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【摘要】本文选取了人教版和苏教版两种教材中的数学史内容作为主要的文本分析对象，以量化比较的方法对其数学史的呈现情况进行了系统的比较，深入地讨论了它们在史料分布、内容选择和运用层次上的共性和差异，最后对数学史融入小学數学教材提出三个改善建议.
【关键词】小学数学教材;数学史;比较研究;苏教版;人教版
一、问题的提出
数学史为我们生动地呈现了人类文化史上“用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”的典型案例，对于培养学生的数学眼光、训练数学思维、锤炼数学语言有着不可替代的独特作用.《义务教育数学课程标准（ 2011 年版）》中指出：“数学文化作为教材的组成部分，应该渗透在整套教材中.”为此，教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用，以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解在人类文明发展中数学的作用，激发学生学习数学的兴趣，让学生感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美[1] .因此，作为数学教材体系中的最基础部分，数学史在小学数学教材中的呈现情况会对小学生数学眼光的培养、数学思维的训练和数学语言的锤炼产生重要的持久影响.那么，在目前的小学数学教材中，数学史的呈现状况到底如何呢？
通过文献检索，我们发现，国内学者对教材中数学史问题的研究主要集中在两种类型上：其一是对教材中的数学史进行数量与类型的统计与分析;其二是对数学史融入教材的特定方面如呈现方式、融入原则等的深入讨论.在深入研读的过程中，我们得出两个基本结论：纵向上看，对小学数学教材中数学史的运用层次的精确衡量还比较少见;横向上看，对不同版本小学数学教材中数学史呈现问题的比较研究还非常缺乏.为了更加深入地推进此领域的研究，我们有必要在纵向和横向两个方面做出努力，选择最合适的研究方法来深入其中.在学术研究领域，量化研究和比较研究都是非常重要的研究方法，也都有各自独特的适用范围.量化比较的方法则是将量化和比较结合起来，在二者正好可以交叠的适用范围内加以适用，可以最大限度地发挥二者的协同优势[2] .
基于以上认识，我们选取了人教版和苏教版两种教材共24册内容作为主要的文本分析对象，以量化比较的方法对其数学史的呈现情况进行了系统的比较，深入地讨论了它们在史料分布、内容选择和运用层次上的共性和差异.
二、研究的思路及方法
我们的研究思路是，以史料分布、内容选择和运用层次的三维分析模型去对两个版本共计24册的教材文本进行定量化的比较研究，在此基础上得出相对可靠的理论认识.
在史料分布的分析维度上，包括了板块分布、位置分布和国别分布等三个子维度;在内容选择的分析维度上，涵盖了数学家生平、数学历史名题、综合专题、数学思想方法、其他文化等五个子维度;在运用层次的分析维度上，则涵盖了运用方式和运用水平两个子维度.
基于对教材中数学史与数学知识的关联程度的差异，汪晓勤对运用方式的问题给出了一个涵盖点缀式、附加式、复制式、顺应式与重构式的分析框架[3]，在本研究中，我们也将借用这一框架去分析运用方式问题.覃淋则在汪晓勤分析框架的基础上创造性地提出了一个新的量化处理公式A=∑AiBi[]n（i=1，2，3，4，5）[4]，为我们测量运用水平的问题提供了较好的解决方案.
我们的研究方法以文本分析和定量统计为主，其他方法为辅.
三、数学史的史料分布与内容选择
（一）数学史的史料分布
1.板块分布
根据《义务教育数学课程标准（2011版）》（以下简称《标准》），小学学段的数学课程内容包括数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践等四个板块[1].
根据我们的统计，分别有51处、52处数学史的相关材料出现在人教版和苏教版的教材中，可以看出，在总体的数量上相差无几.我们通过进一步的分析发现，在两版教材中，数学史的呈现多是集中于“数与代数”部分，其中，在人教版中比例占到76.47%，在苏教版中比例占到75%，两者的差异不显著.“图形与几何”部分在两个版本中所占的比例分别为19.61%，23.08%，有一定差异.两个版本的教材中数学史在“统计与概率”和“综合与实践”两个部分总体分布极少，大约仅占2%.在人教版的“综合与实践”部分，多以生活、游戏等形式来呈现数学史的内容;在苏教版的“数学活动”中，多以各种类型的专题形式出现，如以“有趣的七巧板”“我们身体上的‘尺’”为内容的数学史模块，每个主题活动的篇幅在2页左右.
2.位置分布
这里所讲的位置分布，是指数学史料在教材文本中所处位置的具体分布情形.根据我们对文本的分析，数学史料的呈现基本上都集中在正文（不含例题）、旁白、练习题与阅读材料（这里所说的阅读材料，主要指正文以外的补充性内容，包含探究栏目、数学活动等）四个位置.我们将根据数学史在这四种位置的具体分布情形去展开相应的讨论.
