1,求直线AB的方程.
18.有一座大桥既是交通拥挤地段,又是事故多发地段,为了保证安全,交通部门规定.大桥上的车距d(m)与车速v(km/h)和车长l(m)的关系满足:(k为正的常数),假定车身长为4 m,当车速为60(km/h)时,车距为2.66个车身长.
(1)写出车距d关于车速v的函数关系式;
(2)应规定怎样的车速,才能使大桥上每小时通过的车辆最多?
19.(本题满分16分)设a>0,函数f(x)=x2+a|lnx-1|.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(2)当x∈[1,+∞)时,求函数f(x)的最小值.
20.(本题满分16分)在数列an中,已知a1=p>0,且an+1•an=n2+3n+2,n∈N
(1)若数列an为等差数列,求p的值.
(2)求数列an的前n项和Sn
附加题(理科选修)
1.已知圆F1:(x+1)2+y2=16,定点F2(1,0),动圆过点F2,且与圆F1相内切.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)若过原点的直线l与(1)中的曲线C交于A,B两点,且ΔABF1的面积为32,求直线l的方程.
2.如图,在棱长为1的正方体AC1中,E、F分别为A1D1和A1B1的中点.
(1)求异面直线AE和BF所成的角的余弦值;
(2)求平面BDD1与平面BFC1所成的锐二面角的余弦值;
(3)若点P在正方形ABCD内部或其边界上,且EP//平面BFC1,求EP的最大值、最小值.
训练(7)参考答案
一、填空题
1.-12; 2.2; 3.52; 4.168; 5.4;
6.9; 7.4; 8.63; 9.-1; 10.13;
11.83; 12.(4,+∞); 13.6; 14.92.
二、解答题
15.(本题满分14分)
解:(1)连BD,四边形ABCD菱形∵AD=AB,∠BAD=60°
∴△ABD为正三角形Q为AD中点
∴AD⊥BQ
∵PA=PD Q为AD的中点,AD⊥PQ
又BQ∩PQ=Q
∴AD⊥平面PQB,AD平面PAD
∴平面PQB⊥平面PAD
(2)当t=13时,使得PA||平面MQB,连AC交BQ于N,交BD于O,则O为BD的中点,又∵BQ为△ABD边AD上中线,∴N为正三角形ABD的中心,令菱形ABCD的边长为a,则AN=33a,AC=3a.
∵PA||平面MQB PA平面PAC平面PAC∩平面MQB=MN
∴PA||MN
PMPC=ANAC=33a3a=13即:PM=13PC t=13.
16.解:
(1)f(x)=2cos2x+23sinxcosx=1+cos2x+3sin2x=2sin(2x+π6)+1
∵-π6≤x≤π3∴-π6≤2x+π6≤56π,-12≤sin(2x+π6)≤1
∴0≤sin(2x+π6)+1≤3
f(x)在区间[-π6,π3]上的值域为[0,3]
(2)f(c)=2sin(2c+π6)+1=2 sin(2c+π6)=12,
∵o
∵2sinB=cos(A-c)-cos(A+C)=2sinAsinC
∴sin(A+C)=sinAsinC
sinAcosC+cosAsinC=sinAsinC
tanA=sinCsinC-cosC=sinπ3sinπ3-cosπ3=3+32
17.(本题满分14分)
解:(1)设A(x0,y0),因为B(0,2),M(33,0),
故MB=(-33,2),MA=x0-33,y0)
因为MB=-2MA,所以(-33,2)=-1(x0-33,y0).
所以x0=32,y0=-1.即A(32,-1).
因为A,B都在曲线E上,所以a•02+b•22=1,a•(32)2+b•(-1)2=1.
解得a=1,b=14.
所以曲线E的方程为x2+y24=1.
当点A的坐标为(32,-12)时,对应的点B的坐标为(0,1),
此时直线AB的斜率k=-3,所求直线AB的方程为y=-3x+1;
当点A的坐标为(32,12)时,对应的点B的坐标为(0,-1),
此时直线AB的斜率k=3,所求直线AB的方程为y=3x-1.
18.(1)因为当v=60时,d=2.66l,所以k=2.66l-12l602l=2.16602=0.0006,
∴d=0.0024v2+26分
(2)设每小时通过的车辆为Q,则Q=1000vd+4.即Q=1000v0.0024v2+6=10000.0024v+6v
∵0.0024v+6v≥20.0024v×6v=0.24,
∴Q≤10000.24=125003,当且仅当0.0024v=6v,即v=50时,Q取最大值125003.
