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《普通高中数学课程标准（实验）》要求学生通过数学学习体会数学与自然及人类社会的联系，进而了解数学的价值，增进对数学的理解和应用数学的信心，并初步学会采用数学思维方式对现实社会进行观察与理解，认识数学知识与实际的联系，能够解决日常生活中和其他学科学习中的问题.同时获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学知识、数学思想方法和应用技能，发展勇于探索、勇于创新的科学精神.但在实际生活中学生普遍表现出采用数学知识解决实际问题比较困难，为了克服这一难点，需要培养高中生掌握在实际问题中构建数学模型，通过自身从实际问题到数学模型全过程的经历，来有效地掌握数学理论与实际应用程序，进而从根本上提高学生的数学应用能力.
一、相关关系与回归分析知识点
1.相关关系与回归分析的概念
相关关系是指自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系.由于相关关系是一种不确定性关系，生活中有许多情况都涉及相关关系，如产品的成本与生产数量，商品的销售额与广告费等.
回归分析是对两个变量间相关关系进行处理的一种统计方法.当两个变量之间的关系属于线性相关关系时，就称这样的回归分析为线性回归分析.通过借助回归分析思想，选择合适的模型来对变量间的相关性关系进行拟合，对数据进行收集整理分析，可用于解决相应的实际问题.
2.回归分析原理
（1）线性回归.
线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定.统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y称为预报变量.因变量与自变量之间的线性相关关系的强弱用相关系数r来衡量.当r=1时，x与y为完全线性相关，它们之间存在确定的函数关系；当0r0.05时，表明回归直线有意义.
r=∑ni=1xi-xyi-y∑ni=1xi-x2∑ni=1yi-y2
在散点图中，所有点应该落在同一条直线上，但是观测到的数据却往往落在直线附近.这表明预报变量值受解析变量和随机误差的影响.数据点和它在回归直线上相应位置的差异随机误差的效应，称为ei=yi-yi（残差）.解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）=解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）.我们可以用相关指数R2来进行回归效果的描述.在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率，在数值上R2=r2.进行回归分析时，首先要画出散点图以确定两个变量之间具有的相关关系，然后利用最小二乘法对回归系数进行求解，进而获得线性回归方程，最后结合方程进行回归分析.
（2）非线性回归.
当因变量与自变量之间并非为线性相关关系，则不能直接用线性回归方程建立因变量与变量之间的关系，则可通过变换方法将其转换为线性回归模型，如指数函数y=aebx，令z=lny；对数函数：y=a+blnx，两边取自然对数得：lny=lna+bx；再设y′=lny，x′=x，则原方程变成y′=lna+bx′，再根据一次线性回归模型的方法得出lna和b处理方法：设y′=y，x′=lnx则原方程变成y′=a+bx′，再根据一次线性回归模型的方法得出a和b.
二、房价问题的提出与基本假设
1.房价问题
近年来，我国房价呈现出持续高涨的情势，而房价的高低也影响着诸多方面的利益，如因房价上涨导致居民生活成本的增加，居民买房难的问题越发凸显，同时房价上涨也对居民的生活质量造成了影响，进而增加了社会的不稳定性.为此，对房价进行预测，一方面能够为消费决策与投资决策提供参考依据，另一方面也能够为相关部门针对房价提出相应的管理与调控对策.
2.基本假设
（1）假设：讨论房价受各个相关因素影响前，各自变量之间的相关系数为0.
（2）假设：排除消费者心理因素的影响.
（3）假设：排除炒房行为等非正常需求而导致的房价上涨因素.
（4）假设：排除因房地产市场秩序不规范而造成的房价变化情况.
三、各个因素影响房价的单独分析
1.房价受供需差的影响分析
以某地2001年～2013年的房价与供需差数据为例，进行房价与供需差之间相关关系分析.具体房价与供需差数据散点图见图1.
