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数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“造形助数”或“以数解形”“数”和“形”结合即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.那么，作为最基本的数学思想之一的数形结合思想在新课程中又是怎样体现的呢？
一、函数的图象与性质的综合应用
分析函数的图象与性质时，要学会从“数”分析到“形”，由“数”的特征想到“形”的特征，以及由“形”的特征想到“数”的特征，从而实现数形结合．
例1. 如图，函数y＝kx与y＝－kx＋1(k≠0)在同一坐标系内的图象大致为()
[解析] 本题考查反比例函数图象与性质的应用，因为一次函数y＝－kx＋1与y轴的交点为(0,1)，所以选项B和C都可以排除．A中直线y＝－kx＋1经过第一、二、四象限，－k＜0，则k＞0，而k＞0时，双曲线y＝kx两分支各在第一、三象限，所以A可以排除．故选D.
例2．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和点(1，0)，且与y轴交于负半轴，给出下面四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；
③a＋c＝1；④b2－4ac＞0.其中正确结论的序号是________．(请将正确结论的序号都填上)
[解析] ①图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，能得到a＞0，c＜0，－b2a＞0，b＜0，∴abc＞0，错误；②∵对称轴在1的左边，∴－b2a＜1.又a＞0，∴2a＋b＞0，正确；③图象经过点(－1，2)和点(1，0)，可得a－b＋c＝2，a＋b＋c＝0，消去b项可得a＋c＝1，正确；④图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2－4ac＞0，正确．
二、函数与几何
在几何图形中，某些元素的运动变化，导致相应的线段、面积等几何量的大小随之改变，在这个数量变化过程中，找出两个变量作为刻画对象，并最终用有关二次函数的知识把问题加以解决，就形成了我们研究的“几何图形中的函数问题”．
例3、(1)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC上的任意一点(P与B、C不重合)，过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.
①连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；
②若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数解析式．
当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
(1)解：①∵△APE≌△ADE，
∴AP＝AD＝3.
在Rt△ABP中，
BP＝AP2－AB2＝32－22＝5.
②∵AP⊥PE，
∴Rt△ABP∽Rt△PCE，
∴ABPC＝BPCE，即23－x＝xy.
∴y＝－12x2＋32x＝－12（x－32）2＋98，
∴x＝32时，y有最大值，最大值是98.
总之，“数”体现了图像上点的运动规律，“形”直观地反映了“数”的特征。 “数形结合”就是把抽象的数学语言与直观的图形相结合，通过“以形助数”或“以数解形”，使抽象问题具体化，复杂问题简单化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合的重点是研究“以形助数”。
我国著名的数学家华罗庚曾写下这样一首诗,形象生动的阐述了数形结合的意义.“数形本是相倚依,焉能分作两边飞.数缺形时少直觉,形缺数时难入微.数形结合百般好,隔裂分家万事非.”数缺形时少直觉,形缺数时难入微.细细咀嚼这句话，真如醍醐灌顶的感觉， 掌握这个思想及解决方法对于我们解决最值问题、函数问题、统计问题、概率问题等等都會带来事半功倍的效果.
一、函数的图象与性质的综合应用
分析函数的图象与性质时，要学会从“数”分析到“形”，由“数”的特征想到“形”的特征，以及由“形”的特征想到“数”的特征，从而实现数形结合．
例1. 如图，函数y＝kx与y＝－kx＋1(k≠0)在同一坐标系内的图象大致为()
[解析] 本题考查反比例函数图象与性质的应用，因为一次函数y＝－kx＋1与y轴的交点为(0,1)，所以选项B和C都可以排除．A中直线y＝－kx＋1经过第一、二、四象限，－k＜0，则k＞0，而k＞0时，双曲线y＝kx两分支各在第一、三象限，所以A可以排除．故选D.
例2．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和点(1，0)，且与y轴交于负半轴，给出下面四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；
③a＋c＝1；④b2－4ac＞0.其中正确结论的序号是________．(请将正确结论的序号都填上)
[解析] ①图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，能得到a＞0，c＜0，－b2a＞0，b＜0，∴abc＞0，错误；②∵对称轴在1的左边，∴－b2a＜1.又a＞0，∴2a＋b＞0，正确；③图象经过点(－1，2)和点(1，0)，可得a－b＋c＝2，a＋b＋c＝0，消去b项可得a＋c＝1，正确；④图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2－4ac＞0，正确．
二、函数与几何
在几何图形中，某些元素的运动变化，导致相应的线段、面积等几何量的大小随之改变，在这个数量变化过程中，找出两个变量作为刻画对象，并最终用有关二次函数的知识把问题加以解决，就形成了我们研究的“几何图形中的函数问题”．
例3、(1)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC上的任意一点(P与B、C不重合)，过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E.
①连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；
②若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数解析式．
当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
(1)解：①∵△APE≌△ADE，
∴AP＝AD＝3.
在Rt△ABP中，
BP＝AP2－AB2＝32－22＝5.
②∵AP⊥PE，
∴Rt△ABP∽Rt△PCE，
∴ABPC＝BPCE，即23－x＝xy.
∴y＝－12x2＋32x＝－12（x－32）2＋98，
∴x＝32时，y有最大值，最大值是98.
总之，“数”体现了图像上点的运动规律，“形”直观地反映了“数”的特征。 “数形结合”就是把抽象的数学语言与直观的图形相结合，通过“以形助数”或“以数解形”，使抽象问题具体化，复杂问题简单化，从而起到优化解题途径的目的。数形结合的重点是研究“以形助数”。
我国著名的数学家华罗庚曾写下这样一首诗,形象生动的阐述了数形结合的意义.“数形本是相倚依,焉能分作两边飞.数缺形时少直觉,形缺数时难入微.数形结合百般好,隔裂分家万事非.”数缺形时少直觉,形缺数时难入微.细细咀嚼这句话，真如醍醐灌顶的感觉， 掌握这个思想及解决方法对于我们解决最值问题、函数问题、统计问题、概率问题等等都會带来事半功倍的效果.