答:当v=50(km/h)时,大桥每小时通过的车辆最多.
19.解(1)当a=1时,f(x)=x2+|lnx-1|
令x=1得f(1)=2,f′(1)=1,所以切点为(1,2),切线的斜率为1,
所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为:x-y+1=0.
(2)①当x≥e时,f(x)=x2+alnx-a,f′(x)=2x+ax(x≥e)
∵a>0,∴f(x)>0恒成立.∴f(x)在[e,+∞)上增函数.
故当x=e时,ymin=f(e)=e2
②当1≤x
综上所述,当a≥2e2时,f(x)在x≥e时和1≤x≤e时的最小值都是e2.
所以此时f(x)的最小值为f(e)=e2;当2
当0
20.解:(1)设数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd,
依题得:[a1+(n-1)d](a1+nd)=n2+3n+2,对n∈N恒成立.
即:d2n2+(2a1d-d2)n+(a21-a1d)=n2+3n+2,对n∈N恒成立.
所以d2=12a1d-d2=3,a21-a1d=2,即:d=1a1=2或d=-1a1=-2
∵a1=p>0,故p的值为2.
(2)∵an+1•an=n2+3n+2=(n+2)(n+3)
∴an+2•an+1=(n+2)(n+3)
所以,an+2an=n+3n+1
①当n为奇数,且n≥3时,a3a1=42,a5a3=64,……,anan-2=n+1n-1.
相乘得ana1=n+12,所以an=n+12p.当n=1也符合.
②当n为偶数,且n≥4时,a4a2=53,a6a4=75……anan-2=n+1n-1
相乘得ana2=n+13,所以an=n+13a2
∵a1•a2=6,所以a2=6p.因此an=2(n+1)p,当n=2时也符合.
所以数列an的通项公式为an=n+12p,n为奇数2(n+1)p,n为偶数.
当n为偶数时,
Sn=p+6p+2p+10p+……+n2p+2(n+1)p=p•n2(1+n2)2+2p•n2(3+n+1)2
=n(n+2)8p+n(n+4)2p
当n为奇数时,n-1为偶数,
Sn=Sn-1+an=(n-1)(n-1+2)8p+(n-1)(n-1+4)2p+n+12p
=(n+1)(n+3)8p+(n-1)(n+3)2p
所以Sn=(n+1)(n+3)8p+(n-1)(n+3)2p,n为奇数n(n+2)8p+n(n+4)2p?n为偶数
附加题(理科选修)参考答案
1.解:(1)设圆M的半径为r.
因为圆M与圆F1,所以MF2=r
所以MF1=4-MF2,即:MF1+MF2=4
所以点M的轨迹C是以F1,F2为焦点的椭圆且设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)其中2a=4,c=1,所以a=2,b=3
所以曲线C的方程x24+y23=1
(2)因为直线l过椭圆的中心,由椭圆的对称性可知,SΔABF1=2SΔaoF1
因为SΔABF1=32,所以SΔAOF1=34.
不妨设点A(x1,y1)在x轴上方,则SΔAOF1=12•OF1•y1=34.
所以y1=32,x1=±3,即:点A的坐标为(3,32)或(-3,32)
所以直线l的斜率为±12,故所求直线方和程为x±2y=0
2.解:(1)A(1,0,0),E(12,0,1),B(1,1,0),F(1,12,1)
AE=(-12,0,1),BF=(0,-12,1)
cos(AE,BF)=15454=45
(2)平面BDD1的一个法向量为MA=(12,-12,0)
设平面BFC1的法向量为n=(x,y,z)
n•BF=-12y+z=0n•BC=(x,y,z)•(-1,0,1)=-x+z=0
∴x=zy=2z
取z=1得平面BFC1的一个法向量n=(1,2,1)
cos<MA,n>=MA•n|MA||n|=12-1226=-36
∴所求的余弦值为36
(3)设P(x,y,0)(0≤x≤1,0≤y≤1)
EP=(x-12,y,-1),由EP•n=0得(x-12)+2y-1=0
即x=-2y+32,∵0≤x≤1,∴0≤-2y+32≤1∴14≤y≤34
∴|EP|=(x-12)2+y2+1
=(2y-1)2+y2+1
=5y2-4y+2=5(y-25)2+65
∵14≤y≤34
∴当y=25时,∴|EP|min=305
当y=34时,∴EPmax=294