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函数y=Asin(ωx+?渍)的图像的教学是高一数学教学的一个难点。解决了这个难点,可以使学生清楚地掌握函数y=Asin(ωx+?渍)的图像与性质,同时加以推广,还可以使学生掌握一般函数y=Af(ωx+?渍)的图像变换,达到触类旁通的效果。而函数y=Asin(ωx+?渍)的作图,教材中介绍了“五点法”与图像变换法。五点法是画简图的具体操作,只须找准五个关键点(三个零点与两个最值点),方法是设x=ωx+?渍,令x分别取0、■、π、■、2π,求出对应的x与y的值,描点、连线即可。比较而言,学生容易掌握。而图像变换法才是基础,也是教学目的所在。它提示了正弦函数图像的内在联系、是本章重中之重。只有搞清了图形变换,即振幅变换、周期变换、相位变换、平移变换,才能达到全盘皆活的功效。下面就本人对函数y=Asin(ωx+φ)的图像的教学作如下探究,不馁之处、敬请同仁指教。
1分化难点,实施分层教学
为了更好地实施因材施教,让不同的学生在数学上有不同程度地发展,结合学生数学素质与学习情况,将学生按一定的比例分为高、中、低三个层次,将y=Asin(ωx+?渍)的图像的教学分为三个层次目标。第一层次目标:会用五点法作图,面向所有的学生,让低层的学生参与到学习中来;第二层次目标:让学生掌握单一的图形变换,通过学习课本中给出的例1、例2、例3,让学生掌握:
①振幅变换:y=sinx纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变
y=Asinx(A>0且A≠1)
②周期变换:y=sinxs横坐标变为原来的■倍,纵坐标不变
y=sinωx (ω>0且ω≠1)
③相位变换:y=sinx向左(?渍?准0)或向右(?渍π0)平移|?渍|个单位
y=sin(x+?渍)(?渍≠0)
④平移变换:y=sinx向上(?渍?准0)或向下(?渍π0)平移|k|个单位
y=sinx+k(k≠0)
这一层目标主要面向中、低层学生,力争让低层学生由学习的思考者变为学习的活动者。第三层目标:让学生掌握y=Asin(ωx+?渍)的复合变换。给出例4:如何由y=sinx的图像变换得出y=3sin(2x+■)的简图?因为学生已经掌握了上述四种单一变换,所以会对本题或多或少地发表见解,这时可不失时机地分组讨论,既培养学生的协作精神,又让学生在讨论中发现问题,让基础较差的学生由旁观者变为思考者,中等学生由思考者变为参与者,然后引导学生总结方法:
由于A、ω、?渍的次序不同,从y=sinx图像到y=Asin(ωx+?渍)的图像的变换可分为A■■种不同的形式,即:A-ω-?渍,A-?渍-ω,ω-?渍-A,ω-A-?渍,?渍-ω-A,?渍-A-ω六种。但在这六种不同变换中,可以发现ω与?渍是互相影响的,而A在变换过程中不影响ω与?渍,也不受ω与?渍变换的影响。因此,在这六种变换中可先不考虑A,等ω与?渍变换好之后再来变A。这样,上述六种变换可以化为两大类,即:“ω-?渍-A”与“?渍-ω-A”,所以可引导学生用两种方法解题:
方法一:“?渍-ω-A”:y=sinx向左平移■个单位
y=sin(x+■)横坐标变为原来■倍,纵坐标不变
y=sin(2x+■)横坐标变为原来3倍,横坐标不变
y=3sin(2x+■)
方法二 “ω-?渍-A”: y=sinx横坐标变为原来的■倍,纵坐标不变y=sin2x向左平移■个单位
y=sin(2x+■)纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变
y=3sin(2x+■)(图略)
但在这两种不同的方法中学生很容易出现以下易错点:
易错点1:移?渍时移多少?学生在解题时往往不论ω与?渍的先后次序,一律移|?渍|个单位。为了预防这个错误的发生,教学时可这样讲解,先?渍后ω,ω没有来及影响?渍,故只需移|?渍|个单位;而先ω后?渍,则?渍没有赶上ω的伸缩机会,要补上伸缩,需移■个单位。
易错点2:在先?渍后中ω,?渍是否受ω的影响?学生在解题时往往出现这样情形:
y=sin(x+?渍)横坐标变为原来的■倍,纵坐标不变 y=sinω(x+?渍)
为防止出现此类问题,可给学生强调:先?渍后ω,ω没有来及影响?渍,所以?渍不参加伸缩变换,得到y=sin(ωx+?渍)。而y=sin(ωx+?渍)是把y=sinωx左右平移|?渍|个单位得到。
第三层目标主要面向中高层学生,充分发挥学生的学习主动性与创造性,不仅让学生知其然,而且要知其所以然。应该说有了以上三个层次的教学,学生初步掌握了函数y=Asin(ωx+?渍)的图像变换。在此基础上,略加引导,学生就会掌握其他三角函数的图像变换。但对非三角函数的图像变换的情形又将是如何呢?