根据我们的统计，两个版本教材的数学史料都主要集中于“阅读材料”，分别占比为72.54%和62.23%.值得注意的是，两个版本教材的“练习题”中出现数学史料的量虽不及“阅读材料”，但却远远高于“正文”和“旁白”两部分.两个版本教材数学史料在“正文”“旁白”中分布均匀，但占比不大.两个版本教材“正文”中的数学史料往往出现在知识情境的引入部分.
同时，我们在研究中发现，人教版和苏教版在“练习题”部分所占比例差异较大，苏教版在教材编制时更加注重与练习题的融合，注重在练习题中渗透数学史料.
3.国别分布
人们常说，科学无国界，但科学家有祖国.在教材的编制上，所用材料的国家性或民族性也在情理之中，尤其在数学史这种文化性的材料的使用上更是如此.带着这种预设，我们将数学史料按所属国度的情况分为中国、外国、中西综合、不突显国家等四种类型. 根据统计，两个版本教材中的数学史料都具有鲜明的国别特色，在两个版本的教材中都大量使用了中国特色的古代数学问题，这也再次印证了教材中数学史料的民族性的客观存在[5].
相对而言，如图1和图2所示，两个版本的教材中关于“外国”的数学史料比例较均匀，分别为17%，18%.可见，两版教材在对待“外国”数学史料的选择数量或重视程度上是几乎无显著差异的.
苏教版教材在编排时，更加注重将中外涉及相同主题的数学史料综合在一起进行渗透，在相关知识点的呈现形式上，更加充分地体现了中西数学文化的融合与交流，相对而言，人教版教材在编排时，这种中西渗透的史料在该方面则略显单薄.
人教版的“不突显国家”的数学史料占比大于苏教版，人教版的占比8%，苏教版的占比4%，由此是否可以猜测人教版在选择数学史料时偏重“中立性”原则，有意淡化数学史料的国别色彩.
（二）数学史的内容选择
我们在此将数学史呈现的内容分为以下五个类型[6]：数学家生平、数学历史名题、综合专题（出现在阅读、探究等栏目中，包含多项数学史料）、数学思想方法、其他文化（包含数学术语介绍、绘画与艺术领域或者无显性特征资料等）[3].
从统计中发现，关于数学家生平的内容在两个版本的教材中都很少出现，即使出现的时候也是语焉不详，其中在人教版中只有1处介绍，在苏教版中也只有2处介绍.
人教版教材中出现最多的是数学历史名题和综合专题，均占31.37%，其次是其他文化部分，占比为29.41%，数学思想方法部分仅占5.88%.苏教版教材中出现最多的是其他文化，占32.69%，而在数学历史名题、数学思想方法与综合专题上分布均匀，分别占21.15%，23.08%，21.15%.
值得注意的是，关于数学思想方法方面的数学史料，人教版教材与苏教版教材差异最大.这表明苏教版教材在数学史渗透过程中，更注重揭示数学知识的内在联系，发现思维规律，培养学生的思维能力.
四、数学史呈现的运用层次
我们对数学史呈现的运用层次的考查，主要从运用方式和运用水平两个方面来讨论.我们在这个部分所借鉴的理论工具主要是汪晓勤的分析框架[3]和覃淋对运用数学史的水平的量化处理法[4].
（一）数学史的运用方式
随着人们对数学史与数学教育之间关系认识的不断加深，数学史在教材中的呈现形式也在不断变化.在借鉴Tzanakis，Arcavi，Jankvist等国外学者分析思路的基础上，根据数学史与数学知识之间关联程度的差异，汪晓勤教授提出了一个讨论在数学教材中数学史的运用方式的分析框架.在这个框架中，他系统地论述了数学史运用中随着运用水平逐级提升的5种运用方式，即点缀式、附加式、复制式、顺应式和重构式[7].
可以看出，两个版本数学教材中数学史的运用形式以“附加式”所占比例最大，其中，人教版教材占39%，苏教版教材占48%.相对而言，复制、顺应和重构等三种方式在两个版本教材中的具体运用比例呈现出了明显的差异.
复制、顺应与重构在数学史料的运用层次上，属于较高的水平.复制具有很好的历史再现，能够还原历史事实;顺应式直接将古代的史料转化为适用于今日教学的材料，即是对数学史料的化古为今[5];重构式再现了数学知识的发生、发展过程，具有继往开来的历史意义.因此，两版教材在这三种方式的运用差异上能反映出其对数学史渗透的理念上的不同.
