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【教学目标】
1、理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、特点,并能初步应用公式解决与之有关的问题。
2、通过对公式推导方法的探索与发现,渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力。
3、通过对公式推导方法的探索与发现,优化学生的思维品质,渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
【教学重点、难点】
重点:等比数列的前n项和公式的推导及运用。
难点:公式的推导方法及运用公式时对公比的分类讨论。
【教学类型】
新授课
【教学用具】
多媒体、幻灯片
【教材分析】
《等比数列的前n项和》这一节内容是在学生学习了等差数列、等比数列的概念及通项公式、等差数列的前n项和公式的基础上进行的。它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论和方程等思想方法,都是学生学习和工作中必备的数学素养。学生很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等进行类比,这是认知的有利因素。认知的不利因素有:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维定势是一个突破,另外,对于q=1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。
【教学方法】
本节是对公式的教学,要使学生掌握与理解公式的来龙去脉,掌握公式的推导方法,理解公式的成立条件,充分体现公式之间的联系。在教学中,采用“问题――探究”的教学模式,把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段,并利用多媒体辅助教学,直观反映教学内容,使学生思维活动得以充分展开,从而优化教学过程,提高教学效率。
【教学过程】
1.创设情境,提出问题(幻灯片)
引入:古印度国际象棋发明者受赏的故事
提问:同学们,你们知道发明者西萨要的是多少小麦吗?国王能满足他的要求吗?引导学生写出麦粒总数为:1+2+22+23+…+263。这是什么数列求和?是等差数列求和吗?(板书)等比数列的前n项和。
2.师生互动,探究问题(幻灯片)
探讨:发明者要的麦粒总数为:S64=1+2+22+23+…+263①上式有何特点?不难发现,右式中有64项,后项与前项的比为公比2。如果①式两边同乘以2得,2S64=2+22+23+…+263+264②
比较①、②两式,中间有63项是对应相等的,作差可以相互抵消。所以两式相减,得S64=264-1
反思:纵观全过程,①式两边为什么要乘以2?
3.从特殊到一般,形成公式(板书)
已知等比数列{an}的公比为q,等比数列的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an,根据等比数列的通项公式,上式可写成:Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1 ①
用公比q去乘①的两边,可得:
qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn ②
用①式的两边分别减去②式的两边,得(1-q)Sn=a1-a1qn
探讨:⑴能在两边同时除以1-q吗?结论:当q≠1时,
S =①
当q=1时,Sn=na1。
⑵结合等比数列的通项公式an=a1qn-1 ,如何把①式用a 表示出来?(引导学生得出公式的另一形式)结论:当q≠1时,
Sn= ②
当q=1时,Sn=na1 。
强调:⑴公式的推导方法用的是“错位相减法”。⑵应用等比数列前n项和公式时,首先要注意公比q的取值范围。
4.回归故事,首尾呼应(幻灯片)
例题:求等比数列1,2,22,23,…前64项的和。
分析:由已知等比数列确定首项a1=1,公比q=2,项n=64,直接代入公式①
解:S64=
=264-1≈1.84×1019
结束开头引入的故事,若把1.84×1019粒小麦依次排列,它的长度就相当于地球到太阳距离的2万倍;若按万粒400克计算,可达7000亿吨,而我国小麦现年产量在1亿吨左右,多么庞大的量呀!
