谈解答数学习题的作用

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  摘要:本文谈论解答数学习题的作用:巩固及加深对数学概念、定义和性质等基本知识的理解;培养和提高分析问题的能力,快速挖掘出题目中的隐含条件;为用联想法解题积累信息基础,避免想当然;利于逐步形成考虑问题的周密性;便于获得最佳处理问题的方案。
  关键词:解答、数学习题、学生、例如
  学生要想数学成绩好,必须要牢固掌握数学知识和解题方法、技能,解答数学习题是牢固掌握数学知识和解题方法、技能最重要的途径,只有通过解题,记忆才牢固,才能轻松解题,解题时游刃有余。学生具备强的解题能力,做习题会事半功倍,觉得学习很轻松愉快。
  解答数学习题,是我们学好数学的重要途径,这不仅是由于数学这门学科的特点所决定的,还因为:
  一、解答数学习题,可以巩固和加深数学概念、定义和性质等知识
  学生对所有数学知识及解题方法归类记忆,没有相互混淆,再解答习题,数学成绩肯定优异。但很多学生对数学知识记忆不牢,模棱两可,解题时像狗咬乌龟,无从下口,错漏百出。例如:选择符号“ ”、“ ”、“ ”、“ ” 填空,使下列式子成立: _ 。不少同学只知道填上符号“ ”是对的,而不知道为什么选择符号“ ”也是正确的。这就暴露了他们对书本中定义:“空集是任何非空集合的真子集”没有真正掌握。
  又如,有的同学运用公式 进行推证,最后得出1=-1的结论。理由如下:∵ , ∴
  而 ,∴1=-1。這显然是一个错误的结论。但错在哪里呢?(通过解答习题,我们可以发现自己还没有理解和掌握的东西。无疑,这样又促使大家认真的思考,有利于对定义、公式的深入理解。)原来式子 成立是有条件的,即其中m和n都是自然数(注意,当 >0时,这个条件可以去掉)。
  再例如,“我班至少有20名女生是团员”的否命题为?正确的答案是:我班至多有19名女生不是团员。这个是“结论的否定形式混淆”型的题目。
  通过解答习题,同时也得到反馈信息告诫我们学习数学的方法。在看书时,不仅仅要记住公式和结论,还要弄清楚其成立的条件,这是尤其重要的。有些综合题,涉及的知识面较广,但解决问题的关键往往也还是在于对概念、定义和性质的掌握程度。解答习题和掌握概念、定义和性质是相辅相成的,缺一不可。
  二、解答数学习题,可以培养和提高分析问题能力,提高挖掘习题隐含条件的速度
  做数学习题,首先要选最佳的解题方法,数学中常用的解题方法有综合法、分析法、综合分析法、反证法。通过认真、细心的审题,根据所学的知识及解题方法选取解决每个题目的最佳方法。有时,直接难以作答,可以考虑发证法;有时,就问题本身难以解决,要用类比思想进行转化等等。正难则反思想是高中常用的解题思想。有些题目正面难以下手,就从反面入手。有的同学自然会想,对于某个问题,我们如何去确定哪一种解法呢?所谓熟能生巧,习题做多了,挖掘隐含条件的速度会倍加,能够触类旁通。要不然,我们不仅对一般的习题无法做答,对那些题目不明显给出条件而具有隐含条件的就更困难了。
  例:解方程7t-t2=12时可以将问题拓展:高度h(m)与时间t(s)函数关系:h=7t-t2,问:(1)运动多少时间后,小球离地面10m;(2)运动多少时间后,小球落到地面;(3)小球能上抛到12m吗?(4)小球能上抛到16m吗?(5)小球最高能上抛到多少m,请说明理由.
  说明一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式三者是相互联系的。教师把教材的习题拓展,可以培养和提高分析问题能力,提高了学生的综合解题能力和素质.
