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【摘 要】直观不仅是学生从感性走向理性的桥梁，更是一种重要的数学思维品质。我们在数学教学中，应营造直观的教学情境，让数学走近学生；构建真实的数学表征，让学生走进数学。这对于学生个性的发展和创新精神的培养具有重要的意义。
【关键词】直观教学 教学情境 数学表征
一、对直观教学的新认识
随着课改的推进，各种教学思想不断涌现，尤其是国外的一些教育理念给我们带来了深刻的启迪。蔡金法教授在中美数学教育的比较研究中发现，美国的许多教师认为直观的教学表征能让学生形成对数学概念的真实理解，他们对学生的操作性实践经验以及模型、图形与实物等可视经验的重视程序胜于数学语言、数学符号等抽象思维经验。日本著名学者畑村洋太郎认为，数学本来是人人都能懂的东西，当外界的事物和人们头脑中原有的“模板”相吻合时，人们就觉得自己理解这一事物了。理解就是“一种直观感受”。弗赖登塔尔认为：学一个活动的最好方法是做，学数学的最好的方法是做数学……通过再创造获得的知识与能力要比以被动方式获得者理解得更好也更容易保持。如何在教学中实施“再创造”和“做数学”？弗赖登塔尔继续阐述：如果可能的话，将她（指弗赖登塔尔的女儿）放到具体的、形象的情境中去，让她直观地学习，这是我的教学原则。
从这些教育研究者的论述中可以得到这样的认识：直观已经不再仅仅是一种认知过程中感知形象思维和抽象思维的中介，而是一种重要的数学思维品质。直观教学不仅是实践“再创造”的“做”的重要方式，更重要的是，它对于学生的数学直观思维能力的发展具有重要的影响。
二、对当下直观教学现状的反思
直观教学如此重要，然而在实际数学教学中又是怎样的现状呢？笔者在课堂教学中发现主要存在以下几个方面的问题：
1.教学中用课件代替操作，缺乏直观的数学活动。
笔者发现有些教师的课堂过度依赖课件，简单抛弃传统的教学手段，特别是一些需要动手操作的实验也用课件演示，失去了“科学的真”，学生的数学活动缺乏实践的体验，这不利于学生感悟数学概念和结论。比如教学苏教版六上《长方体、正方体的展开图》一课时，本该让学生亲手操作的内容却只是看课件、背样式。经过这样的教学，虽然学生也能正确解答一些题目，但他们大脑里的图像却是静止的，而不是动态变化的。
2.用教师的思维代替学生的思维，理性思维绑架了直观思维。
据笔者观察，目前我们的教学不仅很少让学生开展充分的、直观的数学活动，而且更多地偏重于理性的反思、归纳、推理等看起来更具“数学味”的活动。如苏教版四下《搭配的规律》一课，有人提出“算法要建立在算理之上”，把找规律教学当做指导学生探索“计算法则”。笔者以为，“找规律”的教学注重的不应当是“怎么算”，而是“怎么有序地找”。很多理性的东西被过早地反思为“刻板的经验”，而没有得到进一步的验证，这很可怕。
通过分析，笔者认为，我们对直观教学的现实意义的理解远远不够。教师过度地强调数学理性，很多直观的活动被大大压缩，用多媒体代替学具，用理性推理代替感性积累，学生缺乏体验的真，课堂上应有的生动活泼看不见了，更严重的是学生缺少了智慧的灵性。
三、直观地学：基于学生的数学学习方式新探索
笔者以为，当下的数学教学活动，应更多地关注学生学的状态，关注学生数学活动经验的积累。直观地学，应成为学生开展数学学习的基本途径和重要方式。
1.营造直观的教学情境，让数学走近学生。
（1）大量配备教、学具，让数学生动起来。小学生好奇心强、模仿性强、生性好动、有意注意持续时间相对较短。教、学具形象、直观又易于操作，符合学生的思维特点，在数学学习中具有不可替代的作用。因此，学校应在教、学具的配置上舍得投入经费，并鼓励教师尽可能地自制教、学具。
（2）创设真实的学习情景，让数学从学生的经验里生长出来。如教学苏教版六上《比的认识》一课时，笔者尝试改变了教材的呈现方式，从学生身边的国旗入手创设了真实的情境，先出示教室里国旗的长与宽的数据，让学生根据长与宽的关系去推测操场上国旗的长与宽，再出示一组规格不同的国旗的长与宽的数据，引导学生通过比较来逐步感悟国旗制作说明中关于“长和宽的比是三比二”的标准的含义。这样既使学生对“比的意义”的理解与其旧知中的“倍数关系”的理解无缝对接，又使得学生对“比”的本质——“比源于测量”有了更为深刻的理解，同时又能感受到“比”方法的简洁方便，取得了较好的效果。
（3）抽象数学形象化，让数学适应学生。图示思维是小学生思维的重要表征方式，“图”能让学生看见“关系”，它是解决问题的有效工具。如教学苏教版三下《平均数》一课时，学生往往感觉“平均数”很抽象，教师就可以借助条形统计图来引导学生直观地理解“以多补少”的方法，形象地体会平均数的抽象意义：原来平均数不是一个“实际的数”，而是经过“以多补少”后得到的一个“看不见的虚拟数”。这种抽象中的形象，正是数学教学的真谛。
