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【摘要】在数学教学中反例有极为重要的作用，在很多情况下都适宜应用，所以反例教学构成了我们日常教学的一个重要组成部分，本人在几年的从教经验中，总结出反例教学的具体操作步骤，和应用反例教学时应注意的问题。
【关键词】反例教学反例的引入构建反例针对精炼典型理解概念启发引导获得正确答案
数学发现主要是提出证明和构造反例.在数学中,要证明一个命题成立,必须严格的在所给的条件下,用逻辑推理的方法推导出结论.要证明一个命题是错误的,极具有说服力而又简明的方法就是举出反例,去推翻它.在数学发展史上,恰当的反例推动了数学的发展。高中阶段随着研究性学习的普遍开展，高考试题中开放性试题的比例逐渐增大，反例在高中数学中的重要性日益凸现，在这几年的数学教学中,我对反例教学的感触也非常深刻,本文结合自己的教学实践，对反例在数学教学中的运用做了一些研究。
一、反例的定义
数学中的反例，是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子。说得更简洁一点，反例就是一种指出某命题不成立的例子。当然，从某种意义上来说，所有的例子都可以称为反例，因为它总可以指出某命题（甚至是非常荒谬的命题）不成立。但这里，我们讨论的反例，是建立在数学上已证实的理论与逻辑推理基础上的，并且具有一定作用的反例。
反例教学法中的反例有特定的内涵，这里的反例是指教师在教育实践中收集的典型例题的典型误解、重要知识点的典型错误认识，所谓典型是指它有丰富的教学价值，通过分析例题的错解、知识点的错误认识能够揭示出解题的规律和方法，掌握重要的知识点，巩固学生所学知识的薄弱环节。反例教学比较耗费时间和精力，如果反例庞杂，则教师和学生会为反例的数量和细节所拖累，造成事倍功半，倘若是教师信手拈来的几个反例，那么其教学意义就十分有限，因此，反例必须典型、精制、简炼。
二、适于开展反例教学的几种典型情况
数学教学就是要培养学生的逻辑思维能力。只有使学生具备条理性、逻辑性以及合情推理的能力,才能使学生正确地解答数学题。我们在实践教学中得知,学生在实际的做题中会出现这样或那样的错误,造成题目做错。学生做错题,归根到底是对概念模糊、或是缺乏严密的逻辑思维、或是对一些基本知识结构没有真正地掌握。因此,在高中数学教学中,根据学生学习过程中容易出错的原因,在以下几种情况下应开展反例教学。
1、针对概念模糊易出错开展反例教学。
数学概念是学习性质、法则、公式等基础知识的基础，是判断推理的依据，是计算、解题、作图的前提，是发展学生思维能力的首要条件。因此，理解和掌握数学概念是学生学好数学的基础，清晰的概念是正确思维的前提。如果概念模糊，对于数学试题中选择、判断、填空、计算及证明的处理，将会出现一系列的错误或曲解。因此，我们要针对学生容易出现的这一错误，开展反例教学，帮助学生理解和掌握数学概念。
2、针对对题目处理想当然的错误开展反例教学。
数学是一门科学，它的重要特征是推理论证严密。在数学学习过程中，学生有时由于对知识结构掌握不够完善，或缺乏严谨的学习态度，往往会出现在处理题目时想当然，引起做题出错。所以，在教学过程中，要针对学生存在的这种毛病，开展反例教学，帮助他们树立严谨的学习态度，养成论证严密、考虑周到而深刻的学风。
3、针对忽略隐含条件出错开展反例教学。
数学题中的隐含条件不会在题设中直接给出，要靠在读题中认真分析判断，从而将隐含条件挖掘出来，使题设清晰化、具体化，找出正确的解题思路。然而这一点，恰恰是学生在做题时最容易忽略的。要针对学生这一实际情况，开展反例教学，引导学生正确找出和利用题设的隐含条件，从而培养学生发散思维和逻辑思维的综合能力。
三、在教学中运用反例应注意的问题
在教学中重视和恰当的运用反例，不仅可以调动学生学习的积极性，养成重视条件，严格推理的习惯，还可提高学生的数学能力和学习能力。但在教学中应主要讲授概念、定理和方法，对于基本的命题和结论应予以严格的证明和推导。举反例重在说明结构，学生对反例的掌握要求不能太高，反例应是围绕主要内容的有效辅助手段，应用反例应注意以下几点：
