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孙维刚在《孙维刚老师怎样教数学》书中写道:“八方联系,浑然一体,漫江碧透,鱼翔浅底。”他的教学方法被称为“结构教学法”,主要讲的是新旧知识的比较和联系。孙老师还举了一些自己的教学实例,对笔者很有启发。回想自己的教学,笔者感觉也有几个得意的案例,下面举出来和大家交流。
案例1:一次函数y=kx+b(k≠0)的定义、图像、性质。如果只按课本回忆的方法,学生明确在一次函数y=kx+b(k≠0)中,(1)当k>0时,y随x的增大而增大;(2)当k<0时,y随x的增大而减小。然而,作为一节复习课,我和学生做了以下的梳理:
首先,字母k在具体的问题背景中有他的物理意义和生活意义。
例1:小明第一次去北京。汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程牌,发现汽车的平均速度是95千米/时。已知A地直达北京的高速公路全程为570千米,小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离。
分析:设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,则所求的函数关系式为s=570-95t,其中|k|=95,他表示的就是汽车的速度。
例2:弹性限度内,弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比。一根弹簧不挂物体时长15厘米,所挂物体质量为3千克时弹簧长16.8厘米。求弹簧总长y(厘米)与所挂物体质量x(千克)之间的函数关系式。
分析:设y=kx+15, 经过(3,16.8)得k=0.6,所以y=0.6x+15。其中0.6就表示每挂1千克物体弹簧伸长的长度。
然后,我们又联系了k的几何意义,这里的k其实表示直线的斜率,也就是直线的倾斜程度,正是直线与x轴夹角的正切值,坡角的正切值,也就是坡度。所以,当两条直线的k值相等时,表明两直线平行与x轴的夹角相等,根据同位角相等,得两直线平行就很好理解了。
当讲到这里时,学生的表情显得比较满意,对k有了多方位、多角度的认识,不仅仅局限在一次函数的定义和性质,还融入了生活的背景,同时与初中教材中解直角三角形这一章节中提到的坡度联系起来,顺便把高中数学中的一个概念“斜率”做了简单的介绍。
下面是初中课本中一道数学题,课堂上学生展开了多角度的分析,作为老师的我感到学生思维的深刻性和灵活性恐怕应该这样培养,写出来与各位读者共同探讨。
案例2:若x为任意实数时,二次三项式x2-6x+c的值都不小于0,则常数c满足的条件是()
A.c≥0 B.c≥9 C.c>0 D.c>9
分析:由于x为任何实数,则二次三项式值等于零时x2-6x+c一定是个完全平方数,即c=9。如果c>9,则 一定可以写成(x-3)2=a的形式,其中a=c-9≥0,所以答案为B。此题主要考查学生用配方法解决问题。
由于学生学过二次函数和一元二次方程的关系,所以还可以设y=x2-6x+c,因为y≥0,所以函数图像如右图所示,从△角度考虑:△≤0(抛物线与x轴有一个交点或没有交点),所以由△≤0,求出c≥9。
案例3:正方形OEFG和正方形ABCD是位似形,点F的坐标为(1,1),点C的坐标为(4,2),则这两个正方形位似中心的坐标是 。
■
分析1:位似中心的概念是对应点连线的交点,借用三角形相似的性质可求出位似中心的坐标是(-2,0)。
分析2:点F的坐标为(1,1),点C的坐标为(4,2),所以FC直线的解析式是y=■x+■;点D的坐标为(2,2),点G的坐标为(0,1),所以DG直线的解析式是y=■x+1,两直线组成方程组,即可求出交点坐标为(-2,0)。
以上3个案例都是我的课堂的真实再现,我惊叹于学生敢想敢说的精神,惊叹于他们的求异思维,惊叹于他们对代数几何知识的再整合,将看似不相干的知识浑然融为一体。
在教学中,把课堂还给学生,让每一堂课都活起来,一直是我追求和实践的重要课堂理念。在我的课堂上,学生敢想、敢说,善于求异思维,不仅关注某个题怎么做,更关注这个题为什么这么做;既注重解题思路,更注重思维的形成过程。在这一理念下,学生善于从“一题多解”中感悟各类解题思路的特点,从“多解归一”中建构数学知识和框架。我发现四年坚持下来,学生的数学学习既轻松愉悦又思路开阔,学习热情高涨,教学相长的和谐性产生了最大的教学效益。
