1.引言
　　多元函数积分计算是微积分中的一个重点和难点，很多初学者对此是望而却步。但被积函数和积分区域的某些特殊结构特征常常会对问题的求解带来便捷，对于被积函数存在奇偶性、积分区域具有对称性的重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的计算问题，巧妙利用对称性，能使复杂的计算变得简单易行。
　　2.主要结论
　　定理1：（1）如果积分区域D关于y轴对称，则：
　　（ⅰ）当时，
　　有；
　　（ⅱ） 当时，有
　　其中.
　　（2）如果积分区域D关于x轴对称，则：
　　（ⅰ）当时，
　　有；
　　（ⅱ）当时，
　　有，
　　其中.
　　证明：（1）如果积分区域D关于y轴对称，按y型积分区域顺序计算二重积分有，其中为D在y轴上的投影，为任意平行于x轴的且穿越区域内部的直线与区域边界交点的横坐标。
　　由于积分区域D关于y轴对称，故在平行于x轴的直线上关于点对称，由定积分对称性结论[1]，[3]可得：
　　当时，，
　　所以；
　　当时，，
　　所以，
　　其中
　　同理可证结论（2）。
　　以上结论可进一步推广到积分区域关于原点和关于直线对称的情况。
　　推论1（1）如果积分区域D关于原点对称，则：
　　（ⅰ）当时，
　　有；
　　（ⅱ） 当时，有
　　，其中D1为D的右半平面.
　　（2）如果积分区域D关于对称，
　　则，
　　其中，分别为在的上方与下方部分。
　　将二重积分积分区域定义的平面直角坐标系推广到空间直角坐标系，将平面直角坐标系中关于坐标轴的对称推广到空间直角坐标系中关于坐标面的对称即可得到三重积分的相关结论。
　　定理2：设在有界闭区域连续，若关于平面对称，则：
　　（1），若关于为奇函数；
　　（2），若关于为偶函数，其中.
　　类似可得到关于平面对称的情况下的结论。
　　另外，由二重积分的结论可直接推广得到第一类曲线积分的结论，由三重积分的结论可直接推广得到第一类曲面积分的结论。
　　定理3：设在分段光滑的曲线L上连续.若L关于x轴（或y轴）对称，则：
　　（1），若关于y（或x）为奇函数；
　　（2），若关于y（或x）为偶函数，其中L1为L的右半平面或上半平面。
　　定理4：设在分块光滑曲面S上连续，若S关于平面对称，则：
　　（1），若关于x为奇函数；
　　（2），若关于x为偶函数，其中.
　　类似可得到关于平面对称的情况下的结论。
　　3.实例
　　例1：计算，其中积分区域D由曲線与所围成。
　　解：积分区域如图1所示，令，因为D关于y轴对称，且，所以， 从而
　　图1
　　例2：求，其中L为
　　解：L为如图所示正方形边界，因为L关于轴均对称，被积函数关于均为偶函数，所以
　　，L1为L的第一象限部分。
　　图2
　　例3：设，S1是S在第一卦限中的部分，则有（ ）
　　（A） （B）
　　（C） （D）
　　解：本题是第一类曲面积分，根据定理4，本题S关于与平面均对称，而对均为偶函数，所以。
　　再利用变量的轮换对称性有，故（C）答案正确。
　　参考文献：
　　[1] 同济大学数学系.高等数学上册[M].北京：高等教育出版社，2007.
　　[2] 吴赣昌.高等数学下册（理工类）[M].北京：中国人民大学出版社，2009.
　　[3] 苏海军.对称性在定积分中的应用[J].四川文理学院学报，2007（5）：10-12.
　　作者简介：
　　邵艺（1982-），女，上海人，讲师，主要从事灰色系统理论研究及高等数学教学与科研。