2拓宽知识,提升理论、概括一般函数的图像变换
设疑:对任意函数y=f(x),怎样通过图像变换得到y=Af(ωx+?渍)+k的图像?结合y=Asin(ωx+?渍)的图像的单一变换,引导学生学习并总结。不难理解,在y=Af(ωx+?渍)+k的图像变换中,?渍与k是通过左右与上下平移来实现的,而A与ω是通过压缩或拉伸y=f(x)图像上所有点的纵坐标与横坐标来完成变换的。具体总结如下:
变换1:一般地,y=Af(x) (A>0且A≠1)的图像可看作是y=f(x)图像上所有点的纵坐标拉伸(A>1)或压缩(0 变换2:一般地,y=f(ωx) (ω>0且ω≠1)的图像可看作是y=f(x)图像上所有点的横坐标压缩(ω>1)或拉伸(0<ω<1)为原来的■倍(纵坐标保持不变)而得到的,称为横向伸缩变换。
变换3:一般地,y=f(x+?渍)+k(?渍≠0且k≠0)的图像可看作是y=f(x)图像向左(?渍>0)或向右(?渍<0)平移|?渍|个单位,再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得到,称为平移变换。
例5把函数y=log2(x-1)的图像向右平移■个单位,再把横坐标压缩为原来的■,所得图像的函数表达式为_____________________。
分析:由平移变换与横向伸缩变换可知
y=log2(x-1)向右平移■个单位
y=log2(x-■)横坐标变为原来的■倍,纵坐标不变
y=log2(2x-■)
强调:在先后的变换中,没有来及影响。
此时,同学们可能会问为什么要限定A>0且A≠1和ω>0且ω≠1呢?A和ω可不可以为负值?
这个问题问得好,可以这样讲解:当A<0(ω<0)时,-A>0(-ω>0),就出现了y=Af(x)与y=-Af(x)(y=f(ωx)与y=f(-ωx))之间的关系。显然,y=Af(x)与 y=-Af(x)图像上对应点的横坐标相等、纵坐标相反,图像关于x轴对称;同理可知,y=f(ωx) 与y=f(-ωx)的图像关于y轴对称。引导得出:
变换4:一般地,y=-Af(x)图像可看作是由y=Af(x)的图像关于x轴对称得到; y=f(-ωx)图像可看作是由y=f(ωx)的图像关于y轴对称得到,称为对称变换,也称整体翻转变换。
推论:一般地y=-Af(-x)图像可看作是y=f(x)的图像关于原点对称得到。
例6 已知函数y=f(x)的图像变换如下:
y=f(x)横坐标变为原来的3倍,纵坐标变为原来的2倍
C1:向左平移2个单位
C2: y=2x+1关于x轴对称
求f(x)的解析式
分析:方法一: 将以上变换逆回头
y=2x+1关于x轴对称
C2:y=-(2x+1)向左平移2个单位C1: y=-(2x-2+1)
横坐标变为原来的3倍,纵坐标变为原来的2倍y=-(23x -2+1)
方法二: 利用点变换
设P(x,y)是y=f(x)图像上的任意点
横坐标变为原来的3倍,纵坐标变为原来的2倍P1 (3x,2y)
向左平移2个单位P2(3x-2,2y)
关于x轴对称P3(3x-2,-2y)
∵P3在y=2x+1上∴y=-(23x -2+1)
对于任意函数y=f(x)除了以上伸缩变换、平移变换、整体翻转变换以外,还有部分翻转变换。
f(|x|)=f(x),x≥0f(-x),x<0 |f(x)|=f(x),x∈x|f(x)≥0-f(x),x∈x|f(x)<0
即在作函数y=f(|x|)图像时,只需先画出y=f(x)在y轴右侧的部分(y=f(x),x≥0),再将右侧的部分翻转180°到y轴左侧,左右两侧看作整体就是y=f(|x|)的图像。而作y=|f(x)|图像,则是保留了y=f(x)图像在x轴上侧的部分,并且把x轴下侧的图像沿x轴翻转180°到x轴的上方,就得到y=|f(x)|的图像了。
对于知识点的拓宽力争让所有学生都参与其中,在老师的引导下讨论学习,只有掌握了以上几种图像变换,才能使学生做出正确函数的图像,同时提高学生的识图能力和数形结合的解题能力。