  再如,选择题:参数方程
  (A)余弦线(B)正弦线(C)抛物线(D)以上说法都不对
  分析:如果我们由 消去参数t得到方程y2=1-x,便选择(C)抛物线,那就错了。因为 、y=sint,而cos2t、sint是有范围的即0≤cos2t≤1,-1≤sint≤1.这就说明题目中x、y的范围已隐含地确定了。因此,正确的答案是(D)。
  三、解答数学习题,为用联想法解题积累信息基础,避免想当然
  解答数学习题是要思索命题的条件与结论之间的逻辑联系。整个解题的思维推理过程,实质上就是一系列的广泛联想过程。当然,联想要有信息基础,即要求我们必须有牢固的基础知识和基本技能,还要求记住已解答过的某些命题。
  例如,设a、b、c是三个非负实数,求证: 这道题,若从不等式公式入手证明,或者采用分析法去推证,都会使问题变得较为复杂。如果从结构上能联想到 、 、 可分别看作复数z1=a+bi,z2=b+ci,z3=c+ai 的模。再利用不等式性质:︱z1︱+︱z2︱+︱z3︱≥︱z1 + z2 + z3︱
  即有 + +
  ≥︱(a+b+c)+(a+b+c)i︱
  ≥ )
  再例如如图:在⊿ABC中,∠C=900,AC=3,BC=4,一条直线分⊿ABC的面积为相等的两部分,且夹在AB与BC之间的线段最短,求此线段长。
  分析:解答本题的关键在于恰当地用变量表示所求的线段EF,由题设中的等量关系,即
  因此,适当设出变量.
  解:设BE=x,BF=y,(0  则 = BE·BfsinB= xysinB
  又 = BC·AC= ×3×4=6
  即 xysinB= ×6=3,
  依题意可知: ,
  四、解答数学习题,利于逐步形成考虑问题的周密严谨性
  数学是一门抽象的学科,而严谨的过程是数学抽象的关键。所以要求我们考虑问题必须周密全面。否则,解答习题时错漏百出,能考出好数学成绩是不能的。
  一道智力题:用一个平面去截一个正方体,截面可能是几边形?(写出所有可能的情况)
  有人答,三边形;也有人说四边形。其实这两种回答都不全面。因为题中并没有规定截的具体方案,所以应该有4种情况,即可以三边形、四边形、五边形、六边形。
  在许多数学问题中,也有类似的问题。
  例如,求和
  若直接用等比求和公式得 ,那也不全面。这是因为:
  10 当x=0时,{xn-1}显然不成等比数列。
  20 当x=1时,{xn-1}是公比为1等比数列,不能用上面的求和公式。
  正确的解答为:(1)当x=0时,sn=1+0+···+0=1
  (2)当x=1时,sn=1+1+···+1=n
  (3)当x≠0、1时,
  可见,良好的思维习惯的养成,不能一蹴而就,要持之以恒地进行潜移默化的训练。特别要结合典型习题有针对的训练,使学生思考问题逐步臻于全面、缜密。
  五、解答数学习题,便于获得最佳处理问题的方案
  通过解答习题的训练,我们可以充分地意识和体会到审题对解题难易的重要影响。因为这样,有助于我们对题目已知特点的重视,由此能获得独到的解法。
  例:六人排成一排,甲在乙前面共有多少种不同的排法?
  有同学是分情况讨论的,如果甲站在首位,有 ······
  其实,只要我们能注意到:在没有规定条件“甲必在乙前面”时,显然“甲在乙前”与“乙在甲前”的机会相同,所以各有
  综上,学生牢固掌握了基础知识及解题方法后进行针对、强化、发展性习题的解答训练,能使知识结构智能化,所学知识更加优化、记忆更加深刻。解答数学习题,促进学生思维能力的发展,养成良好的思维品质和心理品质.
  参考文献
  [1] 张程编.《高中数学学习途径与解题方法》
  [2] 蒋会乾.《5年高考3年模拟》
  [3]《新课标教案》数学必修1.
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