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一、案例背景
在教学中普遍认为，知识的负迁移对学生的学习起到负面作用，所以教师在备课时应想到如何避免学生在这方面犯错误，从而千方百计对这一知识点进行强调，但事实证明尽管我们在这方面花了很多力气，但学生的错误仍是“屡禁不止”，很是头痛，然而，错误是最好的老师，如果能恰当的用学生的这种负迁移，非但不会出现上述的情况，学生还会加深对知识的印象和理解，起到事半功倍的效果。
这节课的内容是苏科版八年级下册反比例函数的图象和性质第一课时，数学新课程标准要求：能画出反比例函数y=k/x(x≠0) 的图象，根据图象和表达式探索并理解其性质，在此前学生学过一次函数（包括正比例函数）的图象，且对一次函数的图象是一条直线的印象很深刻，所以学生必然会把“一次函数的图象是一条直线”迁移到“反比例函数的图象也是一条直线”上来，从而在学生间出现了很多的错误画法。
教学准备：分好四人合作小组，备好画有坐标系的方格纸。
二、教学过程
1.复写回顾
师：我们学过正比例函数的图象，请同学们回顾一下正比例函数的图象是什么样的？怎么画出来？
生1：是一条直线。取两点，然后连接起来，形成一条直线，y= 。
师：好，有补充吗？
生2：是一条过原点的直线。
师：看来大家对正比例函数掌握的还比较好，请大家画出y=2x的图象。
事先为学生准备好有坐标系的方格纸，留1~2两分钟，学生很快画好，教师请学生到投影仪上展示自己画的图象，并给予评价。
2.提出问题激发探究
师：请同学们在方格纸上画反比例函数y=的图象。
（绝大多数学生不假思索就开始画，留时间给学生，教师巡视）
师：哪个小组能上来展示一下自己画的图象？
生3：如图1。
师：能讲一下你是怎样画出来的吗？
生3：我是取两个点（1，2），（-1，-2），然后连接起来形成一条直线，
师：同学们认为他画的对吗？请说明理由。
（发现错误的学生很兴奋，迫不及待地想讲出自己的观点，气氛活跃）
生4：图象不能过原点（很多学生表示赞同）。
师：为什么呢？
生4：因为x不能取0，取0没有意义。
师：说的很好，那么他画的对不对呀？
生：不对。（全体同学齐声回答）
师：其他同学有不同的画法吗？
生5：如图2
师：这位同学画的对吗？不对（理由同上，全体同学回答）。
师：请大家看图3画的对吗？
生6：（指着图3）这个图象只有两个点是正确的，其他都不对，因为当x=1/2时，y=3/4点（1/2，3/4）在折线的下方，不在折线上。
师：说的很好，这个图象又被否定了，还有不同的画法吗？
（接下来学生又否定了图4的画法。）
生7：我觉得这个函数的图象没办法画。
师：（这个结论让我觉得吃惊）为什么？
生8：因为当x＞0，y＞0时，点在第一象限；而当x＜0时，y＜0时点在第三象限，第一象限的点和第三象限的点连接必然要经过y轴，而y轴上点的横坐标为0，没有意义。（该生分析得句句在理，不容质疑，充分运用了所学知识，在座听课的老师给予热烈的掌声，学生能够这样认真的思考、去探究，让我甚感欣慰，即使学生犯些错误也是可以理解，在这里学生的讨论形成一个高潮，知识的负迁移带给学生很多错误，对于得出反比例函数的图象制造了很多障碍，而恰恰是这种负迁移激励了学生的探索精神，对于学生理解函数图象的形成过程起到了不可替代的作用，可以说是“变废为宝” ）
师：我为这位同学认真的思考和严密的思维感到高兴，（教师给予很高的评价，激励学生在探索中前进，讨论气氛更加浓厚）从这个学生的结论中得出第一象限的点和第三象限的点不能连接，（还有很多学生跃跃欲试，我给了他们充分的时间和空间）还有不同的意见吗？
生9：函数的解析式不符合y=kx+b的形式，所以不能用直线画。
生10：这个函数的图象不能画出来。
生11：这个函数的图象不存在。
经历了以上充分的探索过程以后，学生已经有很多疑虑，都很想知道反比例函数的图象究竟是什么？激发起强烈的求知欲望，课堂继续进行。
