等比数列求和公式推导的教学反思

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  等比数列前n项和公式推导的思维方法既是一个教学重点,又是一个教学难点。怎样突破这一难点呢?回顾这几年课堂教学改革的思路,只要做到师生互动,充分挖掘学生的思维潜力,在教师的引领下,倡导师生的思维对话,鼓励学生个性思维的发挥。实践证明,是能够突破这一难点的。笔者在解决这一问题的教学过程中,把问题交给学生思考和讨论,取得了良好的效果。下面把这一教学过程的教学片断呈现给大家。
  师:本节我们来学习等比数列的求和,同学们以前都学过哪些数列的求和呢?
  生1:摆动数列,常数数列, 等差数列。
  师:好,等差数列的求和公式是怎样推导的呢?它的推导方法是什么?
  生2:倒序相加,就是利用与等差数列的首尾两项等距离的两项和相等,这一道理推得的。
  师:好,那么对于我们刚刚学过的等比数列 ,它的前 项和如何求呢?不妨我们先从一个具体的等比数列入手,比如课本开头的求
  1,2, 的和。
  同学们开始思考和尝试。
  很多同学在尝试使用倒序相加法,失败了。再尝试把每一项算出来再相加,也失败了,……这时,我适时地提出建议:求和的过程,实质就是设法减少项数,同学们不妨沿此思路想一想,有了思路的同学可以随时发言。
  经过一番思考后
  生3:我会了
  记S64=1+2+22+23+…+263 ⑴
  把⑴式两边都乘以2,得
  2 S64=2+22+23+…+263+264⑵
  ⑵—⑴得;
  S64=264-1
  师:好,该同学把减少项数作为突破口,解决了这一求和问题,那么如何求一般等比数列 的前几次和呢?
  生4:按照减少项数这一思路
  设 ⑴
  ⑴式两边同乘q得,
   ⑵
  ⑴—⑵得
  ⑶
  ∴ =⑷
  师:做得很好,但在由⑶式得⑷式时,不应注意什么问题吗?
  生5:必须按q的取值情况进行讨论
  q≠1时, =
  q =1时不能这样运算。
  师:那么q=1时 怎样求呢?
  生6:q=1时数列 为常数数列, =
  师:好,同学们考虑问题全面、细致,有很好的思维品质。综合以上同学们的结论是,
  (q≠1)
  
  生7:老师,还有别的求和方法吗?
  师:问的好,肯定有。我们求的是等比数列的前几项和(特别重读“等比”二字)。请同学们继续讨论(经过约2分钟后)
  生8:“等比”二字使我想起了等比定理,因此还可用等比定理来求,步骤如下:
  ∵ = = =…= =q
  ∴ =q
  即 =q
  ∴
  另外一个同学则给出了第三种解法:
  生9:
  ∵
  
  
  
  
  ∴
  ∴(q≠1)
  师:用本节所学知识求
  请同学们课后完成。
  反思本节课中等比数列求和公式的推导,我看到了学生潜能之所在,同学们竟能在我一句话的启示下,使重点难点得以突破,这是我课前始料不及的。当用第一种方法推得求和公式后,处于思维高度活跃状态的同学们,不满足现状, 进而还渴望有新的方法产生,我因势利导,又出现了第二种、第三种推导方法。从学生身上我看到了新课程理念的威力。只要大胆还思维、还时间给学生,为学生创造宽松、开放的学习环境,提供多渠道获得知识的机会,激发学习热情,点燃思维火花,学生就能够从自己已有的知识经验出发,凭借自己已有的知识和经验对新的问题情境、新的知识进行同化。事实上,这三种不同思路无一不是学生从自己已有的知识和经验出发,在老师的组织指导下完成的。
  这节课我只是发挥了组织者、推进者和指导者的作用,而学生是实实在在的主体活动者,在与同学们的共同研究中,他们的思维在思想的交流、碰撞和启发中得到了激活,从而使这节课在热烈的气氛中,学生获得了情感上的体验和知识的补充。
  ______________
  收稿日期:2014-05-12
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