2.构建真实的数学表征，让学生走进数学。
（1）配备好草稿本，让打草稿成为学生的一种学习常态。打草稿的价值，不仅仅是演算，更多的是辅助学生展开思维。很多时候，学生解决一些问题，仅仅靠凭空想象，草率答卷，却不知道在草稿本上画一画、列一列，梳理思维，寻找线索。这就需要教师的切实指导。
（2）展示真实的思维表征，以感性点亮理性的思维。如教学苏教版五下《分数的基本性质》一课之前，很多学生似乎已经知道了分子、分母的变化规律。这是否就意味着本课的学习就可以脱离直观材料的支撑了呢？笔者执教时先利用“分西瓜”的童话故事引发学生的数学思考：有什么方法来证明确实相等呢？在学生提出折纸、化小数、根据商不变规律类推等多元的验证方法后，又特别展示了直观的折纸验证方法，不仅为学生展示其他较为抽象的方式提供了佐证，更重要的是让学生感悟到了直观的局限，促使学生采用更为理性的归纳推理活动，使学生的数学思维实现了从感性向理性的跨越。
（3）鼓励大胆联想与猜想，实现直观思维的飞跃。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中有一个核心概念——几何直观，其本质就是一种通过图形所展开的数学想象能力。这种能力对于学生学习数学非常重要，应使之成为一种基本的数学思维模式。这种模式有一个重要的特点——想象，它不仅是看到了什么，更是通过看到的图形思考、想象到了什么，进而进行一些合理的又带有跳跃性的推理（即合情推理），猜想可能的结论和论证思路，从而为严格地证明结论奠定基础。在数学教学中，借助直观引导学生联想和大胆猜想，对培养和提高学生的想象力和创造性思维有着不可估量的作用。
直观地学，可以极大地促进学生自主构建对概念、法则、关系的表征，丰盈学生特有的天真、幻想、灵性和创造天赋。我们的数学教学必须想尽办法创造条件，让学生充分展示自己真实的思维，构建自己的数学表征，这就是在践行以“学”为中心的教学思想。■
【参考文献】
[1]蔡金法.中美学生数学学习的系列实证研究——他山之石，何以攻玉[M].北京：教育科学出版社，2007.
[2][日]畑村洋太郎.图解数学学习法：让抽象的数学直观起来[M].海口：南海出版公司，2008.
[3][荷兰]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M]，陈昌平等编译.上海：上海教育出版社，1995.
注：本文获2013年江苏省“教海探航”征文一等奖
（作者单位：江苏省苏州工业园区星海小学）
【关键词】直观教学 教学情境 数学表征
一、对直观教学的新认识
随着课改的推进，各种教学思想不断涌现，尤其是国外的一些教育理念给我们带来了深刻的启迪。蔡金法教授在中美数学教育的比较研究中发现，美国的许多教师认为直观的教学表征能让学生形成对数学概念的真实理解，他们对学生的操作性实践经验以及模型、图形与实物等可视经验的重视程序胜于数学语言、数学符号等抽象思维经验。日本著名学者畑村洋太郎认为，数学本来是人人都能懂的东西，当外界的事物和人们头脑中原有的“模板”相吻合时，人们就觉得自己理解这一事物了。理解就是“一种直观感受”。弗赖登塔尔认为：学一个活动的最好方法是做，学数学的最好的方法是做数学……通过再创造获得的知识与能力要比以被动方式获得者理解得更好也更容易保持。如何在教学中实施“再创造”和“做数学”？弗赖登塔尔继续阐述：如果可能的话，将她（指弗赖登塔尔的女儿）放到具体的、形象的情境中去，让她直观地学习，这是我的教学原则。
从这些教育研究者的论述中可以得到这样的认识：直观已经不再仅仅是一种认知过程中感知形象思维和抽象思维的中介，而是一种重要的数学思维品质。直观教学不仅是实践“再创造”的“做”的重要方式，更重要的是，它对于学生的数学直观思维能力的发展具有重要的影响。
二、对当下直观教学现状的反思
直观教学如此重要，然而在实际数学教学中又是怎样的现状呢？笔者在课堂教学中发现主要存在以下几个方面的问题：
1.教学中用课件代替操作，缺乏直观的数学活动。
笔者发现有些教师的课堂过度依赖课件，简单抛弃传统的教学手段，特别是一些需要动手操作的实验也用课件演示，失去了“科学的真”，学生的数学活动缺乏实践的体验，这不利于学生感悟数学概念和结论。比如教学苏教版六上《长方体、正方体的展开图》一课时，本该让学生亲手操作的内容却只是看课件、背样式。经过这样的教学，虽然学生也能正确解答一些题目，但他们大脑里的图像却是静止的，而不是动态变化的。
2.用教师的思维代替学生的思维，理性思维绑架了直观思维。
