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“倍的认识”是苏教版数学二年级下册的教学内容。教材中“倍”的概念是依据乘除法知识中“几个几”“份”的概念扩展而来的，通过两个不相等数量的比较，由“份”引出“倍”，使学生初步认识“倍”的含义。由于学生已经具备了认识“倍”的基础，所以教学中帮助学生建立“倍”的概念是核心任务。在一次校本教研活动中，我经历了对本课教学的两次实践与反思，力图关注学生的学习基础，激活他们的已有认知，诱发认知冲突，帮助学生主动建构数学概念，实现新旧知识的意义关联。
初次教学：
1.呈现主题图中几种颜色的花：先出示蓝花2朵，黄花6朵。
2.师示范讲授：把2朵蓝花看作1份（随手在黑板上一圈），黄花有几个2朵？（生答：3个）大家跟着老师一起来圈一圈。（学生用手学着2朵2朵地圈）
3.师进行归纳并板书要点内容：黄花有3个2朵，黄花的朵数是蓝花的3倍。
4.师引导学生回顾：刚才是怎么得出“黄花的朵数是蓝花的3倍”的？
先让学生同桌仿照板书内容要点互相说说，然后指名学生讲述，至此便算是完成了对“倍”的第一次认识。
5.师引导学生模仿刚才的过程和方法比较2朵蓝花与8朵红花的关系，得出“红花的朵数是蓝花的4倍”这一结论。
6.师提问引发类比：同样是2朵蓝花，怎么黄花是它的3倍，而红花却是它的4倍呢？
7.师引导学生交流后归纳，进一步帮助学生建立“倍”的概念：把一种花的朵数看成1份，另一种花有这样的几份，就是它的几倍。
讨论与改进：
上述教学中，教师通过示范操作、讲解和学生仿说练习，帮助学生认识“倍”的意义。这也是许多教师在教学本课时的一种惯用方法，其教学设计思考的逻辑起点为“倍”是一个全新的、十分重要的数学概念，应由教师清晰地示范并授予学生，使学生学会准确地表述“倍”的含义。
在研讨中，大家围绕“帮助学生认识和建构‘倍’的概念是由教师率先示范、学生尝试模仿，还是引导学生激活经验、主动建构”这一主题进行课前学情调研，并进行充分讨论，逐渐达成一致认识。其实，学生对“倍”并不是一无所知的。我们从前测访谈了解到，学生在日常生活中大都有机会听到别人关于“倍”的话语，他们能够从别人的对话中结合实际事物感知到“倍”的大致意思，进而形成一种模糊的自我认识。通过分析，大家认识到学生之所以会形成这样的模糊认识，是因为学生已经学过乘法的意义，头脑中已经有了“几个几”的概念，当他听到别人说“倍”这个词时，会认为是针对“几个几”情况而言的，因而在脑海里便形成了“倍”和“几个几”初步意义的联系。这就是学生已有的认知基础。
在这样的学情基础上，“倍的认识”的教学究竟如何展开呢？显然，上述教学过程忽视了学生的已有基础，单纯采用了教师示范讲解、学生模仿记忆的学习方式，并不值得推崇。既然学生头脑中或多或少已有了一些关于“倍”的模糊的感性经验，我们可试图着力激活学生的已有经验，沟通知识之间的联系，使他们真正明晰概念。
再次教学：
1.以旧引新，激活经验。
师（出示蓝花3朵、黄花3朵）：两种花的朵数有怎样的关系？
生：相等。
师（再出示3朵黄花）：现在呢？
生1：黄花比蓝花多3多。
生2：蓝花比黄花少3朵。
生3：黄花是蓝花的2倍。
师：“倍”这样的说法以前听说过吗？（许多学生表示听说过）那今天我们就来研究“倍”。（揭示课题并板书）
2.实践操作，外显经验。
师：说“2倍”的这位同学是怎样想的呢？请他上台把黄花和蓝花分一分、摆一摆，让其他同学一眼就看出它们之间是2倍的关系。（学生上台操作）
师：黄花是蓝花的2倍，你们都能看出来了吗？怎么看出来的？同桌交流一下想法。
生4：蓝花是3朵，黄花可以分成2个3朵，就是蓝花的2倍。
生5：蓝花有3朵，黄花有这样的2个3朵，就是蓝花的2倍。
师：说得真好！像这样，蓝花3朵，黄花的朵数有2个3朵，我们就说黄花的朵数是蓝花的2倍。（相机板书内容要点）
3.变式感知，强化经验。
师（继续出示9朵红花）：现在红花和蓝花有什么关系？你又是怎么想的？（学生先独立思考，然后指名上台分一分、圈一圈、说一说）
4.比较分析，归纳含义。
比较：为什么蓝花都是3朵，而黄花是蓝花的2倍，红花却是蓝花的3倍呢？