1、注意反例教学的引入。
根据学生年龄、生理及心理特征,以及所学知识结构的不完整性,有时还不具备独立系统地推理论证的能力,思维受到一定的局限,考虑问题可能还会不够全面,在教学过程中要注意反例教学引入的合理性和可行性。
第一、出示反例时机要适当。反例一般应在学生对新知识有了初步的认识后出示，以免受“先入为主”的影响，一般不要先出示反例然后再出示正例，或者以反例为主组织教学，也不要每一堂课都出示反例。
第二、所举反例要注意符合学生的实际。反例应是学生在学习中经常出现的错误，学生一般不会出错，或者只有极个别学生出错的就不必作为反例。
第三、运用反例组织教学也要注意形式多样。除了有机地结合教材充分利用反例组织课堂教学外，还可利用数学园地，开辟“数学门诊”，让学生当“小医生”，治“病”改错。练习的形式也可有改错题、判断题、选择题等多种。一些数学上有名的谬论也可结合有关知识进行适当的介绍，以对学生产生启发。
2、注意反例教学的构建。
教师在进行教学时，不但要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构建反例，反例构建是猜想、试验、推理等多重并举的一项综合性创作性活动，这实际上是为学生创设了一种探索情景，又由于在通常情况下，许多反例的构建不是惟一的，这就需要学生对所学知识有深刻、透彻的理解，并调动他们全部的数学功底，充分展开想象。因此，构建反例的过程也是学生思维发挥和训练过程。反例往往是伴随着数学教学中命题的推广，正面证明失效后产生的，所以反例构建不能就事论事，而要把问题的产生过程，如何构建出反例的思维过程充分展现给学生，使反例构建与整个推理过程有机地结合，从而培养学生思维的深刻性。
教师在日常教学中，可经常选择一些典型的数学知识或问题，通过创设问题情景，引导学生构建反例，引导学生敢于和善于发现问题或提出问题，爱护、支持和鼓励学生中的一切含有创造因素的思想和活动，从而提高学生的思维能力。
3、注意反例教学的逐层深入性。
教师在进行教学时，反例的构建要根据学生的认知发展水平和已有的知识结构逐层深入地进行，把某些难度较大的问题分解为一些小的梯度题。
四、实施反例教学的具体操作步骤
采用反例教学法进行数学教学时，在教学过程中，教师的施教方法和学生的学习方法上都有一系列规范，主要反映在以下几个操作步骤之中：
1、选择编辑反例。
反例编好之后，存入反例库中，随时供教学使用。反例必须从教学实践中来，真实、生动，教师自己编写的也必须符合客观实际。选择反例的数量不宜多，必须精炼，运用反例的目的是为了使学生掌握抽象的数学概念、性质，不能不加选择地大量地罗列反例，只需要选择那些高质量的少数典型反例。反例要能代表概念性质对象的特点，必须典型，倘若随手拈来几个反例，则其意义和教育价值就有局限性，典型的反例可以是综合知识量大的部分，也可以是概念、知识点的某个性质。在教学中选用的反例应该相互联系，由简单到复杂，分层次、有序地编排，反例整体排列结构的合理化能发挥反例教学法的最大教育功效。
2、应用反例。
反例的应用应放在讲授基础知识之后，既可以在讲授某一块知识时显现，也可以在讲完一个单元或一个章节之后显现，显现的方式有以下几种：
第一、给每个学生印发一份文字反例。
第二、教师利用多媒体技术呈现反例。
第三、教师利用即时刺激或环境请学生板演制造真实的反例。
3、分析评价反例。
对于同一个反例，每个学生可以发挥出不同的意义，有人只能找到浅层的信息，有人则能得到透彻的知识面，从而对症下药，教师要引导学生发现揭示反例的本质错误。分析反例的关键是学生和教师共同努力，把反例中的内容与相应的一个或几个知识点联系起来。为此，教师要做好启发引导工作，让学生综合运用所学的知识积极地去独立思考，大胆地交流研讨，同时教师要创设民主和谐的教学气氛，即使学生的思考和回答偏离了正确答案，也不要急于评判，可以让他们自己反省，自我更正，使学生在没有压力和顾忌的良好心态下进行创造性的探索。评价反例是对反例分析的总结，一般由教师来完成，教师可以指出学生分析反例的成绩和不足，进行补充与提高性讲授，评论反例也可以发动学生在教师指导下开展，使他们得到进一步的锻炼。
