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带电粒子在电场、磁场、重力场中的运动与现代科技密切相关，在近代物理实验中有重大意义. 处理带电粒子在电场、磁场、重力场中的运动，还应画好示意图，在画图的基础上特别注意运用几何知识寻找关系，对同学们的空间想象能力、分析综合能力、应用数学知识处理物理问题的能力有较高的要求.
一、电场中的曲线运动
例1 长为[L]的细线一端系有一带正电小球，另一端拴在空间[O]点，加一大小恒定的匀强电场，使小球受到的电场力大小总是等于重力的[3]倍，当电场取不同方向时，可使小球绕[O]点以半径[L]分别在水平面内、竖直平面内、倾斜平面内做圆周运动.
（1）小球在竖直平面内做圆周运动时，求其运动速度最小值；
（2）当小球在与水平面成[30°]的平面内恰好做圆周运动时，求小球运动的最大速度及此时电场的方向.
解析 （1）带电小球在竖直面内恰做圆周运动时，设其最小速度为[vmin]，此时重力与电场力的合力[F]提供向心力. 则当重力与电场力反向时，[F]取最小值，设带电小球的质量为[m]，它所受重力为[mg]，有
[F=qE-mg=3mg-mg=(3-1)mg]
帶电小球速度的最小值[vmin=(3-1)gL].
（2）电场力[FE=3mg]. 当轨道平面与水平面成[30°]时，重力与电场力的合力[F0]，必沿悬绳方向，受力如图1. 设电场强度方向与合力[F0]成[α]，则
[qEsinα=mgcos30°]，得[α＝30°]
即电场沿水平方向向左，或者[α＝150°]，电场沿图中虚线[QR]斜向上.
当[α＝30°]时，重力和电场力的合力最大，小球做圆周运动的速度才能最大，此时合力
[F0=mgsin30°=2mg].
图1
当小球恰做圆周运动时，在[P]点速度最小时线的拉力为零，[F0]提供向心力. 即[F0=mv12L]. 对小球从圆周运动的“最高点”[P]到“最低点”[Q]的过程运用动能定理，有
[F02L=12mv22-12mv12]
得小球在这一平面上运动的最大速度为
[v2=10gL].
点拨 对电场中的圆周运动，可引入“等效重力场”概念，把重力场和匀强电场的问题简化为只有一个场的问题，从而将重力场中的相关规律有效地迁移过来. 所以小球做圆周运动，并非到达几何最高点时速度最小，因为有电场的存在，此时重力和电场力的合力不在竖直方向上，就需要找出等效的最低点和最高点，通常称为物理最低点和最高点.
二、有界磁场问题
例2 如图2甲，在某一真空空间建立[xOy]坐标系，从原点[O]处向第I象限发射荷质比[qm=104C/kg]的带正电的粒子，不计重力，速度大小[v0=]103m/s，方向与[x]轴正方向成[30°].
（1）若在坐标系[y]轴右侧加匀强磁场，使第I象限磁场方向垂直[xOy]平面向外，第Ⅳ象限磁场方向垂直[xOy]平面向里，磁感应强度为[B=1T]，求粒子从[O]点射出后，第2次经过[x]轴时的坐标[x1]；
（2）若将上述磁场均改为如图2乙中变化的匀强磁场，在[t=0]到[t=2π3×10-4s]时，磁场方向垂直于[xOy]平面向外；在[t=2π3×10-4s]到[t=4π3×10-4]s时，磁场方向垂直于[xOy]平面向里，此后该空间不存在磁场. 在[t=0]时刻，粒子仍从[O]点以与原来相同的速度[v0]射入，求粒子从[O]点射出后第2次经过[x]轴时的坐标[x2].
[× × × ×
× × × ×
× × × ×][· · · ·
· · · ·]
甲 乙
图2
解析 （1）粒子在[x]轴上方和下方的磁场中做半径相同的匀速圆周运动，其运动轨迹如图3 甲. 设粒子的轨道半径为[r]，有
[qvB=mv2r,得到r=0.1m]，转过圆心角[π3].