学生在交流中逐渐明确：把3朵蓝花看作1份，别的花有几个3朵，就是蓝花的几倍。
5.巩固认识，类比提升。
（1）师创设小动物摘水果的情境，依次出现小狗摘了2个苹果和4个梨、小兔摘了4个苹果和8个梨、小猫摘了5个苹果和10个梨等信息，让学生分别说说其中的倍数关系。
（2）师引导学生再次进行比较：为什么每只小动物摘苹果和梨的个数各不相同，可是梨的个数却都是苹果的2倍？（通过比较，让学生明确，都是把苹果的个数看作1份，梨都有这样的2份，所以梨的个数都是苹果的2倍，由此进一步从份数的角度深化认识“倍”的实际意义，即把一个数看作1份，另一个数有这样的几份就是它的几倍）
实践反思：
现代学习强调理解性学习，充分关注认知的过程。理想的数学理解状态就是学生将最新获得的概念、规则等融入自身已有的认知结构中去，将新知的各种表征、意义同头脑中原有的一些数学知识经验之间自然地建立起联结通道。这样的数学理解将是深刻的，所获得的知识技能也会是灵活的，便于提取和应用。因而，我们应注重追求数学理解性学习，帮助学生建立新旧知识之间的意义联结。教师应精心设计教学过程，引导学生运用己有知识经验来认识概念的本质，建立新旧概念间的联系。针对“倍”的意义理解，就是要让学生对乘法意义中的“几个几”与新知“几倍”形成关联。
学生对一个数学概念是否理解，可以从一些显性和隐性的表现中加以判断，如能否动手操作展现概念原型、能否借助语言直接说出概念的意义、能否把握要点拓展概念的外延等。从上述改进教学过程看，教师关注了学生对数学概念由外而内、由内而外的全方位理解。首先通过分一分、圈一圈等操作活动，引发、激活学生头脑中的原有认知，并使之外显出来；然后引导学生进行讨论和交流，从“几个几”的角度初步认识了“倍”的含义；接着呈现多个实例，启发学生进行比较，沟通“几份”和“几倍”的联系，使学生认识到“几份”就是“几倍”，进一步内化、理解“倍”的意义。上述教学过程还重视应用比较这种思维方法，促进学生对所学知识的理解。纵观两次比较，一次是一份数不变，几份数在变，倍数也随之变化；另一次是一份数在变，几份数也在变，倍数却不变。两次比较，引导着学生逐步明晰和把握概念的本质，使认知和理解走向深入。
总之，真正的数学理解不应该是教师硬塞进学生的头脑中去的，而应该由学生主动地去靠近数学知识技能本身的内核，去亲身触摸其本质，去感知、尝试、探究和体悟，努力将新知与原有的认知经验建立起关联。
（责编 杜 华）
初次教学：
1.呈现主题图中几种颜色的花：先出示蓝花2朵，黄花6朵。
2.师示范讲授：把2朵蓝花看作1份（随手在黑板上一圈），黄花有几个2朵？（生答：3个）大家跟着老师一起来圈一圈。（学生用手学着2朵2朵地圈）
3.师进行归纳并板书要点内容：黄花有3个2朵，黄花的朵数是蓝花的3倍。
4.师引导学生回顾：刚才是怎么得出“黄花的朵数是蓝花的3倍”的？
先让学生同桌仿照板书内容要点互相说说，然后指名学生讲述，至此便算是完成了对“倍”的第一次认识。
5.师引导学生模仿刚才的过程和方法比较2朵蓝花与8朵红花的关系，得出“红花的朵数是蓝花的4倍”这一结论。
6.师提问引发类比：同样是2朵蓝花，怎么黄花是它的3倍，而红花却是它的4倍呢？
7.师引导学生交流后归纳，进一步帮助学生建立“倍”的概念：把一种花的朵数看成1份，另一种花有这样的几份，就是它的几倍。
讨论与改进：
上述教学中，教师通过示范操作、讲解和学生仿说练习，帮助学生认识“倍”的意义。这也是许多教师在教学本课时的一种惯用方法，其教学设计思考的逻辑起点为“倍”是一个全新的、十分重要的数学概念，应由教师清晰地示范并授予学生，使学生学会准确地表述“倍”的含义。
在研讨中，大家围绕“帮助学生认识和建构‘倍’的概念是由教师率先示范、学生尝试模仿，还是引导学生激活经验、主动建构”这一主题进行课前学情调研，并进行充分讨论，逐渐达成一致认识。其实，学生对“倍”并不是一无所知的。我们从前测访谈了解到，学生在日常生活中大都有机会听到别人关于“倍”的话语，他们能够从别人的对话中结合实际事物感知到“倍”的大致意思，进而形成一种模糊的自我认识。通过分析，大家认识到学生之所以会形成这样的模糊认识，是因为学生已经学过乘法的意义，头脑中已经有了“几个几”的概念，当他听到别人说“倍”这个词时，会认为是针对“几个几”情况而言的，因而在脑海里便形成了“倍”和“几个几”初步意义的联系。这就是学生已有的认知基础。