总体而言，人教版教材中数学史料的呈现以附加、复制、顺应为主，在用历史发生原理呈现数学知识的“重构式”的运用比例上，只有10%.相对而言，苏教版教材中“重构式”的运用比例则占到了25%，多出现在正文知识的引入和数学活动中.因此，只有将教材心理学化，才能使之更加适合儿童的生活经验和心理水平.所以，在数学教材的编写过程中，如何将数学史料加以心理学化的加工与重构，使之更加适合现代儿童的学习心理，是一个特别值得重视的问題.很明显，苏教版在数学史心理学化的方面有更加深入的考虑.
（二）数学史的运用水平
为进一步分析教材中数学史料的使用情况，我们对两个版本各十二册教材中种种数学史料运用方式的数量加以统计，结果如下表（“数1”中的“1”表示一年级，2，3，4，5，6同理可得）.
在统计的基础上，我们从两个方面进行了系统的量化比较：其一，对两个版本数学教材数学史料的运用水平的量化比较;其二，对同一版本教材中不同册次数学史料的运用水平的量化比较.
通过计算和比较，可以得出如下结论：
（1）总体而言，两个版本数学教材数学史料的运用水平差异不显著，分别为A人=2.98，A苏=2.96;
（2）两个版本小学数学6个年级教材中，各自运用数学史料的水平最高的，人教版是 A数5=3.7，苏教版是A数4 =3.2;
（3）各自运用数学史料的水平最低的，人教版是A数3=2，苏教版是 A数2=2.2;
（4）人教版数学史料运用水平较高的集中在4～6年级这样的高年级段，而苏教版6个学段数学史的运用水平比较均衡，差异不显著;
（5）苏教版在1～4年级数学史料的运用水平都高于或等于人教版，而在5，6年级则低于人教版;
（6）人教版中点缀、附加和重构三种运用方式的运用水平低于苏教版;
（7）人教版中复制和顺应两种运用方式的运用水平高于苏教版.
五、两版教材在数学史呈现上的差异与共性
在对苏教版和人教版小学数学教材中数学史料的分布、内容选择和运用层次进行全面的比较和分析的基础上，我们发现两版教材在数学史呈现方面存在四个典型的差异和五个共同的特征.
四个典型差异： 第一，苏教版教材在编制时更加注重与练习题的融合，注重在练习题中渗透数学史料;第二，苏教版教材在编排时，选取的角度更加注重东西方文化的融合，更加注重将中外涉及相同主题的数学史料综合在一起进行渗透;第三，苏教版教材在数学史料渗透的过程中，更注重揭示数学知识的内在联系，发现思维规律，培养学生思维能力;第四，苏教版更注重对教材中的数学史料进行适当加工与重构，更关注现代小学生的接受水平.
五个共同特征：
第一，数学史料的渗透总体上较少，而且各模块分布不均匀，两个版本数学教材中涉及的数学史内容仅有50余处，平均每本教材还不到 10 处，主要分布在“数与代数”部分;第二，两个版本教材的数学史料不仅以阅读材料的形式呈现，在正文、习题中都有相应体现，但是主要集中于“阅读材料”部分，在正文、练习题和旁白部分则相对较少;第三，数学史料的国别分布相对单一，史料选材较为偏向本国古代的数学史，史料介绍也比较简单;第四，数学史料在内容的选择上有所扩充，两个版本教材中都增加了以专题形式出现的数学史料，比如方程史话、几何学起源等;第五，数学史料在教材中的运用方式从以点缀式为主走向了以附加式为主，这有效地增加了趣味性与可读性，但是，65%的数学史料仍以显性的方式直接呈现，仍以附加式、复制式、顺应式为主，真正将数学史与数学教育有机融合的重构式则运用不足.
六、关于改善数学史呈现的三个建议
（一）增加数学史料呈现的多样性
正如有些学者所说，数学的不断发展得益于不同国度、不同民族、不同学科在参与数学知识大厦建造过程中的相互交流和共同进步[5].以多种视角呈现数学史料，增加数学史料的多样性，才能更好地展示丰富、伟大的数学成就，增强儿童对科学的吸引力.为了增加数学史料的多样性，我们提出以下具体建议：
1.人教版数学教材可以不分国度地呈现数学史料
研究发现，人教版数学教材中的数学史料更多关注本国的数学文化，对国外数学史的关注较少.其实，人教版教材可以借鉴苏教版的经验，不分国度地呈现同一知识点所涉及的主要数学史料，这样便于学生以更加开阔的视野来了解数学知识的发生与发展过程.
2.增加对数学家的生平及其数学思想方法的介绍
研究发现，目前的数学教材中所呈现出的数学史料都以名题居多，对数学家的生平、数学思想方法的介绍较少.我们认为，数学知识总是来源于数学家的创造性智慧，与数学家的成长经历或思想背景是分不开的，因此，如果教材增加对数学家的生平及其数学思想方法的介绍，就会让学生看到数学知识背后的人文魅力，从而引导他们将数学知识的学习联系到自身的成长与发展方面来.