五、反例在数学教学中的作用
1、反例是理解概念的重要工具。
概念是数学理论和方法的基础。在概念教学中,教师不仅要运用正面的例子来深刻阐明其本质属性，而且要灵活借助反例加深学生对概念中的关键词和本质特征的认识，强化对概念的理解。
2、反例能正确地把握数学原理。
原理通常指某一领域或学科中具有普遍意义的基本规律。高中数学知识除概念外还有数学原理。数学原理包括数学公里、定理、法则、定律、公式等内容。他们既具有一定的形式符号化的抽象性和概括性等特征，又是促进学生认知水平发展的重要学习载体。
在学习数学原理时，若只侧重记忆其结论，而不注意数学原理的使用范围，使用时不注意分析具体条件而生搬硬套，常会出现错误。对于数学原理，不仅要弄清其条件和结论的实际意义和适用范围，还应通过一些反例帮助学生牢固掌握所学的数学原理，灵活地设置反例，有时可起到事半功倍，立竿见影的效果。
3、反例是否定一个命题的最佳途径。
要使一个数学命题成立，必须进行分析与严格的证明，而要推翻一个命题，只需要找出这个命题在特殊情况下不成立的实例即可。反例也是发现错误，修正命题与解法，激发人们思维的一种好方法。为了澄清学习数学中的模糊认识，常常需要从正反两个方面进行探索。
4、反例是克服思维定势抑制负迁移的有力手段。
举反例可直接促进数学新概念、新定理与新理论的形成和发展。微积分创建初始，数学界曾长期错误认为：“连续函数除了个别点外总是处处可导”，但是1860年德国数学家维尔斯特拉斯构造了一个“处处连续却处处不可导的函数”，这一反例震惊了数学界，给了思维定势传统观念致命一击。在教学过程中，学生在教师习惯性程序的影响下容易形成固定的思维模式，即定势。定势会产生“墨守成规”、“机械记忆”等负面效应，此时求异的反例恰恰是解决这一弊端的得力方法。
5、能实现教学相长。
在教学中，教师不仅是讲授者和组织者，而且是讨论中的一员，学生的思维如果都活跃起来，他们在思考问题的深度和广度上往往会超越教师，使教师和学生之间相互学习成为可能。
总之，在数学教学中，适时地引进一些反例或适当地引导学生构建反例，往往能使学生在认识上产生质的飞跃，帮助他们巩固和掌握定理、公式和法则，在高中数学教学中,根据学生学习过程中容易出错的原因,开展反例教学,是培养学生综合思维能力的有效途径。
【关键词】反例教学反例的引入构建反例针对精炼典型理解概念启发引导获得正确答案
数学发现主要是提出证明和构造反例.在数学中,要证明一个命题成立,必须严格的在所给的条件下,用逻辑推理的方法推导出结论.要证明一个命题是错误的,极具有说服力而又简明的方法就是举出反例,去推翻它.在数学发展史上,恰当的反例推动了数学的发展。高中阶段随着研究性学习的普遍开展，高考试题中开放性试题的比例逐渐增大，反例在高中数学中的重要性日益凸现，在这几年的数学教学中,我对反例教学的感触也非常深刻,本文结合自己的教学实践，对反例在数学教学中的运用做了一些研究。
一、反例的定义
数学中的反例，是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子。说得更简洁一点，反例就是一种指出某命题不成立的例子。当然，从某种意义上来说，所有的例子都可以称为反例，因为它总可以指出某命题（甚至是非常荒谬的命题）不成立。但这里，我们讨论的反例，是建立在数学上已证实的理论与逻辑推理基础上的，并且具有一定作用的反例。
反例教学法中的反例有特定的内涵，这里的反例是指教师在教育实践中收集的典型例题的典型误解、重要知识点的典型错误认识，所谓典型是指它有丰富的教学价值，通过分析例题的错解、知识点的错误认识能够揭示出解题的规律和方法，掌握重要的知识点，巩固学生所学知识的薄弱环节。反例教学比较耗费时间和精力，如果反例庞杂，则教师和学生会为反例的数量和细节所拖累，造成事倍功半，倘若是教师信手拈来的几个反例，那么其教学意义就十分有限，因此，反例必须典型、精制、简炼。
二、适于开展反例教学的几种典型情况