1分化难点,实施分层教学
为了更好地实施因材施教,让不同的学生在数学上有不同程度地发展,结合学生数学素质与学习情况,将学生按一定的比例分为高、中、低三个层次,将y=Asin(ωx+?渍)的图像的教学分为三个层次目标。第一层次目标:会用五点法作图,面向所有的学生,让低层的学生参与到学习中来;第二层次目标:让学生掌握单一的图形变换,通过学习课本中给出的例1、例2、例3,让学生掌握:
①振幅变换:y=sinx纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变
y=Asinx(A>0且A≠1)
②周期变换:y=sinxs横坐标变为原来的■倍,纵坐标不变
y=sinωx (ω>0且ω≠1)
③相位变换:y=sinx向左(?渍?准0)或向右(?渍π0)平移|?渍|个单位
y=sin(x+?渍)(?渍≠0)
④平移变换:y=sinx向上(?渍?准0)或向下(?渍π0)平移|k|个单位
y=sinx+k(k≠0)
这一层目标主要面向中、低层学生,力争让低层学生由学习的思考者变为学习的活动者。第三层目标:让学生掌握y=Asin(ωx+?渍)的复合变换。给出例4:如何由y=sinx的图像变换得出y=3sin(2x+■)的简图?因为学生已经掌握了上述四种单一变换,所以会对本题或多或少地发表见解,这时可不失时机地分组讨论,既培养学生的协作精神,又让学生在讨论中发现问题,让基础较差的学生由旁观者变为思考者,中等学生由思考者变为参与者,然后引导学生总结方法:
由于A、ω、?渍的次序不同,从y=sinx图像到y=Asin(ωx+?渍)的图像的变换可分为A■■种不同的形式,即:A-ω-?渍,A-?渍-ω,ω-?渍-A,ω-A-?渍,?渍-ω-A,?渍-A-ω六种。但在这六种不同变换中,可以发现ω与?渍是互相影响的,而A在变换过程中不影响ω与?渍,也不受ω与?渍变换的影响。因此,在这六种变换中可先不考虑A,等ω与?渍变换好之后再来变A。这样,上述六种变换可以化为两大类,即:“ω-?渍-A”与“?渍-ω-A”,所以可引导学生用两种方法解题:
方法一:“?渍-ω-A”:y=sinx向左平移■个单位
y=sin(x+■)横坐标变为原来■倍,纵坐标不变
y=sin(2x+■)横坐标变为原来3倍,横坐标不变
y=3sin(2x+■)
方法二 “ω-?渍-A”: y=sinx横坐标变为原来的■倍,纵坐标不变y=sin2x向左平移■个单位
y=sin(2x+■)纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变
y=3sin(2x+■)(图略)
但在这两种不同的方法中学生很容易出现以下易错点:
易错点1:移?渍时移多少?学生在解题时往往不论ω与?渍的先后次序,一律移|?渍|个单位。为了预防这个错误的发生,教学时可这样讲解,先?渍后ω,ω没有来及影响?渍,故只需移|?渍|个单位;而先ω后?渍,则?渍没有赶上ω的伸缩机会,要补上伸缩,需移■个单位。
易错点2:在先?渍后中ω,?渍是否受ω的影响?学生在解题时往往出现这样情形:
y=sin(x+?渍)横坐标变为原来的■倍,纵坐标不变 y=sinω(x+?渍)
为防止出现此类问题,可给学生强调:先?渍后ω,ω没有来及影响?渍,所以?渍不参加伸缩变换,得到y=sin(ωx+?渍)。而y=sin(ωx+?渍)是把y=sinωx左右平移|?渍|个单位得到。
第三层目标主要面向中高层学生,充分发挥学生的学习主动性与创造性,不仅让学生知其然,而且要知其所以然。应该说有了以上三个层次的教学,学生初步掌握了函数y=Asin(ωx+?渍)的图像变换。在此基础上,略加引导,学生就会掌握其他三角函数的图像变换。但对非三角函数的图像变换的情形又将是如何呢?