3.在正文和练习题中适当增加数学史料的分量
研究发现，目前的数学教材中，数学史料多是以阅读材料的形式来呈现，在正文、练习题中出现得非常少.其实，数学教材的正文和练习题如果能够适当增加数学史料的内容，就会让正文和练习题活泛起来，使其更具有别样的学科情境性，从而更好地对培养学生的数学兴趣产生潜移默化的效果.
4.在综合与实践、统计与概率两个模块增加以数学史为载体的数学活动
研究发现，目前的数学教材中，数学史的渗透很少在统计与概率、综合与实践两个模块出现.其实，这两个模块依然是渗透数学史、增强学科吸引力的重要部分，因此可以增加以数学史为载体的数学活动，以增加趣味性，提高学生的参与度，从而强化学生对数学学习的兴趣.
总之，教材对数学史的渗透，不仅要注重数量的增加，更要注重以更加丰富的形式呈现题材更加丰富、选材视角更加开拓、分布范围更加广泛的数学史料.
（二）在更高的运用水平上去进行数学史料的呈现
研究发现，人教版教材中对数学史的运用多以运用水平较低的附加式、复制式为主，相比而言，苏教版教材更加注重通过对数学历史问题进行适当改编以达到融会贯通的目的，也更加注重对知识的发生与发展进行重构，以历史发生原理来加以呈现.
例如，在苏教版小学教材五年级上册中，呈现“负数的初步认识”内容时，教材提供了“负数的产生历史”这一史料，主要对《九章算术》中关于负数“正算赤，负算黑”的算筹计数法以及“增产为正，减产为负;收入为正，支出为负;盈余为正，亏欠为负”的农商业应用进行了介绍，还指出拒绝承认负数在16世纪的欧洲竟然是大多数数学家的普遍反映.这样，就巧妙地创设出了一个立体而真实的数学史情境，负数概念的历史形成过程就得到了更加清晰、完整地呈现，如此一来，在理解、接纳和应用概念的过程中，学生才能够更加主动且有效地对概念进行建构，相应地，教学效率也会大大提高.
当然，高水平的呈现方式也对教师的数学史素养提出了更高的要求.教师要对数学史在数学教育中的重要价值有充分的认识，重视提升自身在数学史知识上的了解程度，能够基于情境的需要对数学史料进行适于儿童的加工，这样才能达到“用数学史料”而不是“教数学史料”的最佳教学效果.
（三）平衡各学段的数学史呈现
首先，从客观事实来看，数学史不一定必须集中在高学段.苏教版的教材编写和实施情况就提供了現实的佐证.任何学科的基本结构和核心概念都能够以适宜的形式教授给任何年龄段的儿童，数学史的渗透同样符合这个规律.所以，只要形式适合于儿童的心理结构，同样可以在低学段进行数学史的渗透.
其次，从儿童心理发展特征来看，小学阶段的儿童在思维方式上以形象思维和感性认识为主，所以，教材自身内容上的趣味性对他们很重要.教师在深入研究如何以适当的形式将数学史呈现给不同年龄段的儿童的基础上，就可以在各个学段以最恰当的方式融数学史于教材之中，在有效激发他们数学兴趣的同时，培养他们的数学眼光，训练他们的数学思维，甚至锤炼他们的数学语言.
最后，从数学和数学史本身的内容来看，小学低学段的许多数学知识都有对应的数学史料[8]，数学史的呈现过程就是数学知识的发生、发展过程[9]，教师只要能注重对数学史料进行符合儿童学习心理的加工转化，就可以以相应学段儿童可以接受的方式来呈现.
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2]李伯重.量化与比较：量化比较方法在中国经济史研究中的运用[J].思想战线，2018（01）：53-64.
[3]汪晓勤.法国初中数学教材中的数学史[J].数学通报，2012（03）：16-20，23.
[4]覃淋.台湾初中数学教材中的数学史[J].中学数学杂志，2017（04）：33-37.
[5]蒲淑萍，汪晓勤.教材中的数学史：目标、内容、方式与质量标准研究[J].课程.教材.教法，2015（03）：53-57.
[6]蒲淑萍，汪晓勤.数学史怎样融入数学教材：以中、法初中数学教材为例[J].课程·教材·教法，2012（08）：63-68.
[7]刘曌，杨光伟.中日初中新教材中数学史融入的比较研究：以日本东京版数学教材与人教版初一数学教材为例[J].中学数学月刊，2013（10）：28-30.
[8]李盈盈.小学数学教科书中数学文化的呈现研究：以人教版教科书为例[D].长沙：湖南师范大学，2018.