数学教学就是要培养学生的逻辑思维能力。只有使学生具备条理性、逻辑性以及合情推理的能力,才能使学生正确地解答数学题。我们在实践教学中得知,学生在实际的做题中会出现这样或那样的错误,造成题目做错。学生做错题,归根到底是对概念模糊、或是缺乏严密的逻辑思维、或是对一些基本知识结构没有真正地掌握。因此,在高中数学教学中,根据学生学习过程中容易出错的原因,在以下几种情况下应开展反例教学。
1、针对概念模糊易出错开展反例教学。
数学概念是学习性质、法则、公式等基础知识的基础，是判断推理的依据，是计算、解题、作图的前提，是发展学生思维能力的首要条件。因此，理解和掌握数学概念是学生学好数学的基础，清晰的概念是正确思维的前提。如果概念模糊，对于数学试题中选择、判断、填空、计算及证明的处理，将会出现一系列的错误或曲解。因此，我们要针对学生容易出现的这一错误，开展反例教学，帮助学生理解和掌握数学概念。
2、针对对题目处理想当然的错误开展反例教学。
数学是一门科学，它的重要特征是推理论证严密。在数学学习过程中，学生有时由于对知识结构掌握不够完善，或缺乏严谨的学习态度，往往会出现在处理题目时想当然，引起做题出错。所以，在教学过程中，要针对学生存在的这种毛病，开展反例教学，帮助他们树立严谨的学习态度，养成论证严密、考虑周到而深刻的学风。
3、针对忽略隐含条件出错开展反例教学。
数学题中的隐含条件不会在题设中直接给出，要靠在读题中认真分析判断，从而将隐含条件挖掘出来，使题设清晰化、具体化，找出正确的解题思路。然而这一点，恰恰是学生在做题时最容易忽略的。要针对学生这一实际情况，开展反例教学，引导学生正确找出和利用题设的隐含条件，从而培养学生发散思维和逻辑思维的综合能力。
三、在教学中运用反例应注意的问题
在教学中重视和恰当的运用反例，不仅可以调动学生学习的积极性，养成重视条件，严格推理的习惯，还可提高学生的数学能力和学习能力。但在教学中应主要讲授概念、定理和方法，对于基本的命题和结论应予以严格的证明和推导。举反例重在说明结构，学生对反例的掌握要求不能太高，反例应是围绕主要内容的有效辅助手段，应用反例应注意以下几点：
1、注意反例教学的引入。
根据学生年龄、生理及心理特征,以及所学知识结构的不完整性,有时还不具备独立系统地推理论证的能力,思维受到一定的局限,考虑问题可能还会不够全面,在教学过程中要注意反例教学引入的合理性和可行性。
第一、出示反例时机要适当。反例一般应在学生对新知识有了初步的认识后出示，以免受“先入为主”的影响，一般不要先出示反例然后再出示正例，或者以反例为主组织教学，也不要每一堂课都出示反例。
第二、所举反例要注意符合学生的实际。反例应是学生在学习中经常出现的错误，学生一般不会出错，或者只有极个别学生出错的就不必作为反例。
第三、运用反例组织教学也要注意形式多样。除了有机地结合教材充分利用反例组织课堂教学外，还可利用数学园地，开辟“数学门诊”，让学生当“小医生”，治“病”改错。练习的形式也可有改错题、判断题、选择题等多种。一些数学上有名的谬论也可结合有关知识进行适当的介绍，以对学生产生启发。
2、注意反例教学的构建。
教师在进行教学时，不但要适当地使用反例，更重要的是要善于引导学生构建反例，反例构建是猜想、试验、推理等多重并举的一项综合性创作性活动，这实际上是为学生创设了一种探索情景，又由于在通常情况下，许多反例的构建不是惟一的，这就需要学生对所学知识有深刻、透彻的理解，并调动他们全部的数学功底，充分展开想象。因此，构建反例的过程也是学生思维发挥和训练过程。反例往往是伴随着数学教学中命题的推广，正面证明失效后产生的，所以反例构建不能就事论事，而要把问题的产生过程，如何构建出反例的思维过程充分展现给学生，使反例构建与整个推理过程有机地结合，从而培养学生思维的深刻性。
教师在日常教学中，可经常选择一些典型的数学知识或问题，通过创设问题情景，引导学生构建反例，引导学生敢于和善于发现问题或提出问题，爱护、支持和鼓励学生中的一切含有创造因素的思想和活动，从而提高学生的思维能力。
3、注意反例教学的逐层深入性。
教师在进行教学时，反例的构建要根据学生的认知发展水平和已有的知识结构逐层深入地进行，把某些难度较大的问题分解为一些小的梯度题。
四、实施反例教学的具体操作步骤
采用反例教学法进行数学教学时，在教学过程中，教师的施教方法和学生的学习方法上都有一系列规范，主要反映在以下几个操作步骤之中：
