前不久，本人在《湖南教育•数学教师》2006•9期上，见到数学问题45：“已知存在互不相等的自然数a1、a2、…a6，且，a1+a2+…+a6=1923。求最大自然数a6的最小值。”的解答。
　　本文将上述问题如下推广：已知a1、a2、…an（n≥2）是n个互不相等的自然数，且0〈a1〈a2〈…an，a1+a2+…+an=m，求最大自然数an的值域。
　　分析解答如下：要求出最大自然数an的值域，只需要求出an的最小值与最大值，显而易见，当a1、a2、…an-1，同时取得最小值a1=1，a2=2，…an-1=n-1时，an最大=m-（a1+a2+…an-1）=m-12 n（n-1）。当a1、a2、…an-1同时取得最大值时，an就取得最小值。有题设可知，a2≥a1+1，a3≥a1+2，…an≥a1+n-1。于是，a1+a2+…an≥na1+12n（n-1），即m≥na1+12n（n-1）①，设a1的最大整数解为M。①式右边是首项a1=M的n个连续自然数之和，若m=nM+12n（n-1），令m-[nM+12 n（n-1）]=K，因0〈a1〈a2〈…〈an，a1+a2+…+an=m，故当a1=M时，只需将数列M、（M+1）、（M+2）、…（M+n-1）的后面K个数分别加上1，这样，a1、a2、…an-1均取得最大值，且a1+a2+…an=m，此时，an最小=M+n。
　　综上可知，最大自然数an的值域是：当m=nM+12n（n-1）时，M+n-1≤an≤m+12n（n-1），an∈N②；当m〉nM+12n（n-1）时，M+n≤an≤m+12n（n-1），an∈N③。
　　运用上面的结论解答下列问题：（1）数学问题45，（2）已知a1、a2、…a8是八个互不相等的自然数，且0〈a1〈a2〈…a8，a1+a2+…+a8=2008，求最大自然数a8的值域，以及a8取得最小值时，a1、a2、…a7的值。
　　解：（1）将n=6，m=1923代入①得，1923≥6a1+12•6•5。a1≤318，M=318。因1923=6×318+12•6•5，由（2）可知，a6最小=318+6-1=323。
　　（2）将n=8，m=2008代入①得，2008≥8a1+12•8•7，a1≤247.5，M=247。因2008〉8×247+12•8•7，由（3）可知，a8的值域是255≤a8≤1980，a8∈N。当a8最小=255时，当a1、a2、…a7的值分别是：247、248、249、250、252、253、254。
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