[9]杨豫晖，魏佳，宋乃庆.小学数学教材中数学史的内容及呈现方式探析[J].数学教育学报，2007（04）：80-83.
【关键词】小学数学教材;数学史;比较研究;苏教版;人教版
一、问题的提出
数学史为我们生动地呈现了人类文化史上“用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”的典型案例，对于培养学生的数学眼光、训练数学思维、锤炼数学语言有着不可替代的独特作用.《义务教育数学课程标准（ 2011 年版）》中指出：“数学文化作为教材的组成部分，应该渗透在整套教材中.”为此，教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用，以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解在人类文明发展中数学的作用，激发学生学习数学的兴趣，让学生感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美[1] .因此，作为数学教材体系中的最基础部分，数学史在小学数学教材中的呈现情况会对小学生数学眼光的培养、数学思维的训练和数学语言的锤炼产生重要的持久影响.那么，在目前的小学数学教材中，数学史的呈现状况到底如何呢？
通过文献检索，我们发现，国内学者对教材中数学史问题的研究主要集中在两种类型上：其一是对教材中的数学史进行数量与类型的统计与分析;其二是对数学史融入教材的特定方面如呈现方式、融入原则等的深入讨论.在深入研读的过程中，我们得出两个基本结论：纵向上看，对小学数学教材中数学史的运用层次的精确衡量还比较少见;横向上看，对不同版本小学数学教材中数学史呈现问题的比较研究还非常缺乏.为了更加深入地推进此领域的研究，我们有必要在纵向和横向两个方面做出努力，选择最合适的研究方法来深入其中.在学术研究领域，量化研究和比较研究都是非常重要的研究方法，也都有各自独特的适用范围.量化比较的方法则是将量化和比较结合起来，在二者正好可以交叠的适用范围内加以适用，可以最大限度地发挥二者的协同优势[2] .
基于以上认识，我们选取了人教版和苏教版两种教材共24册内容作为主要的文本分析对象，以量化比较的方法对其数学史的呈现情况进行了系统的比较，深入地讨论了它们在史料分布、内容选择和运用层次上的共性和差异.
二、研究的思路及方法
我们的研究思路是，以史料分布、内容选择和运用层次的三维分析模型去对两个版本共计24册的教材文本进行定量化的比较研究，在此基础上得出相对可靠的理论认识.
在史料分布的分析维度上，包括了板块分布、位置分布和国别分布等三个子维度;在内容选择的分析维度上，涵盖了数学家生平、数学历史名题、综合专题、数学思想方法、其他文化等五个子维度;在运用层次的分析维度上，则涵盖了运用方式和运用水平两个子维度.
基于对教材中数学史与数学知识的关联程度的差异，汪晓勤对运用方式的问题给出了一个涵盖点缀式、附加式、复制式、顺应式与重构式的分析框架[3]，在本研究中，我们也将借用这一框架去分析运用方式问题.覃淋则在汪晓勤分析框架的基础上创造性地提出了一个新的量化处理公式A=∑AiBi[]n（i=1，2，3，4，5）[4]，为我们测量运用水平的问题提供了较好的解决方案.
我们的研究方法以文本分析和定量统计为主，其他方法为辅.
三、数学史的史料分布与内容选择
（一）数学史的史料分布
1.板块分布
根据《义务教育数学课程标准（2011版）》（以下简称《标准》），小学学段的数学课程内容包括数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践等四个板块[1].
根据我们的统计，分别有51处、52处数学史的相关材料出现在人教版和苏教版的教材中，可以看出，在总体的数量上相差无几.我们通过进一步的分析发现，在两版教材中，数学史的呈现多是集中于“数与代数”部分，其中，在人教版中比例占到76.47%，在苏教版中比例占到75%，两者的差异不显著.“图形与几何”部分在两个版本中所占的比例分别为19.61%，23.08%，有一定差异.两个版本的教材中数学史在“统计与概率”和“综合与实践”两个部分总体分布极少，大约仅占2%.在人教版的“综合与实践”部分，多以生活、游戏等形式来呈现数学史的内容;在苏教版的“数学活动”中，多以各种类型的专题形式出现，如以“有趣的七巧板”“我们身体上的‘尺’”为内容的数学史模块，每个主题活动的篇幅在2页左右.
2.位置分布
这里所讲的位置分布，是指数学史料在教材文本中所处位置的具体分布情形.根据我们对文本的分析，数学史料的呈现基本上都集中在正文（不含例题）、旁白、练习题与阅读材料（这里所说的阅读材料，主要指正文以外的补充性内容，包含探究栏目、数学活动等）四个位置.我们将根据数学史在这四种位置的具体分布情形去展开相应的讨论.