图1房价与供需差散点图图2转换后z与x的散点图
根据散点图分布（图1），以及我们已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=aebx的周围（其中a，b是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量.上式两边取对数，得lny=bx+lna，再令z=lny，则z=bx+lna.获得z与x之间的关系为：
x5800701065007885805579558123825385848354800082008285z7.637.637.667.687.727.667.917.967.998.198.208.238.34
观察z与x的散点图（图2），发现变换后的样本点并不在一条直线附近，因此无法用线性回归方程进行拟合，这表明房价与供需差之间无线性相关关系，房价并不会因供需差的上升而线性增长.
2.房价受人均GDP的影响分析
以某地2007年～2014年房价与人均GDP数据为例，分析房价是否受人均GDP的影响.
图3房价与人均GDP散点图图4转换后z与x的散点图
根据散点图分布（图3），以及我们已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条对数函数曲线y=a+blnx周围，
两边求对数，得lny=lna+bx，令z=lny，则z与x之间的
关系为：
x86229398105421233614063161651952423648z6.957.027.207.357.447.437.477.52
观察z与x的散点图（图4），发现变换后的样本点落在一条直线附近，因此可采用线性回归方程进行拟合，计算获得的回归方程为z=4E-05x+6.7934，
R2=0.7325；n-2=6，查表得临界值r>r0.05=0.707，表示该线性回归方程具有意义.经转换，非线性回归方程为y=-6056.6+795.37lnx.
3.房价受地价影响分析
以某地2006年～2012年前三季度的房价与地价为例，分析房价是否受地价的影响.
图5房价与地价散点图及一元线性回归曲线
根据散点图分布（图5），可以发现样本点分布在某一条直线上，采用一次多项式y=a+bx作为数学模型的回归方程，利用最小二乘法对回归系数进行求解，进而获得线性回归方程为y=0.5525x+46.369，R2=0.8297；n-2=19，查表得临界值r0.05=0.433，r0.01=0.549，结果表示该线性回归方程具有意义，拟合度较高，即表示房价因地价的上涨呈线性增长.
通过上述各影响因素的分析可以发现，地价是影响房价的一个最主要的因素，拟合度最高.
因此，利用数学模型来解答实际问题，通常要做好三个方面的工作，（1）根据实际问题的特点来进行核实数学模型的构建；（2）根据获得的模型进行数学演算；（3）结合实际问题对其进行深层次的讨论、评价及解释，并最终回到实际问题中做出最终的判断.
作者单位：湖北省武昌实验中学
一、相关关系与回归分析知识点
1.相关关系与回归分析的概念
相关关系是指自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系.由于相关关系是一种不确定性关系，生活中有许多情况都涉及相关关系，如产品的成本与生产数量，商品的销售额与广告费等.
回归分析是对两个变量间相关关系进行处理的一种统计方法.当两个变量之间的关系属于线性相关关系时，就称这样的回归分析为线性回归分析.通过借助回归分析思想，选择合适的模型来对变量间的相关性关系进行拟合，对数据进行收集整理分析，可用于解决相应的实际问题.
2.回归分析原理
（1）线性回归.
线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定.统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y称为预报变量.因变量与自变量之间的线性相关关系的强弱用相关系数r来衡量.当r=1时，x与y为完全线性相关，它们之间存在确定的函数关系；当0
r=∑ni=1xi-xyi-y∑ni=1xi-x2∑ni=1yi-y2
在散点图中，所有点应该落在同一条直线上，但是观测到的数据却往往落在直线附近.这表明预报变量值受解析变量和随机误差的影响.数据点和它在回归直线上相应位置的差异随机误差的效应，称为ei=yi-yi（残差）.解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）=解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）.我们可以用相关指数R2来进行回归效果的描述.在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率，在数值上R2=r2.进行回归分析时，首先要画出散点图以确定两个变量之间具有的相关关系，然后利用最小二乘法对回归系数进行求解，进而获得线性回归方程，最后结合方程进行回归分析.
（2）非线性回归.