师：大家之所以没有得出正确的答案，是因为没有弄清怎样作一个函数的象？请大家回忆一下，正比例函数y=2x的图象是怎样得出来的？（学生陷入深深的思考）
生12：列表，描点，连线。师：好的，那我们一起来回顾一下。
运用多媒体现场展示过程，得出以下图象（如图5）。
师：我们观察y=2x的图象上的点，有什么特点？
生13：在同一条直线上。
师：好的，现在想起来我们在画它的图象时，为什么只取两个点了吗？
生14：因为两点确定一条升直线，没有必要画很多点。
师：回答的很好，从以上经历的过程，我们要吸取怎样的教训？
生15：要先判断出函数的图象的形状，才能作出函数的图象。
师：好，看来犯错误是一件很好的事，我们吃一堑长一智。下面我们分小组合作，来画一画反比例函数y= 的图象。
（学生带着问题，带着探索的兴趣开始活动，合作得很认真）从以上学生画的过程中我注意到学生存在着两点不足：一、学生取点的个数少（5、6个特殊点），很难发现反比例函数的图象是光滑的曲线；二、仍然受画一次函数的图象的影响，两点间用直线连结，形成折线（图6）教师用电脑演示（如图7）（学生恍然大悟，原来如此）。本节课在教学中利用多媒体工具，直观地展现函数图象，把抽象、复杂的知识变的形象、生动，既节约了课堂有限的时间，也提高了学生学习的兴趣和欲望（学生在观看教师操作的过程中非常认真，被“奇妙”的图象深深吸引，产生了很好教学效果）。（练习画反比例函数y=- 的图象）
3.利用图象，得出性质
师：请同学们观察函数的图象，你发现了什么？
生1：当k＞0时，反比例函数的图象在第一、三象限。
师：你是怎样发现的？
生1：通过观察图象得到的。
生2：我是从关系式得到，当k＞0时x、y同号，所以图象在第一象限；当k＜0时x、y异号，所以图象在第三象限；
师：说得太好了，谁还能再说说？
生3：当k＞0时，y随x的增大而减小。
师：上面这位同学说的对吗？
生：对（大部分同学表示赞同）
师：真的对吗？（教师留了一点时间思考）
生4：不对，如果x=-1则y=-2；x=1则y=2，y就不是随x的增大而减小的。
师：这个反例讲的很好，看来在整个坐标系中，y不一定随x的增大而减小（当k＞0时），那怎么讲是正确的？
生：在第一象限y随x的增大而减小，在第三象限y随x的增大而减小。
师：讲的很准确，还有其他性质吗？
生：图象关于原点成中心对称图形。
学生继续讲函数的其他性质，课堂仍然很活跃。
三、教学反思
1.恰当的利用知识的负迁移。孔子說过：“知之者不如好知者，好知者不如乐知者”，只要让学生“乐之”，学习的效果一定会很明显，在本节课中，由于知识的负迁移，致使学生犯了很多错误，学生追寻着这些错误进行充分的探究、跌倒爬起，经历了一个曲折的过程，不断的得出结论，又不断地被否定，使学生产生了认知冲突，激励探索，笔者相信学生亲身经历的这个探究过程要比教师告诉的直接，得到的反比例函数的图象印象要深刻得多，以后再见到有关画反比例函数的图象的知识就会想起本节课、想起他犯过的错误。
2.不断地纠错对学生探究是有效的。在教学中，引导学生进行探究的方式、方法有很多，如有恰当的问题引导、提供有趣的教学素材等等，而本节课巧妙的运用了“纠错”的方式，一步一步地接近正确的得案：而随着探究的深入，得出的结论一次一次的被推翻，学生就越来越想知道“反比例函数的图象究竟是什么样”，这个问题就越神秘、有效的激励学生的好奇心，这样的探究是有价值的，教师在学生探究真知之旅上起到了一个组织者、促进者的作用。
3.给学生留有足够的时间和空间。真知的形成往往源于真实的自主探究，只有放开手脚，学生的潜力才能得以真正的发挥，在很多课堂中，“探究”只是留于形式，浅尝辄止，并没有得到真正的目的，而本节课教师充分调动学生的积极性，动手实践，参与讨论，如果这节课由教师或个别学生讲出反比例函数的图象是一条曲线，再来总结出其性质，缺少学生间合作交流，更多的学生是无事可做，不观察、不思考，久而久之，就养成了被动的听我讲、听同学讲，没有了自己的思考和激烈的争论，这样做无疑是与培养学生的自主探究精神背道而驰。