根据我们的统计，两个版本教材的数学史料都主要集中于“阅读材料”，分别占比为72.54%和62.23%.值得注意的是，两个版本教材的“练习题”中出现数学史料的量虽不及“阅读材料”，但却远远高于“正文”和“旁白”两部分.两个版本教材数学史料在“正文”“旁白”中分布均匀，但占比不大.两个版本教材“正文”中的数学史料往往出现在知识情境的引入部分.
同时，我们在研究中发现，人教版和苏教版在“练习题”部分所占比例差异较大，苏教版在教材编制时更加注重与练习题的融合，注重在练习题中渗透数学史料.
3.国别分布
人们常说，科学无国界，但科学家有祖国.在教材的编制上，所用材料的国家性或民族性也在情理之中，尤其在数学史这种文化性的材料的使用上更是如此.带着这种预设，我们将数学史料按所属国度的情况分为中国、外国、中西综合、不突显国家等四种类型. 根据统计，两个版本教材中的数学史料都具有鲜明的国别特色，在两个版本的教材中都大量使用了中国特色的古代数学问题，这也再次印证了教材中数学史料的民族性的客观存在[5].
相对而言，如图1和图2所示，两个版本的教材中关于“外国”的数学史料比例较均匀，分别为17%，18%.可见，两版教材在对待“外国”数学史料的选择数量或重视程度上是几乎无显著差异的.
苏教版教材在编排时，更加注重将中外涉及相同主题的数学史料综合在一起进行渗透，在相关知识点的呈现形式上，更加充分地体现了中西数学文化的融合与交流，相对而言，人教版教材在编排时，这种中西渗透的史料在该方面则略显单薄.
人教版的“不突显国家”的数学史料占比大于苏教版，人教版的占比8%，苏教版的占比4%，由此是否可以猜测人教版在选择数学史料时偏重“中立性”原则，有意淡化数学史料的国别色彩.
（二）数学史的内容选择
我们在此将数学史呈现的内容分为以下五个类型[6]：数学家生平、数学历史名题、综合专题（出现在阅读、探究等栏目中，包含多项数学史料）、数学思想方法、其他文化（包含数学术语介绍、绘画与艺术领域或者无显性特征资料等）[3].
从统计中发现，关于数学家生平的内容在两个版本的教材中都很少出现，即使出现的时候也是语焉不详，其中在人教版中只有1处介绍，在苏教版中也只有2处介绍.
人教版教材中出现最多的是数学历史名题和综合专题，均占31.37%，其次是其他文化部分，占比为29.41%，数学思想方法部分仅占5.88%.苏教版教材中出现最多的是其他文化，占32.69%，而在数学历史名题、数学思想方法与综合专题上分布均匀，分别占21.15%，23.08%，21.15%.
值得注意的是，关于数学思想方法方面的数学史料，人教版教材与苏教版教材差异最大.这表明苏教版教材在数学史渗透过程中，更注重揭示数学知识的内在联系，发现思维规律，培养学生的思维能力.
四、数学史呈现的运用层次
我们对数学史呈现的运用层次的考查，主要从运用方式和运用水平两个方面来讨论.我们在这个部分所借鉴的理论工具主要是汪晓勤的分析框架[3]和覃淋对运用数学史的水平的量化处理法[4].
（一）数学史的运用方式
随着人们对数学史与数学教育之间关系认识的不断加深，数学史在教材中的呈现形式也在不断变化.在借鉴Tzanakis，Arcavi，Jankvist等国外学者分析思路的基础上，根据数学史与数学知识之间关联程度的差异，汪晓勤教授提出了一个讨论在数学教材中数学史的运用方式的分析框架.在这个框架中，他系统地论述了数学史运用中随着运用水平逐级提升的5种运用方式，即点缀式、附加式、复制式、顺应式和重构式[7].
可以看出，两个版本数学教材中数学史的运用形式以“附加式”所占比例最大，其中，人教版教材占39%，苏教版教材占48%.相对而言，复制、顺应和重构等三种方式在两个版本教材中的具体运用比例呈现出了明显的差异.
复制、顺应与重构在数学史料的运用层次上，属于较高的水平.复制具有很好的历史再现，能够还原历史事实;顺应式直接将古代的史料转化为适用于今日教学的材料，即是对数学史料的化古为今[5];重构式再现了数学知识的发生、发展过程，具有继往开来的历史意义.因此，两版教材在这三种方式的运用差异上能反映出其对数学史渗透的理念上的不同.
总体而言，人教版教材中数学史料的呈现以附加、复制、顺应为主，在用历史发生原理呈现数学知识的“重构式”的运用比例上，只有10%.相对而言，苏教版教材中“重构式”的运用比例则占到了25%，多出现在正文知识的引入和数学活动中.因此，只有将教材心理学化，才能使之更加适合儿童的生活经验和心理水平.所以，在数学教材的编写过程中，如何将数学史料加以心理学化的加工与重构，使之更加适合现代儿童的学习心理，是一个特别值得重视的问題.很明显，苏教版在数学史心理学化的方面有更加深入的考虑.