2拓宽知识,提升理论、概括一般函数的图像变换
设疑:对任意函数y=f(x),怎样通过图像变换得到y=Af(ωx+?渍)+k的图像?结合y=Asin(ωx+?渍)的图像的单一变换,引导学生学习并总结。不难理解,在y=Af(ωx+?渍)+k的图像变换中,?渍与k是通过左右与上下平移来实现的,而A与ω是通过压缩或拉伸y=f(x)图像上所有点的纵坐标与横坐标来完成变换的。具体总结如下:
变换1:一般地,y=Af(x) (A>0且A≠1)的图像可看作是y=f(x)图像上所有点的纵坐标拉伸(A>1)或压缩(0
变换3:一般地,y=f(x+?渍)+k(?渍≠0且k≠0)的图像可看作是y=f(x)图像向左(?渍>0)或向右(?渍<0)平移|?渍|个单位,再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得到,称为平移变换。
例5把函数y=log2(x-1)的图像向右平移■个单位,再把横坐标压缩为原来的■,所得图像的函数表达式为_____________________。
分析:由平移变换与横向伸缩变换可知
y=log2(x-1)向右平移■个单位
y=log2(x-■)横坐标变为原来的■倍,纵坐标不变
y=log2(2x-■)
强调:在先后的变换中,没有来及影响。
此时,同学们可能会问为什么要限定A>0且A≠1和ω>0且ω≠1呢?A和ω可不可以为负值?
这个问题问得好,可以这样讲解:当A<0(ω<0)时,-A>0(-ω>0),就出现了y=Af(x)与y=-Af(x)(y=f(ωx)与y=f(-ωx))之间的关系。显然,y=Af(x)与 y=-Af(x)图像上对应点的横坐标相等、纵坐标相反,图像关于x轴对称;同理可知,y=f(ωx) 与y=f(-ωx)的图像关于y轴对称。引导得出:
变换4:一般地,y=-Af(x)图像可看作是由y=Af(x)的图像关于x轴对称得到; y=f(-ωx)图像可看作是由y=f(ωx)的图像关于y轴对称得到,称为对称变换,也称整体翻转变换。
推论:一般地y=-Af(-x)图像可看作是y=f(x)的图像关于原点对称得到。
例6 已知函数y=f(x)的图像变换如下:
y=f(x)横坐标变为原来的3倍,纵坐标变为原来的2倍
C1:向左平移2个单位
C2: y=2x+1关于x轴对称
求f(x)的解析式
分析:方法一: 将以上变换逆回头
y=2x+1关于x轴对称
C2:y=-(2x+1)向左平移2个单位C1: y=-(2x-2+1)
横坐标变为原来的3倍,纵坐标变为原来的2倍y=-(23x -2+1)
方法二: 利用点变换
设P(x,y)是y=f(x)图像上的任意点
横坐标变为原来的3倍,纵坐标变为原来的2倍P1 (3x,2y)
向左平移2个单位P2(3x-2,2y)
关于x轴对称P3(3x-2,-2y)
∵P3在y=2x+1上∴y=-(23x -2+1)
对于任意函数y=f(x)除了以上伸缩变换、平移变换、整体翻转变换以外,还有部分翻转变换。
f(|x|)=f(x),x≥0f(-x),x<0 |f(x)|=f(x),x∈x|f(x)≥0-f(x),x∈x|f(x)<0
即在作函数y=f(|x|)图像时,只需先画出y=f(x)在y轴右侧的部分(y=f(x),x≥0),再将右侧的部分翻转180°到y轴左侧,左右两侧看作整体就是y=f(|x|)的图像。而作y=|f(x)|图像,则是保留了y=f(x)图像在x轴上侧的部分,并且把x轴下侧的图像沿x轴翻转180°到x轴的上方,就得到y=|f(x)|的图像了。
对于知识点的拓宽力争让所有学生都参与其中,在老师的引导下讨论学习,只有掌握了以上几种图像变换,才能使学生做出正确函数的图像,同时提高学生的识图能力和数形结合的解题能力。