在教学中普遍认为，知识的负迁移对学生的学习起到负面作用，所以教师在备课时应想到如何避免学生在这方面犯错误，从而千方百计对这一知识点进行强调，但事实证明尽管我们在这方面花了很多力气，但学生的错误仍是“屡禁不止”，很是头痛，然而，错误是最好的老师，如果能恰当的用学生的这种负迁移，非但不会出现上述的情况，学生还会加深对知识的印象和理解，起到事半功倍的效果。
这节课的内容是苏科版八年级下册反比例函数的图象和性质第一课时，数学新课程标准要求：能画出反比例函数y=k/x(x≠0) 的图象，根据图象和表达式探索并理解其性质，在此前学生学过一次函数（包括正比例函数）的图象，且对一次函数的图象是一条直线的印象很深刻，所以学生必然会把“一次函数的图象是一条直线”迁移到“反比例函数的图象也是一条直线”上来，从而在学生间出现了很多的错误画法。
教学准备：分好四人合作小组，备好画有坐标系的方格纸。
二、教学过程
1.复写回顾
师：我们学过正比例函数的图象，请同学们回顾一下正比例函数的图象是什么样的？怎么画出来？
生1：是一条直线。取两点，然后连接起来，形成一条直线，y= 。
师：好，有补充吗？
生2：是一条过原点的直线。
师：看来大家对正比例函数掌握的还比较好，请大家画出y=2x的图象。
事先为学生准备好有坐标系的方格纸，留1~2两分钟，学生很快画好，教师请学生到投影仪上展示自己画的图象，并给予评价。
2.提出问题激发探究
师：请同学们在方格纸上画反比例函数y=的图象。
（绝大多数学生不假思索就开始画，留时间给学生，教师巡视）
师：哪个小组能上来展示一下自己画的图象？
生3：如图1。
师：能讲一下你是怎样画出来的吗？
生3：我是取两个点（1，2），（-1，-2），然后连接起来形成一条直线，
师：同学们认为他画的对吗？请说明理由。
（发现错误的学生很兴奋，迫不及待地想讲出自己的观点，气氛活跃）
生4：图象不能过原点（很多学生表示赞同）。
师：为什么呢？
生4：因为x不能取0，取0没有意义。
师：说的很好，那么他画的对不对呀？
生：不对。（全体同学齐声回答）
师：其他同学有不同的画法吗？
生5：如图2
师：这位同学画的对吗？不对（理由同上，全体同学回答）。
师：请大家看图3画的对吗？
生6：（指着图3）这个图象只有两个点是正确的，其他都不对，因为当x=1/2时，y=3/4点（1/2，3/4）在折线的下方，不在折线上。
师：说的很好，这个图象又被否定了，还有不同的画法吗？
（接下来学生又否定了图4的画法。）
生7：我觉得这个函数的图象没办法画。
师：（这个结论让我觉得吃惊）为什么？
生8：因为当x＞0，y＞0时，点在第一象限；而当x＜0时，y＜0时点在第三象限，第一象限的点和第三象限的点连接必然要经过y轴，而y轴上点的横坐标为0，没有意义。（该生分析得句句在理，不容质疑，充分运用了所学知识，在座听课的老师给予热烈的掌声，学生能够这样认真的思考、去探究，让我甚感欣慰，即使学生犯些错误也是可以理解，在这里学生的讨论形成一个高潮，知识的负迁移带给学生很多错误，对于得出反比例函数的图象制造了很多障碍，而恰恰是这种负迁移激励了学生的探索精神，对于学生理解函数图象的形成过程起到了不可替代的作用，可以说是“变废为宝” ）
师：我为这位同学认真的思考和严密的思维感到高兴，（教师给予很高的评价，激励学生在探索中前进，讨论气氛更加浓厚）从这个学生的结论中得出第一象限的点和第三象限的点不能连接，（还有很多学生跃跃欲试，我给了他们充分的时间和空间）还有不同的意见吗？
生9：函数的解析式不符合y=kx+b的形式，所以不能用直线画。
生10：这个函数的图象不能画出来。
生11：这个函数的图象不存在。
经历了以上充分的探索过程以后，学生已经有很多疑虑，都很想知道反比例函数的图象究竟是什么？激发起强烈的求知欲望，课堂继续进行。