据笔者观察，目前我们的教学不仅很少让学生开展充分的、直观的数学活动，而且更多地偏重于理性的反思、归纳、推理等看起来更具“数学味”的活动。如苏教版四下《搭配的规律》一课，有人提出“算法要建立在算理之上”，把找规律教学当做指导学生探索“计算法则”。笔者以为，“找规律”的教学注重的不应当是“怎么算”，而是“怎么有序地找”。很多理性的东西被过早地反思为“刻板的经验”，而没有得到进一步的验证，这很可怕。
通过分析，笔者认为，我们对直观教学的现实意义的理解远远不够。教师过度地强调数学理性，很多直观的活动被大大压缩，用多媒体代替学具，用理性推理代替感性积累，学生缺乏体验的真，课堂上应有的生动活泼看不见了，更严重的是学生缺少了智慧的灵性。
三、直观地学：基于学生的数学学习方式新探索
笔者以为，当下的数学教学活动，应更多地关注学生学的状态，关注学生数学活动经验的积累。直观地学，应成为学生开展数学学习的基本途径和重要方式。
1.营造直观的教学情境，让数学走近学生。
（1）大量配备教、学具，让数学生动起来。小学生好奇心强、模仿性强、生性好动、有意注意持续时间相对较短。教、学具形象、直观又易于操作，符合学生的思维特点，在数学学习中具有不可替代的作用。因此，学校应在教、学具的配置上舍得投入经费，并鼓励教师尽可能地自制教、学具。
（2）创设真实的学习情景，让数学从学生的经验里生长出来。如教学苏教版六上《比的认识》一课时，笔者尝试改变了教材的呈现方式，从学生身边的国旗入手创设了真实的情境，先出示教室里国旗的长与宽的数据，让学生根据长与宽的关系去推测操场上国旗的长与宽，再出示一组规格不同的国旗的长与宽的数据，引导学生通过比较来逐步感悟国旗制作说明中关于“长和宽的比是三比二”的标准的含义。这样既使学生对“比的意义”的理解与其旧知中的“倍数关系”的理解无缝对接，又使得学生对“比”的本质——“比源于测量”有了更为深刻的理解，同时又能感受到“比”方法的简洁方便，取得了较好的效果。
（3）抽象数学形象化，让数学适应学生。图示思维是小学生思维的重要表征方式，“图”能让学生看见“关系”，它是解决问题的有效工具。如教学苏教版三下《平均数》一课时，学生往往感觉“平均数”很抽象，教师就可以借助条形统计图来引导学生直观地理解“以多补少”的方法，形象地体会平均数的抽象意义：原来平均数不是一个“实际的数”，而是经过“以多补少”后得到的一个“看不见的虚拟数”。这种抽象中的形象，正是数学教学的真谛。
2.构建真实的数学表征，让学生走进数学。
（1）配备好草稿本，让打草稿成为学生的一种学习常态。打草稿的价值，不仅仅是演算，更多的是辅助学生展开思维。很多时候，学生解决一些问题，仅仅靠凭空想象，草率答卷，却不知道在草稿本上画一画、列一列，梳理思维，寻找线索。这就需要教师的切实指导。
（2）展示真实的思维表征，以感性点亮理性的思维。如教学苏教版五下《分数的基本性质》一课之前，很多学生似乎已经知道了分子、分母的变化规律。这是否就意味着本课的学习就可以脱离直观材料的支撑了呢？笔者执教时先利用“分西瓜”的童话故事引发学生的数学思考：有什么方法来证明确实相等呢？在学生提出折纸、化小数、根据商不变规律类推等多元的验证方法后，又特别展示了直观的折纸验证方法，不仅为学生展示其他较为抽象的方式提供了佐证，更重要的是让学生感悟到了直观的局限，促使学生采用更为理性的归纳推理活动，使学生的数学思维实现了从感性向理性的跨越。
（3）鼓励大胆联想与猜想，实现直观思维的飞跃。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中有一个核心概念——几何直观，其本质就是一种通过图形所展开的数学想象能力。这种能力对于学生学习数学非常重要，应使之成为一种基本的数学思维模式。这种模式有一个重要的特点——想象，它不仅是看到了什么，更是通过看到的图形思考、想象到了什么，进而进行一些合理的又带有跳跃性的推理（即合情推理），猜想可能的结论和论证思路，从而为严格地证明结论奠定基础。在数学教学中，借助直观引导学生联想和大胆猜想，对培养和提高学生的想象力和创造性思维有着不可估量的作用。
直观地学，可以极大地促进学生自主构建对概念、法则、关系的表征，丰盈学生特有的天真、幻想、灵性和创造天赋。我们的数学教学必须想尽办法创造条件，让学生充分展示自己真实的思维，构建自己的数学表征，这就是在践行以“学”为中心的教学思想。■
【参考文献】
[1]蔡金法.中美学生数学学习的系列实证研究——他山之石，何以攻玉[M].北京：教育科学出版社，2007.
[2][日]畑村洋太郎.图解数学学习法：让抽象的数学直观起来[M].海口：南海出版公司，2008.
[3][荷兰]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M]，陈昌平等编译.上海：上海教育出版社，1995.
注：本文获2013年江苏省“教海探航”征文一等奖
（作者单位：江苏省苏州工业园区星海小学）