由几何关系，知粒子第二次经过[x]轴的坐标[x1=2r=0.2m].
[× × × ×
× × × ×
× × × ×][· · · ·
· · · ·
· · · ·]
甲 乙
图3
（2）设粒子在磁场中做圆周运动的周期为[T]，有[T=2πmBq=2π×10-4s].
据题意，粒子在[t=0]到[t=2π3×10-4s]内和在[t=2π3×10-4s]到[t=4π3×10-4s]时间内，在磁场中转过的圆弧所对的圆心角均为[2π3]，粒子的运动轨迹如图3乙. 由几何关系，得[x2=6r=0.6m].
点拨 有界磁场的常见情境：单边界磁场、双边界磁场、矩形边界磁场、圆形边界磁场等. 带电粒子在有界磁场中的运动综合性较强，往往要用到圆周运动的知识，还涉及平面几何、解析几何等知识，应结合运用数学知识和物理情景进行分析.
三、磁场中的极值问题
例3 如图4，在[xOy]平面内有许多质量为[m]、电荷量为[e]的电子从坐标原点[O]以相同速率[v0]沿不同方向射入第Ⅰ象限. 欲使从[O]点射出的所有电子均沿[x]轴正方向运动，可以在适当的地方加一个垂直于[xOy]平面的磁感应强度为[B]的匀强磁场.
图4
（1）若所加磁场的方向垂直纸面向里，求所加最小磁场区域的面积；
（2）若所加磁场的方向垂直纸面向外，写出所加最小磁场区域的边界方程.
解析 （1）电子在磁场中运动轨迹是圆弧，由 [Bev0=mv20R]，得圆形轨迹的半径[R=mv0Be]. 若所加磁场的方向垂直纸面向里，假如磁场区域足够大，画出所有可能的轨迹如图5甲，其中圆[O1]和圆[O2]为从原点射出，电子经第I象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆. 若要使电子飞出磁场平行于[x]轴，这些圆的最高点应是区域的下边界. 可证明，此下边界为一段圆弧，将这些圆心连线（图中虚线[O1O2]）向上平移一段长度为[R]的距离就是磁场区域的下边界；圆[O2]的[y]轴正方向的[14]个圆应是磁场的上边界，两边界之间图形（如图5乙）的面积即为所求图中的阴影区域面积，磁场区域面积
[S=2(14πR2-R22)=(π-2)m2v202B2e2]
甲 乙 丙
图5
（2）若所加的匀强磁场方向垂直[xOy]平面向外. 设电子从[O]点射入第Ⅰ象限时与[x]轴夹角为[α(0°≤α≤90°)]，则
对于[α→0°]射入的电子，应在磁场中做圆心为（[0，R]）、半径为[R]的一个圆周运动后即可沿[x]轴正方向运动；
对于[α→90°]射入的电子，应在磁场中做圆心为（[－R，0]）、半径为[R]的[34]个圆周运动后即可沿[x]轴正方向运动；
对于任意角度[α(0°<α<90°)]射入的电子，它在磁场中以[O1]为圆心做圆周运动，如图5丙. 设它在点[P(x，y)]处离开磁场后可垂直射入电场中，由于电子在[P]点的速度方向平行于[x]轴，则[PO1]应与[x]轴垂直. 设[PO1]垂直[x]轴于[Q]， 有[OQ2+O1Q2=R2]，即[x2+(y+R)2=R2]，此方程表示这种情况下符合题中要求的电子从磁场射出的点边界在圆心为[(0，－R)]、半径为[R]的圆上.
综上所述，磁场的边界由四段圆弧（[R=mv0Be]）组成，其方程
[x2+(y-R)2=R2][(x≥0，y≥0)]；
[x2+y2=(2R)2][(x<0，y≥0)]
[(x+R)2+y2=R2][(x≤-R，y<0)]；
[x2+(y+R)2=R2][(x≥-R，y<0)]
点拨 对带电粒子在有界磁场中运动的极值问题，刚好穿出磁场边界的条件通常是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切. 最小圆形磁场区域的计算：先依据题意和几何知识，确定圆弧轨迹的圆心、半径和粒子运动的轨迹，再用最小圆覆盖粒子运动的轨迹. 一般情况下是圆形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦，找到磁场边界的两点，以这两点的距离为直径的圆面积最小.