（二）数学史的运用水平
为进一步分析教材中数学史料的使用情况，我们对两个版本各十二册教材中种种数学史料运用方式的数量加以统计，结果如下表（“数1”中的“1”表示一年级，2，3，4，5，6同理可得）.
在统计的基础上，我们从两个方面进行了系统的量化比较：其一，对两个版本数学教材数学史料的运用水平的量化比较;其二，对同一版本教材中不同册次数学史料的运用水平的量化比较.
通过计算和比较，可以得出如下结论：
（1）总体而言，两个版本数学教材数学史料的运用水平差异不显著，分别为A人=2.98，A苏=2.96;
（2）两个版本小学数学6个年级教材中，各自运用数学史料的水平最高的，人教版是 A数5=3.7，苏教版是A数4 =3.2;
（3）各自运用数学史料的水平最低的，人教版是A数3=2，苏教版是 A数2=2.2;
（4）人教版数学史料运用水平较高的集中在4～6年级这样的高年级段，而苏教版6个学段数学史的运用水平比较均衡，差异不显著;
（5）苏教版在1～4年级数学史料的运用水平都高于或等于人教版，而在5，6年级则低于人教版;
（6）人教版中点缀、附加和重构三种运用方式的运用水平低于苏教版;
（7）人教版中复制和顺应两种运用方式的运用水平高于苏教版.
五、两版教材在数学史呈现上的差异与共性
在对苏教版和人教版小学数学教材中数学史料的分布、内容选择和运用层次进行全面的比较和分析的基础上，我们发现两版教材在数学史呈现方面存在四个典型的差异和五个共同的特征.
四个典型差异： 第一，苏教版教材在编制时更加注重与练习题的融合，注重在练习题中渗透数学史料;第二，苏教版教材在编排时，选取的角度更加注重东西方文化的融合，更加注重将中外涉及相同主题的数学史料综合在一起进行渗透;第三，苏教版教材在数学史料渗透的过程中，更注重揭示数学知识的内在联系，发现思维规律，培养学生思维能力;第四，苏教版更注重对教材中的数学史料进行适当加工与重构，更关注现代小学生的接受水平.
五个共同特征：
第一，数学史料的渗透总体上较少，而且各模块分布不均匀，两个版本数学教材中涉及的数学史内容仅有50余处，平均每本教材还不到 10 处，主要分布在“数与代数”部分;第二，两个版本教材的数学史料不仅以阅读材料的形式呈现，在正文、习题中都有相应体现，但是主要集中于“阅读材料”部分，在正文、练习题和旁白部分则相对较少;第三，数学史料的国别分布相对单一，史料选材较为偏向本国古代的数学史，史料介绍也比较简单;第四，数学史料在内容的选择上有所扩充，两个版本教材中都增加了以专题形式出现的数学史料，比如方程史话、几何学起源等;第五，数学史料在教材中的运用方式从以点缀式为主走向了以附加式为主，这有效地增加了趣味性与可读性，但是，65%的数学史料仍以显性的方式直接呈现，仍以附加式、复制式、顺应式为主，真正将数学史与数学教育有机融合的重构式则运用不足.
六、关于改善数学史呈现的三个建议
（一）增加数学史料呈现的多样性
正如有些学者所说，数学的不断发展得益于不同国度、不同民族、不同学科在参与数学知识大厦建造过程中的相互交流和共同进步[5].以多种视角呈现数学史料，增加数学史料的多样性，才能更好地展示丰富、伟大的数学成就，增强儿童对科学的吸引力.为了增加数学史料的多样性，我们提出以下具体建议：
1.人教版数学教材可以不分国度地呈现数学史料
研究发现，人教版数学教材中的数学史料更多关注本国的数学文化，对国外数学史的关注较少.其实，人教版教材可以借鉴苏教版的经验，不分国度地呈现同一知识点所涉及的主要数学史料，这样便于学生以更加开阔的视野来了解数学知识的发生与发展过程.
2.增加对数学家的生平及其数学思想方法的介绍
研究发现，目前的数学教材中所呈现出的数学史料都以名题居多，对数学家的生平、数学思想方法的介绍较少.我们认为，数学知识总是来源于数学家的创造性智慧，与数学家的成长经历或思想背景是分不开的，因此，如果教材增加对数学家的生平及其数学思想方法的介绍，就会让学生看到数学知识背后的人文魅力，从而引导他们将数学知识的学习联系到自身的成长与发展方面来.