1、选择编辑反例。
反例编好之后，存入反例库中，随时供教学使用。反例必须从教学实践中来，真实、生动，教师自己编写的也必须符合客观实际。选择反例的数量不宜多，必须精炼，运用反例的目的是为了使学生掌握抽象的数学概念、性质，不能不加选择地大量地罗列反例，只需要选择那些高质量的少数典型反例。反例要能代表概念性质对象的特点，必须典型，倘若随手拈来几个反例，则其意义和教育价值就有局限性，典型的反例可以是综合知识量大的部分，也可以是概念、知识点的某个性质。在教学中选用的反例应该相互联系，由简单到复杂，分层次、有序地编排，反例整体排列结构的合理化能发挥反例教学法的最大教育功效。
2、应用反例。
反例的应用应放在讲授基础知识之后，既可以在讲授某一块知识时显现，也可以在讲完一个单元或一个章节之后显现，显现的方式有以下几种：
第一、给每个学生印发一份文字反例。
第二、教师利用多媒体技术呈现反例。
第三、教师利用即时刺激或环境请学生板演制造真实的反例。
3、分析评价反例。
对于同一个反例，每个学生可以发挥出不同的意义，有人只能找到浅层的信息，有人则能得到透彻的知识面，从而对症下药，教师要引导学生发现揭示反例的本质错误。分析反例的关键是学生和教师共同努力，把反例中的内容与相应的一个或几个知识点联系起来。为此，教师要做好启发引导工作，让学生综合运用所学的知识积极地去独立思考，大胆地交流研讨，同时教师要创设民主和谐的教学气氛，即使学生的思考和回答偏离了正确答案，也不要急于评判，可以让他们自己反省，自我更正，使学生在没有压力和顾忌的良好心态下进行创造性的探索。评价反例是对反例分析的总结，一般由教师来完成，教师可以指出学生分析反例的成绩和不足，进行补充与提高性讲授，评论反例也可以发动学生在教师指导下开展，使他们得到进一步的锻炼。
五、反例在数学教学中的作用
1、反例是理解概念的重要工具。
概念是数学理论和方法的基础。在概念教学中,教师不仅要运用正面的例子来深刻阐明其本质属性，而且要灵活借助反例加深学生对概念中的关键词和本质特征的认识，强化对概念的理解。
2、反例能正确地把握数学原理。
原理通常指某一领域或学科中具有普遍意义的基本规律。高中数学知识除概念外还有数学原理。数学原理包括数学公里、定理、法则、定律、公式等内容。他们既具有一定的形式符号化的抽象性和概括性等特征，又是促进学生认知水平发展的重要学习载体。
在学习数学原理时，若只侧重记忆其结论，而不注意数学原理的使用范围，使用时不注意分析具体条件而生搬硬套，常会出现错误。对于数学原理，不仅要弄清其条件和结论的实际意义和适用范围，还应通过一些反例帮助学生牢固掌握所学的数学原理，灵活地设置反例，有时可起到事半功倍，立竿见影的效果。
3、反例是否定一个命题的最佳途径。
要使一个数学命题成立，必须进行分析与严格的证明，而要推翻一个命题，只需要找出这个命题在特殊情况下不成立的实例即可。反例也是发现错误，修正命题与解法，激发人们思维的一种好方法。为了澄清学习数学中的模糊认识，常常需要从正反两个方面进行探索。
4、反例是克服思维定势抑制负迁移的有力手段。
举反例可直接促进数学新概念、新定理与新理论的形成和发展。微积分创建初始，数学界曾长期错误认为：“连续函数除了个别点外总是处处可导”，但是1860年德国数学家维尔斯特拉斯构造了一个“处处连续却处处不可导的函数”，这一反例震惊了数学界，给了思维定势传统观念致命一击。在教学过程中，学生在教师习惯性程序的影响下容易形成固定的思维模式，即定势。定势会产生“墨守成规”、“机械记忆”等负面效应，此时求异的反例恰恰是解决这一弊端的得力方法。
5、能实现教学相长。
在教学中，教师不仅是讲授者和组织者，而且是讨论中的一员，学生的思维如果都活跃起来，他们在思考问题的深度和广度上往往会超越教师，使教师和学生之间相互学习成为可能。
总之，在数学教学中，适时地引进一些反例或适当地引导学生构建反例，往往能使学生在认识上产生质的飞跃，帮助他们巩固和掌握定理、公式和法则，在高中数学教学中,根据学生学习过程中容易出错的原因,开展反例教学,是培养学生综合思维能力的有效途径。