[【考点专练·必考4.1】]
1. 如图6，真空中有四点[A、B、C、D]共线等距，只在[A]点放一电量为[+Q]的点电荷时，[B]点场强为[E，B、C、D]三点电势分别为[8V、4V、][83V]. 若再将等量异号电荷[-Q]放在[D]点，则（ ）
图6
A. [B]点场强为[3E4]，方向水平向右
B. [B]点场强为[5E4]，方向水平向右
C. [BC]线段的中点电势为零
D. [B、C]两点的电势分别为[4V和-4V]
2. 在点电荷[-Q]的电场中的某位置，质子具有[E0]的动能即可逃逸此电场束缚，那么[α]粒子要从该位置逃逸此电场束缚，需要的动能至少为（ ）
A. [E04] B. [E02]
C. [2E0] D. [4E0]
3. 如图7，平行板电容器两板间距离为[d]，在两板间加一恒定电压[U.] 现让正极板接地，并在两板间放入一半径为[R(2R＜d)]的绝缘金属球壳，[c、d]是直径上的两端点，则（ ）
图7
A. 由于静电感应，[c、d]两点的电势差为[(2Rd)U]
B. 由于静电感应，球心[O]处场强为零
C. 若将球壳接地，再断开，然后拿走电容器，球壳上将带正电荷
D. 若将球壳接地，再断开，然后拿走电容器，球壳上将带负电荷
4. 如图8，在真空中有两个固定的等量异号点电荷[+Q]和[-Q]. 直线[MN]是两点电荷连线的中垂线，[O]是两点电荷连线与直线[MN]的交点. [a、b]是两点电荷连线上关于[O]的对称点，[C、D]是直线[MN]上的两个点. 则（ ）
图8
A. [a]点的场强大于[b]点的场强；将一检验电荷沿[MN]由[c]移动到[d]，所受电场力先增大后减小
B. [a]点的场强小于[b]点的场强；将一检验电荷沿[MN]由[c]移动到[d]，所受电场力先减小后增大
C. [a]点的场强等于[b]点的场强；将一检验电荷沿[MN]由[c]移动到[d]，所受电场力先增大后减小
D. [a]点的场强等于[b]点的场强；将一检验电荷沿[MN]由[c]移动到[d]，所受电场力先减小后增大
5．一正电荷处于电场中，只在电场力作用下从[A]点沿直线运动到[B]点，其速度随时间变化的图象如图9，[tA]、[tB]分别对应电荷在[A、B]两点的时刻，则（ ）
图9
A．[A]处的场强一定大于[B]处的场强
B．[A]处的电势一定低于[B]处的电势
C．正电荷在[A]处的电势能一定大于[B]处的电势能
D．由[A]至[B]的过程中，电场力一定对正电荷做负功
6．如图10，带电量为[＋Q]的点电荷甲固定在绝缘平面上的[O]点；另一个带电量为[－q]、质量为[m]的点电荷乙，从[A]点以初速度[v0]沿它们的连线向甲滑行，运动到[B]点静止．已知静电力常量为[k]，点电荷乙与水平面的动摩擦因数为[μ]，[A、B]间的距离为[s].则（ ）
[甲 乙]
图10
A．[O、B]间的距离为[kQqμmg]
B．点电荷乙从[A]运动到[B]的过程中，中间时刻的速度小于[v02]
C．点电荷乙从[A]运动到[B]的过程中，产生的内能为[12mv02]
D．在点电荷甲产生的电场中，[A、B]两点间的电势差[UAB＝m(v02-2gμs)2q]
7. 如图11甲，两平行正对的金属板[A、B]间加图11乙的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间[P]处. 若在[t0]时刻释放该粒子，粒子会时而向[A]板运动，时而向[B]板运动，并最终打在[A]板上. 则[t0]可能属于的时间段是（ ）
甲 乙
图11
A. [0 C. [3T4 8. 如图12，一个内壁光滑的绝缘细直管竖直放置. 在管底部固定一电荷量为[Q(Q>0)]的点电荷. 在距离底部点电荷为[h2]的管口[A]处，有一电荷量为[q(q>0)]、质量为[m]的点电荷由静止释放，在距离底部點电荷为[h1]的[B]处速度恰好为零. 现让一个电荷量为[q]、质量为[3m]的点电荷仍在[A]处由静止释放，已知静电力常量为[k]，重力加速度为[g]，则该点电荷（ ）