师：大家之所以没有得出正确的答案，是因为没有弄清怎样作一个函数的象？请大家回忆一下，正比例函数y=2x的图象是怎样得出来的？（学生陷入深深的思考）
生12：列表，描点，连线。师：好的，那我们一起来回顾一下。
运用多媒体现场展示过程，得出以下图象（如图5）。
师：我们观察y=2x的图象上的点，有什么特点？
生13：在同一条直线上。
师：好的，现在想起来我们在画它的图象时，为什么只取两个点了吗？
生14：因为两点确定一条升直线，没有必要画很多点。
师：回答的很好，从以上经历的过程，我们要吸取怎样的教训？
生15：要先判断出函数的图象的形状，才能作出函数的图象。
师：好，看来犯错误是一件很好的事，我们吃一堑长一智。下面我们分小组合作，来画一画反比例函数y= 的图象。
（学生带着问题，带着探索的兴趣开始活动，合作得很认真）从以上学生画的过程中我注意到学生存在着两点不足：一、学生取点的个数少（5、6个特殊点），很难发现反比例函数的图象是光滑的曲线；二、仍然受画一次函数的图象的影响，两点间用直线连结，形成折线（图6）教师用电脑演示（如图7）（学生恍然大悟，原来如此）。本节课在教学中利用多媒体工具，直观地展现函数图象，把抽象、复杂的知识变的形象、生动，既节约了课堂有限的时间，也提高了学生学习的兴趣和欲望（学生在观看教师操作的过程中非常认真，被“奇妙”的图象深深吸引，产生了很好教学效果）。（练习画反比例函数y=- 的图象）
3.利用图象，得出性质
师：请同学们观察函数的图象，你发现了什么？
生1：当k＞0时，反比例函数的图象在第一、三象限。
师：你是怎样发现的？
生1：通过观察图象得到的。
生2：我是从关系式得到，当k＞0时x、y同号，所以图象在第一象限；当k＜0时x、y异号，所以图象在第三象限；
师：说得太好了，谁还能再说说？
生3：当k＞0时，y随x的增大而减小。
师：上面这位同学说的对吗？
生：对（大部分同学表示赞同）
师：真的对吗？（教师留了一点时间思考）
生4：不对，如果x=-1则y=-2；x=1则y=2，y就不是随x的增大而减小的。
师：这个反例讲的很好，看来在整个坐标系中，y不一定随x的增大而减小（当k＞0时），那怎么讲是正确的？
生：在第一象限y随x的增大而减小，在第三象限y随x的增大而减小。
师：讲的很准确，还有其他性质吗？
生：图象关于原点成中心对称图形。
学生继续讲函数的其他性质，课堂仍然很活跃。
三、教学反思
1.恰当的利用知识的负迁移。孔子說过：“知之者不如好知者，好知者不如乐知者”，只要让学生“乐之”，学习的效果一定会很明显，在本节课中，由于知识的负迁移，致使学生犯了很多错误，学生追寻着这些错误进行充分的探究、跌倒爬起，经历了一个曲折的过程，不断的得出结论，又不断地被否定，使学生产生了认知冲突，激励探索，笔者相信学生亲身经历的这个探究过程要比教师告诉的直接，得到的反比例函数的图象印象要深刻得多，以后再见到有关画反比例函数的图象的知识就会想起本节课、想起他犯过的错误。
2.不断地纠错对学生探究是有效的。在教学中，引导学生进行探究的方式、方法有很多，如有恰当的问题引导、提供有趣的教学素材等等，而本节课巧妙的运用了“纠错”的方式，一步一步地接近正确的得案：而随着探究的深入，得出的结论一次一次的被推翻，学生就越来越想知道“反比例函数的图象究竟是什么样”，这个问题就越神秘、有效的激励学生的好奇心，这样的探究是有价值的，教师在学生探究真知之旅上起到了一个组织者、促进者的作用。
3.给学生留有足够的时间和空间。真知的形成往往源于真实的自主探究，只有放开手脚，学生的潜力才能得以真正的发挥，在很多课堂中，“探究”只是留于形式，浅尝辄止，并没有得到真正的目的，而本节课教师充分调动学生的积极性，动手实践，参与讨论，如果这节课由教师或个别学生讲出反比例函数的图象是一条曲线，再来总结出其性质，缺少学生间合作交流，更多的学生是无事可做，不观察、不思考，久而久之，就养成了被动的听我讲、听同学讲，没有了自己的思考和激烈的争论，这样做无疑是与培养学生的自主探究精神背道而驰。