在这样的学情基础上，“倍的认识”的教学究竟如何展开呢？显然，上述教学过程忽视了学生的已有基础，单纯采用了教师示范讲解、学生模仿记忆的学习方式，并不值得推崇。既然学生头脑中或多或少已有了一些关于“倍”的模糊的感性经验，我们可试图着力激活学生的已有经验，沟通知识之间的联系，使他们真正明晰概念。
再次教学：
1.以旧引新，激活经验。
师（出示蓝花3朵、黄花3朵）：两种花的朵数有怎样的关系？
生：相等。
师（再出示3朵黄花）：现在呢？
生1：黄花比蓝花多3多。
生2：蓝花比黄花少3朵。
生3：黄花是蓝花的2倍。
师：“倍”这样的说法以前听说过吗？（许多学生表示听说过）那今天我们就来研究“倍”。（揭示课题并板书）
2.实践操作，外显经验。
师：说“2倍”的这位同学是怎样想的呢？请他上台把黄花和蓝花分一分、摆一摆，让其他同学一眼就看出它们之间是2倍的关系。（学生上台操作）
师：黄花是蓝花的2倍，你们都能看出来了吗？怎么看出来的？同桌交流一下想法。
生4：蓝花是3朵，黄花可以分成2个3朵，就是蓝花的2倍。
生5：蓝花有3朵，黄花有这样的2个3朵，就是蓝花的2倍。
师：说得真好！像这样，蓝花3朵，黄花的朵数有2个3朵，我们就说黄花的朵数是蓝花的2倍。（相机板书内容要点）
3.变式感知，强化经验。
师（继续出示9朵红花）：现在红花和蓝花有什么关系？你又是怎么想的？（学生先独立思考，然后指名上台分一分、圈一圈、说一说）
4.比较分析，归纳含义。
比较：为什么蓝花都是3朵，而黄花是蓝花的2倍，红花却是蓝花的3倍呢？
学生在交流中逐渐明确：把3朵蓝花看作1份，别的花有几个3朵，就是蓝花的几倍。
5.巩固认识，类比提升。
（1）师创设小动物摘水果的情境，依次出现小狗摘了2个苹果和4个梨、小兔摘了4个苹果和8个梨、小猫摘了5个苹果和10个梨等信息，让学生分别说说其中的倍数关系。
（2）师引导学生再次进行比较：为什么每只小动物摘苹果和梨的个数各不相同，可是梨的个数却都是苹果的2倍？（通过比较，让学生明确，都是把苹果的个数看作1份，梨都有这样的2份，所以梨的个数都是苹果的2倍，由此进一步从份数的角度深化认识“倍”的实际意义，即把一个数看作1份，另一个数有这样的几份就是它的几倍）
实践反思：
现代学习强调理解性学习，充分关注认知的过程。理想的数学理解状态就是学生将最新获得的概念、规则等融入自身已有的认知结构中去，将新知的各种表征、意义同头脑中原有的一些数学知识经验之间自然地建立起联结通道。这样的数学理解将是深刻的，所获得的知识技能也会是灵活的，便于提取和应用。因而，我们应注重追求数学理解性学习，帮助学生建立新旧知识之间的意义联结。教师应精心设计教学过程，引导学生运用己有知识经验来认识概念的本质，建立新旧概念间的联系。针对“倍”的意义理解，就是要让学生对乘法意义中的“几个几”与新知“几倍”形成关联。
学生对一个数学概念是否理解，可以从一些显性和隐性的表现中加以判断，如能否动手操作展现概念原型、能否借助语言直接说出概念的意义、能否把握要点拓展概念的外延等。从上述改进教学过程看，教师关注了学生对数学概念由外而内、由内而外的全方位理解。首先通过分一分、圈一圈等操作活动，引发、激活学生头脑中的原有认知，并使之外显出来；然后引导学生进行讨论和交流，从“几个几”的角度初步认识了“倍”的含义；接着呈现多个实例，启发学生进行比较，沟通“几份”和“几倍”的联系，使学生认识到“几份”就是“几倍”，进一步内化、理解“倍”的意义。上述教学过程还重视应用比较这种思维方法，促进学生对所学知识的理解。纵观两次比较，一次是一份数不变，几份数在变，倍数也随之变化；另一次是一份数在变，几份数也在变，倍数却不变。两次比较，引导着学生逐步明晰和把握概念的本质，使认知和理解走向深入。
总之，真正的数学理解不应该是教师硬塞进学生的头脑中去的，而应该由学生主动地去靠近数学知识技能本身的内核，去亲身触摸其本质，去感知、尝试、探究和体悟，努力将新知与原有的认知经验建立起关联。
（责编 杜 华）