图12
A. 运动到[B]处的速度为零
B. 在下落过程中加速度逐渐减小
C. 运动到[B]处的速度大小为[233g(h2-h1)]
D. 速度最大处与底部点电荷距离为[kQqmg]
9．如图13，带正电的粒子以一定的初速度[v0]沿中线进入水平放置的平行金属板内，恰好沿下板的边缘飞出. 已知板长为[L]，板间距为[d]，板间电压为[U]，带电粒子所带电量为[q]，粒子通过平行金属板的时间为[t]，不计粒子的重力，则（ ）
图13
A．粒子在前[t2]时间内，电场力对粒子做的功为[qU4]
B．粒子在后[t2]时间内，电场力对粒子做的功为[3qU8]
C．粒子在竖直方向的前[d4]和后[d4]位移内，电场力做功之比为1∶2
D．粒子在竖直方向的前[d4]和后[d4]位移内，电场力的冲量之比为1∶1
10. 示波器是一种常见的电学仪器，可以在荧光屏上显示出被检测的电压随时间的变化情况. 图14甲为示波器的原理结构图，电子经电压[U0]加速后进入偏转电场. 竖直极板[AB]间加偏转电压[UAB]、水平极板间[CD]加偏转电压[UCD]，偏转电压随时间变化规律如图14乙. 则荧光屏上所得的波形是选项中的（ ）
甲 乙
图14
[A B C D]
11. 如图15，[AC]是半径为[R]的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，圆平面与电场方向平行，场强大小为[E]，方向一定. 在圆周平面内，将一带电量为[q]、质量为[m]的小球从[A]点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在所有这些点中，到达[B]点的小球的动能最大. 已知[∠CAB＝45°]，不计小球重力及空气阻力.
图15
（1）求电场方向与[AC]间的夹角[θ]；
（2）若小球在[A]点沿[AC]方向以速度[v0]抛出，抛出后恰能经过[B]点，求小球到达[B]点的速度大小.
12. 如图16，相距为[d]的水平放置的两平行金属板构成的电容器电容为[C]，[a]板接地且中央有一孔，开始时两板均不带电. 现将电量为[q]、质量为[m]的液滴一滴一滴地从小孔正上方[h]处无初速滴下，前一滴到达[b]板后下一滴才开始下落，液滴落到[b]板后，其电荷全部转移到[b]板. 不计空气阻力的影响，重力加速度为[g]. 求：
图16
（1）能够到达[b]板的液滴不会超过多少滴?
（2）若能够到达[b]板的液滴数为[k]，则第[(k+1)]滴将如何运动?
13. 示波器是一种多功能电学仪器，可以在荧光屏上显示出被检测的电压波形. 它的工作原理等效成下列情况：如图17甲，真空室中电极[K]发出电子（初速不计），经过电压为[U1]的加速电场后，由小孔[S]沿水平金属板[A]、[B]间的中心线射入板中. 板长[L]，相距为[d]，在两板间加上图17乙的正弦交变电压，前半个周期内[B]板的电势高于[A]板的电势，电场全部集中在两板之间，且分布均匀. 在每个电子通过极板的极短时间内，电场视作恒定的. 在两极板右侧且与极板右端相距[D]处有一个与两板中心线垂直的荧光屏，中心线正好与屏上坐标原点相交. 当第一个电子到达坐标原点[O]时，使屏以速度[v]沿[-x]方向运动，每经过一定的时间后，在一个极短时间内它又跳回到初始位置，然后重新做同样的匀速运动. 已知电子的质量为[m]，带电量为[e]，不计电子重力. 求：
[甲][乙][丙]
图17
（1）电子进入[AB]板时的初速度；
（2）要使所有的电子都能打在荧光屏上，图17乙中电压的最大值[U0]需满足什么条件?
