对称性在多元函数积分中的应用

来源 :科学时代·下半月 | 被引量 : 0次 | 上传用户:ljxue1224
下载到本地 , 更方便阅读
声明 : 本文档内容版权归属内容提供方 , 如果您对本文有版权争议 , 可与客服联系进行内容授权或下架
论文部分内容阅读
  1.引言
  多元函数积分计算是微积分中的一个重点和难点,很多初学者对此是望而却步。但被积函数和积分区域的某些特殊结构特征常常会对问题的求解带来便捷,对于被积函数存在奇偶性、积分区域具有对称性的重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的计算问题,巧妙利用对称性,能使复杂的计算变得简单易行。
  2.主要结论
  定理1:(1)如果积分区域D关于y轴对称,则:
  (ⅰ)当时,
  有;
  (ⅱ) 当时,有
  其中.
  (2)如果积分区域D关于x轴对称,则:
  (ⅰ)当时,
  有;
  (ⅱ)当时,
  有,
  其中.
  证明:(1)如果积分区域D关于y轴对称,按y型积分区域顺序计算二重积分有,其中为D在y轴上的投影,为任意平行于x轴的且穿越区域内部的直线与区域边界交点的横坐标。
  由于积分区域D关于y轴对称,故在平行于x轴的直线上关于点对称,由定积分对称性结论[1],[3]可得:
  当时,,
  所以;
  当时,,
  所以,
  其中
  同理可证结论(2)。
  以上结论可进一步推广到积分区域关于原点和关于直线对称的情况。
  推论1(1)如果积分区域D关于原点对称,则:
  (ⅰ)当时,
  有;
  (ⅱ) 当时,有
  ,其中D1为D的右半平面.
  (2)如果积分区域D关于对称,
  则,
  其中,分别为在的上方与下方部分。
  将二重积分积分区域定义的平面直角坐标系推广到空间直角坐标系,将平面直角坐标系中关于坐标轴的对称推广到空间直角坐标系中关于坐标面的对称即可得到三重积分的相关结论。
  定理2:设在有界闭区域连续,若关于平面对称,则:
  (1),若关于为奇函数;
  (2),若关于为偶函数,其中.
  类似可得到关于平面对称的情况下的结论。
  另外,由二重积分的结论可直接推广得到第一类曲线积分的结论,由三重积分的结论可直接推广得到第一类曲面积分的结论。
  定理3:设在分段光滑的曲线L上连续.若L关于x轴(或y轴)对称,则:
  (1),若关于y(或x)为奇函数;
  (2),若关于y(或x)为偶函数,其中L1为L的右半平面或上半平面。
  定理4:设在分块光滑曲面S上连续,若S关于平面对称,则:
  (1),若关于x为奇函数;
  (2),若关于x为偶函数,其中.
  类似可得到关于平面对称的情况下的结论。
  3.实例
  例1:计算,其中积分区域D由曲線与所围成。
  解:积分区域如图1所示,令,因为D关于y轴对称,且,所以, 从而
  图1
  例2:求,其中L为
  解:L为如图所示正方形边界,因为L关于轴均对称,被积函数关于均为偶函数,所以
  ,L1为L的第一象限部分。
  图2
  例3:设,S1是S在第一卦限中的部分,则有( )
  (A) (B)
  (C) (D)
  解:本题是第一类曲面积分,根据定理4,本题S关于与平面均对称,而对均为偶函数,所以。
  再利用变量的轮换对称性有,故(C)答案正确。
  参考文献:
  [1] 同济大学数学系.高等数学上册[M].北京:高等教育出版社,2007.
  [2] 吴赣昌.高等数学下册(理工类)[M].北京:中国人民大学出版社,2009.
  [3] 苏海军.对称性在定积分中的应用[J].四川文理学院学报,2007(5):10-12.
  作者简介:
  邵艺(1982-),女,上海人,讲师,主要从事灰色系统理论研究及高等数学教学与科研。
其他文献
新课程改革当中,教科书的改革占有重要地位,借鉴吸收国内外教科书的优点,以提高我国教科书的质量,是当前备受关注的话题之一。香港教材的编写糅合了中英两国教学特点,既有东方传统的重视知识体系架构、重视基础知识学习、重视教师作用的特点,也有西方教育重视学生自主探究、强调合作学习、培养创新能力、尊重个性发展的特点。内地小学数学教学具有计划性和逻辑性,香港小学数学教学具有创造性和灵活性,值得我们研究、借鉴。 
【摘 要】农村教师专业发展关系到农村教育质量、关系到教育公平、关系到教师的职业幸福。内驱力不足是当前制约农村教师专业发展的主要问题。为此,需要建设合作型、学习型、竞争型的学校,从而有效提升农村教师专业发展的内驱力。  【关键词】农村教师专业发展;内驱力;思路;措施  教师专业发展是教师“个人成为教学的专业人员并且在教学中具有越来越成熟的作用的一个转变过程。”[1]当前农村教师专业发展成为教育关注的
为探究吕家坨井田地质构造格局,根据钻孔勘探资料,采用分形理论和趋势面分析方法,研究了井田7
期刊
本文根据当前中学生一系列行为习惯的表现,尤其是在集体主义责任感和纪律观念上。分析了中学体育教学应该改进的方法,以达到提高中学生素质,促进学生全面发展的目的。 This
白日里读谢志浩先生的《那些有伤的读书人》,许是在百年学人的焦虑与反思中沉浸久了的缘故,心中竟然不能平静。晚饭吃得有些快,语速也较以往加强,心间似有波涛汹涌着。这样的
【摘 要】礼仪课,是助力高职学生职业生涯成功的一门关键性课程。作为一所港口航运特色鲜明的高职院校,承担着为港口航运业输送技能型和实用型人才的重任,其礼仪课的开设,必须基于港口航运业岗位需求改革传统课程教学,升华教学理念,创新教学内容、教学模式、教学方法、考核形式,使教学内容与行业结合得更紧密,使课程教学更贴近职业岗位需求。  【关键词】高职;岗位需求分析;礼仪课;改革研究  随着社会经济的增长和港
诗意和情感是相互联系的,都是充满激情的,不仅要有理论的支持,而且要有深厚的文学底蕴,更重要的是人格的力量.
在新课程改革不断深入的背景下,各种先进的教学模式被广泛应用于课堂教学当中,微课就是在这种情况下被有效应用于初中化学教学当中的,极大的提升了初中化学教学质量。本文对微课
在学校体育教育教学工作中,如何贯彻落实教育部提出的“健康第一”和“每天锻炼一小时”的精神,笔者认为应该从以下几方面入手。1领导必须重视“健康第一”的思想 In the sc
小学数学课堂文化是通过教师的教育智慧,创建、激发富有生命的、有效的数学课堂,从而形成一种开放、自由、和谐、智慧的、提升教师和学生生命质量的课堂文化,它将数学文化与课堂教学过程中所形成的价值观念和思想行为形成统一整合体。以下通过内地、香港两位教师执教的小学一年级《统计》课例,谈谈我对内地、香港小学数学课堂文化异同的一些看法。  一、从教学设计看课堂文化异同  可以看出内地教师设计了“创设情境,激发兴