巧用向量法

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  【摘要】向量是高中数学中非常重要的概念,它既是代数研究的对象,有丰富的运算,又是几何研究的对象,有形的特性.因此,向量是沟通几何与代数的天然桥梁,在高考中向量是一种解题方法,更是一种重要的工具,常与其他知识交汇起来考查,本文主要探讨向量在不等式、解析几何以及立体几何中的应用.
  【关键词】向量;解析几何;立体几何
  一、向量在不等式中的应用
  不等式是高中数学的重要组成部分,在高考中占有一定的比重,不等式的求解与证明问题需要学生有很强的推理能力以及运算能力,是培养学生逻辑推理与数学运算核心素养的良好载体.在解决不等式问题的过程中,根据不等式的结构特点,可构造向量,利用向量的运算性质进行求解[1].
  例1 已知a2 b2 c2=1,x2 y2 z2=1,證明:ax by cz≤1.
  分析 本题如果采用常规的方法求证是很困难的,运算量过大.而通过分析条件中两个式子的结构特点,可以联想到构造向量来解决.设m=(a,b,c),n=(x,y,z),则|m|=1,|n|=1,ax by cz=m·n,再利用数量积的性质:m·n≤|m||n|,即可得证.
  二、向量在解析几何中的应用
  解析几何是高考数学的重要考点,而圆锥曲线作为解析几何的一部分,往往占有较大的比重.在解决圆锥曲线相关问题时,利用常规方法有时会无形中增加运算量,而巧妙地构造向量,运用向量丰富的运算解题,不仅能将复杂问题简单化,又能提高解题的效率.
  例2 设A,B分别为椭圆x2a2 y2b2=1(a
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