当因变量与自变量之间并非为线性相关关系，则不能直接用线性回归方程建立因变量与变量之间的关系，则可通过变换方法将其转换为线性回归模型，如指数函数y=aebx，令z=lny；对数函数：y=a+blnx，两边取自然对数得：lny=lna+bx；再设y′=lny，x′=x，则原方程变成y′=lna+bx′，再根据一次线性回归模型的方法得出lna和b处理方法：设y′=y，x′=lnx则原方程变成y′=a+bx′，再根据一次线性回归模型的方法得出a和b.
二、房价问题的提出与基本假设
1.房价问题
近年来，我国房价呈现出持续高涨的情势，而房价的高低也影响着诸多方面的利益，如因房价上涨导致居民生活成本的增加，居民买房难的问题越发凸显，同时房价上涨也对居民的生活质量造成了影响，进而增加了社会的不稳定性.为此，对房价进行预测，一方面能够为消费决策与投资决策提供参考依据，另一方面也能够为相关部门针对房价提出相应的管理与调控对策.
2.基本假设
（1）假设：讨论房价受各个相关因素影响前，各自变量之间的相关系数为0.
（2）假设：排除消费者心理因素的影响.
（3）假设：排除炒房行为等非正常需求而导致的房价上涨因素.
（4）假设：排除因房地产市场秩序不规范而造成的房价变化情况.
三、各个因素影响房价的单独分析
1.房价受供需差的影响分析
以某地2001年～2013年的房价与供需差数据为例，进行房价与供需差之间相关关系分析.具体房价与供需差数据散点图见图1.
图1房价与供需差散点图图2转换后z与x的散点图
根据散点图分布（图1），以及我们已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=aebx的周围（其中a，b是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量.上式两边取对数，得lny=bx+lna，再令z=lny，则z=bx+lna.获得z与x之间的关系为：
x5800701065007885805579558123825385848354800082008285z7.637.637.667.687.727.667.917.967.998.198.208.238.34
观察z与x的散点图（图2），发现变换后的样本点并不在一条直线附近，因此无法用线性回归方程进行拟合，这表明房价与供需差之间无线性相关关系，房价并不会因供需差的上升而线性增长.
2.房价受人均GDP的影响分析
以某地2007年～2014年房价与人均GDP数据为例，分析房价是否受人均GDP的影响.
图3房价与人均GDP散点图图4转换后z与x的散点图
根据散点图分布（图3），以及我们已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条对数函数曲线y=a+blnx周围，
两边求对数，得lny=lna+bx，令z=lny，则z与x之间的
关系为：
x86229398105421233614063161651952423648z6.957.027.207.357.447.437.477.52
观察z与x的散点图（图4），发现变换后的样本点落在一条直线附近，因此可采用线性回归方程进行拟合，计算获得的回归方程为z=4E-05x+6.7934，
R2=0.7325；n-2=6，查表得临界值r>r0.05=0.707，表示该线性回归方程具有意义.经转换，非线性回归方程为y=-6056.6+795.37lnx.
3.房价受地价影响分析
以某地2006年～2012年前三季度的房价与地价为例，分析房价是否受地价的影响.
图5房价与地价散点图及一元线性回归曲线
根据散点图分布（图5），可以发现样本点分布在某一条直线上，采用一次多项式y=a+bx作为数学模型的回归方程，利用最小二乘法对回归系数进行求解，进而获得线性回归方程为y=0.5525x+46.369，R2=0.8297；n-2=19，查表得临界值r0.05=0.433，r0.01=0.549，结果表示该线性回归方程具有意义，拟合度较高，即表示房价因地价的上涨呈线性增长.
通过上述各影响因素的分析可以发现，地价是影响房价的一个最主要的因素，拟合度最高.
因此，利用数学模型来解答实际问题，通常要做好三个方面的工作，（1）根据实际问题的特点来进行核实数学模型的构建；（2）根据获得的模型进行数学演算；（3）结合实际问题对其进行深层次的讨论、评价及解释，并最终回到实际问题中做出最终的判断.
作者单位：湖北省武昌实验中学