培养思维的深刻性与灵活性不是一朝一夕就能奏效的,而是必须长期坚持,潜移默化。我坚信,“八方联系,浑然一体”,此法只要常抓不懈,学生的思维深刻性与灵活性必将会得到极大的提高,学生成功了,老师就幸福了。
案例1:一次函数y=kx+b(k≠0)的定义、图像、性质。如果只按课本回忆的方法,学生明确在一次函数y=kx+b(k≠0)中,(1)当k>0时,y随x的增大而增大;(2)当k<0时,y随x的增大而减小。然而,作为一节复习课,我和学生做了以下的梳理:
首先,字母k在具体的问题背景中有他的物理意义和生活意义。
例1:小明第一次去北京。汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程牌,发现汽车的平均速度是95千米/时。已知A地直达北京的高速公路全程为570千米,小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离。
分析:设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,则所求的函数关系式为s=570-95t,其中|k|=95,他表示的就是汽车的速度。
例2:弹性限度内,弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比。一根弹簧不挂物体时长15厘米,所挂物体质量为3千克时弹簧长16.8厘米。求弹簧总长y(厘米)与所挂物体质量x(千克)之间的函数关系式。
分析:设y=kx+15, 经过(3,16.8)得k=0.6,所以y=0.6x+15。其中0.6就表示每挂1千克物体弹簧伸长的长度。
然后,我们又联系了k的几何意义,这里的k其实表示直线的斜率,也就是直线的倾斜程度,正是直线与x轴夹角的正切值,坡角的正切值,也就是坡度。所以,当两条直线的k值相等时,表明两直线平行与x轴的夹角相等,根据同位角相等,得两直线平行就很好理解了。
当讲到这里时,学生的表情显得比较满意,对k有了多方位、多角度的认识,不仅仅局限在一次函数的定义和性质,还融入了生活的背景,同时与初中教材中解直角三角形这一章节中提到的坡度联系起来,顺便把高中数学中的一个概念“斜率”做了简单的介绍。
下面是初中课本中一道数学题,课堂上学生展开了多角度的分析,作为老师的我感到学生思维的深刻性和灵活性恐怕应该这样培养,写出来与各位读者共同探讨。
案例2:若x为任意实数时,二次三项式x2-6x+c的值都不小于0,则常数c满足的条件是()
A.c≥0 B.c≥9 C.c>0 D.c>9
分析:由于x为任何实数,则二次三项式值等于零时x2-6x+c一定是个完全平方数,即c=9。如果c>9,则 一定可以写成(x-3)2=a的形式,其中a=c-9≥0,所以答案为B。此题主要考查学生用配方法解决问题。
由于学生学过二次函数和一元二次方程的关系,所以还可以设y=x2-6x+c,因为y≥0,所以函数图像如右图所示,从△角度考虑:△≤0(抛物线与x轴有一个交点或没有交点),所以由△≤0,求出c≥9。
案例3:正方形OEFG和正方形ABCD是位似形,点F的坐标为(1,1),点C的坐标为(4,2),则这两个正方形位似中心的坐标是 。
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分析1:位似中心的概念是对应点连线的交点,借用三角形相似的性质可求出位似中心的坐标是(-2,0)。
分析2:点F的坐标为(1,1),点C的坐标为(4,2),所以FC直线的解析式是y=■x+■;点D的坐标为(2,2),点G的坐标为(0,1),所以DG直线的解析式是y=■x+1,两直线组成方程组,即可求出交点坐标为(-2,0)。
以上3个案例都是我的课堂的真实再现,我惊叹于学生敢想敢说的精神,惊叹于他们的求异思维,惊叹于他们对代数几何知识的再整合,将看似不相干的知识浑然融为一体。
在教学中,把课堂还给学生,让每一堂课都活起来,一直是我追求和实践的重要课堂理念。在我的课堂上,学生敢想、敢说,善于求异思维,不仅关注某个题怎么做,更关注这个题为什么这么做;既注重解题思路,更注重思维的形成过程。在这一理念下,学生善于从“一题多解”中感悟各类解题思路的特点,从“多解归一”中建构数学知识和框架。我发现四年坚持下来,学生的数学学习既轻松愉悦又思路开阔,学习热情高涨,教学相长的和谐性产生了最大的教学效益。
培养思维的深刻性与灵活性不是一朝一夕就能奏效的,而是必须长期坚持,潜移默化。我坚信,“八方联系,浑然一体”,此法只要常抓不懈,学生的思维深刻性与灵活性必将会得到极大的提高,学生成功了,老师就幸福了。