5.课堂练习
课本第305页A组1、2。
6.课堂小结(幻灯5)
⑴学习了等比数列的前n项和公式,应用时注意公比q的取值范围。
当q≠1时,Sn= 或 S =
当q=1时,S =na1。
⑵学习了推导数列求和公式的一种常用方法:错位相减法。
⑶进一步了解数学思想方法及其作用,通过类比联想,打通解题思路,分类讨论等思想,更直接地提高了分析、解决问题的能力。
7.布置作业
⑴书面作业:课本第305页B组1、2、3。
⑵弹性作业:求1+a1+a2+a3+…an。
【板书设计】
等比数列的前n项和
(作者单位:239400安徽省明光市职业高级中学)
1、理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、特点,并能初步应用公式解决与之有关的问题。
2、通过对公式推导方法的探索与发现,渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力。
3、通过对公式推导方法的探索与发现,优化学生的思维品质,渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
【教学重点、难点】
重点:等比数列的前n项和公式的推导及运用。
难点:公式的推导方法及运用公式时对公比的分类讨论。
【教学类型】
新授课
【教学用具】
多媒体、幻灯片
【教材分析】
《等比数列的前n项和》这一节内容是在学生学习了等差数列、等比数列的概念及通项公式、等差数列的前n项和公式的基础上进行的。它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论和方程等思想方法,都是学生学习和工作中必备的数学素养。学生很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等进行类比,这是认知的有利因素。认知的不利因素有:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维定势是一个突破,另外,对于q=1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。
【教学方法】
本节是对公式的教学,要使学生掌握与理解公式的来龙去脉,掌握公式的推导方法,理解公式的成立条件,充分体现公式之间的联系。在教学中,采用“问题――探究”的教学模式,把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段,并利用多媒体辅助教学,直观反映教学内容,使学生思维活动得以充分展开,从而优化教学过程,提高教学效率。
【教学过程】
1.创设情境,提出问题(幻灯片)
引入:古印度国际象棋发明者受赏的故事
提问:同学们,你们知道发明者西萨要的是多少小麦吗?国王能满足他的要求吗?引导学生写出麦粒总数为:1+2+22+23+…+263。这是什么数列求和?是等差数列求和吗?(板书)等比数列的前n项和。
2.师生互动,探究问题(幻灯片)
探讨:发明者要的麦粒总数为:S64=1+2+22+23+…+263①上式有何特点?不难发现,右式中有64项,后项与前项的比为公比2。如果①式两边同乘以2得,2S64=2+22+23+…+263+264②
比较①、②两式,中间有63项是对应相等的,作差可以相互抵消。所以两式相减,得S64=264-1
反思:纵观全过程,①式两边为什么要乘以2?
3.从特殊到一般,形成公式(板书)
已知等比数列{an}的公比为q,等比数列的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an,根据等比数列的通项公式,上式可写成:Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1 ①
用公比q去乘①的两边,可得:
qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn ②
用①式的两边分别减去②式的两边,得(1-q)Sn=a1-a1qn
探讨:⑴能在两边同时除以1-q吗?结论:当q≠1时,
S =①
当q=1时,Sn=na1。
⑵结合等比数列的通项公式an=a1qn-1 ,如何把①式用a 表示出来?(引导学生得出公式的另一形式)结论:当q≠1时,
Sn= ②
当q=1时,Sn=na1 。
强调:⑴公式的推导方法用的是“错位相减法”。⑵应用等比数列前n项和公式时,首先要注意公比q的取值范围。
4.回归故事,首尾呼应(幻灯片)
例题:求等比数列1,2,22,23,…前64项的和。
分析:由已知等比数列确定首项a1=1,公比q=2,项n=64,直接代入公式①
解:S64=
=264-1≈1.84×1019
结束开头引入的故事,若把1.84×1019粒小麦依次排列,它的长度就相当于地球到太阳距离的2万倍;若按万粒400克计算,可达7000亿吨,而我国小麦现年产量在1亿吨左右,多么庞大的量呀!
5.课堂练习
课本第305页A组1、2。
6.课堂小结(幻灯5)
⑴学习了等比数列的前n项和公式,应用时注意公比q的取值范围。
当q≠1时,Sn= 或 S =
当q=1时,S =na1。
⑵学习了推导数列求和公式的一种常用方法:错位相减法。
⑶进一步了解数学思想方法及其作用,通过类比联想,打通解题思路,分类讨论等思想,更直接地提高了分析、解决问题的能力。
7.布置作业
⑴书面作业:课本第305页B组1、2、3。
⑵弹性作业:求1+a1+a2+a3+…an。
【板书设计】
等比数列的前n项和
(作者单位:239400安徽省明光市职业高级中学)