3.在正文和练习题中适当增加数学史料的分量
研究发现，目前的数学教材中，数学史料多是以阅读材料的形式来呈现，在正文、练习题中出现得非常少.其实，数学教材的正文和练习题如果能够适当增加数学史料的内容，就会让正文和练习题活泛起来，使其更具有别样的学科情境性，从而更好地对培养学生的数学兴趣产生潜移默化的效果.
4.在综合与实践、统计与概率两个模块增加以数学史为载体的数学活动
研究发现，目前的数学教材中，数学史的渗透很少在统计与概率、综合与实践两个模块出现.其实，这两个模块依然是渗透数学史、增强学科吸引力的重要部分，因此可以增加以数学史为载体的数学活动，以增加趣味性，提高学生的参与度，从而强化学生对数学学习的兴趣.
总之，教材对数学史的渗透，不仅要注重数量的增加，更要注重以更加丰富的形式呈现题材更加丰富、选材视角更加开拓、分布范围更加广泛的数学史料.
（二）在更高的运用水平上去进行数学史料的呈现
研究发现，人教版教材中对数学史的运用多以运用水平较低的附加式、复制式为主，相比而言，苏教版教材更加注重通过对数学历史问题进行适当改编以达到融会贯通的目的，也更加注重对知识的发生与发展进行重构，以历史发生原理来加以呈现.
例如，在苏教版小学教材五年级上册中，呈现“负数的初步认识”内容时，教材提供了“负数的产生历史”这一史料，主要对《九章算术》中关于负数“正算赤，负算黑”的算筹计数法以及“增产为正，减产为负;收入为正，支出为负;盈余为正，亏欠为负”的农商业应用进行了介绍，还指出拒绝承认负数在16世纪的欧洲竟然是大多数数学家的普遍反映.这样，就巧妙地创设出了一个立体而真实的数学史情境，负数概念的历史形成过程就得到了更加清晰、完整地呈现，如此一来，在理解、接纳和应用概念的过程中，学生才能够更加主动且有效地对概念进行建构，相应地，教学效率也会大大提高.
当然，高水平的呈现方式也对教师的数学史素养提出了更高的要求.教师要对数学史在数学教育中的重要价值有充分的认识，重视提升自身在数学史知识上的了解程度，能够基于情境的需要对数学史料进行适于儿童的加工，这样才能达到“用数学史料”而不是“教数学史料”的最佳教学效果.
（三）平衡各学段的数学史呈现
首先，从客观事实来看，数学史不一定必须集中在高学段.苏教版的教材编写和实施情况就提供了現实的佐证.任何学科的基本结构和核心概念都能够以适宜的形式教授给任何年龄段的儿童，数学史的渗透同样符合这个规律.所以，只要形式适合于儿童的心理结构，同样可以在低学段进行数学史的渗透.
其次，从儿童心理发展特征来看，小学阶段的儿童在思维方式上以形象思维和感性认识为主，所以，教材自身内容上的趣味性对他们很重要.教师在深入研究如何以适当的形式将数学史呈现给不同年龄段的儿童的基础上，就可以在各个学段以最恰当的方式融数学史于教材之中，在有效激发他们数学兴趣的同时，培养他们的数学眼光，训练他们的数学思维，甚至锤炼他们的数学语言.
最后，从数学和数学史本身的内容来看，小学低学段的许多数学知识都有对应的数学史料[8]，数学史的呈现过程就是数学知识的发生、发展过程[9]，教师只要能注重对数学史料进行符合儿童学习心理的加工转化，就可以以相应学段儿童可以接受的方式来呈现.
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2]李伯重.量化与比较：量化比较方法在中国经济史研究中的运用[J].思想战线，2018（01）：53-64.
[3]汪晓勤.法国初中数学教材中的数学史[J].数学通报，2012（03）：16-20，23.
[4]覃淋.台湾初中数学教材中的数学史[J].中学数学杂志，2017（04）：33-37.
[5]蒲淑萍，汪晓勤.教材中的数学史：目标、内容、方式与质量标准研究[J].课程.教材.教法，2015（03）：53-57.
[6]蒲淑萍，汪晓勤.数学史怎样融入数学教材：以中、法初中数学教材为例[J].课程·教材·教法，2012（08）：63-68.
[7]刘曌，杨光伟.中日初中新教材中数学史融入的比较研究：以日本东京版数学教材与人教版初一数学教材为例[J].中学数学月刊，2013（10）：28-30.
[8]李盈盈.小学数学教科书中数学文化的呈现研究：以人教版教科书为例[D].长沙：湖南师范大学，2018.
[9]杨豫晖，魏佳，宋乃庆.小学数学教材中数学史的内容及呈现方式探析[J].数学教育学报，2007（04）：80-83.