（3）要使荧光屏上始终显示一个完整的波形，荧光屏必须每隔多长时间回到初始位置?计算这个波形的峰值和长度，并在图17丙的坐标系中画出这个波形.
14. 反射式调管是常用的微波器件之一，它利用电子团在电场中的振荡来产生微波，其振荡原理与下述过程类似. 如图18，在虚线[MN]两侧分别存在着方向相反的两个匀强电场，一带电微粒从[A]点由静止开始，在电场力作用下沿直线在[A、B]两点间往返运动. 已知电场强度的大小分别是[E1=2.0×103]N/C和[E2=4.0×103]N/C，方向如图，带电微粒质量[m=1.0×10-20kg]，带电量[q=-1.0×10-9C]，[A]点距虚线[MN]的距离[d1=1.0cm]，不计带电微粒的重力，忽略相对论效应. 求：
图18
（1）[B]点到虚线[MN]的距离[d2]；
（2）带电微粒从[A]点运动到[B]点所经历的时间.
15. 如图19，三块平行金属板竖直固定在表面光滑的绝缘小车上，并与车内的电池连接，小车的总质量为[M,A、B]板，[B、C]板间距均为[L]，金属扳[B、C]上开有小孔，两小孔的连线沿水平方向且垂直于三块金属板，整个装置静止在光滑水平面上. 已知车内电池[G]的电动势为[E1]，电池[H]的电动势为[E2].现有一质量为[m]，带电量为[+q]的小球以初速度[v０]沿两孔连线方向射入小车（设带电小球不影响板间电场）. 求：
图19
（1）小球进入小车由[C]板向[B]板运动时，小球和小车各做什么运动?
（2）证明小球由[C]板到[B]板的过程中，电场力对小球和小车组成的系统做功为[qE1]；
（3）为使小球不打到[A]板上，电池[H]的电动势[E2]应满足什么条件?
[【考点专练·必考4.2】]
1. 关于带负电的粒子（重力可忽略不计），下列说法正确的是（ ）
A. 沿电场线方向飞入匀强电场，电场力做功，动能增加
B. 垂直电场线方向飞入匀强电场，电场力做功，动能增加
C. 沿磁感线方向飞入匀强磁场，磁场力做功，动能增加
D. 垂直磁感线方向飞入匀强磁场，磁场力不做功，动能不变
2. 如图20，带电平行板间匀强电场竖直向上，匀强磁场方向垂直纸面向里，某带电小球从光滑轨道上的[a]点自由滑下，经轨道端点[P]进入板间后恰好沿水平方向做直线运动. 现使小球从稍低些的[b]点自由滑下，在经过[P]点进入板间后的运动过程中（ ）
[× × × ×
× × × ×]
图20
A. 其动能将会增大
B. 其电势能将会增大
C. 小球所受的洛伦兹力将会增大
D. 小球受到的电场力将会增大
3. 如图21，实线表示处在竖直平面内的匀强电场的电场线，与水平方向成[α]，水平方向的匀强磁场与电场正交. 有一带电液滴沿斜向上的虚线[l]做直线运动，[l]与水平方向成[β]，且[α>β]，则（ ）
[× × ×
× × ×
× × ×
× × ×]
图21
A. 液滴一定做匀速直线运动
B. 液滴一定带正电
C. 电场线方向一定斜向上
D. 液滴有可能做匀变速直线运动
4. 如图22，用绝缘细丝线悬吊着的带正电小球在匀强磁场中做简谐运动，则（ ）
[× × × × × ×
× × × × × ×
× × × × × ×]
图22
A. 当小球每次通过平衡位置时，动能相同
B. 当小球每次通过平衡位置时，动量相同
C. 当小球每次通过平衡位置时，丝线的拉力相同
D. 撤消磁场后，小球摆动的周期不变
5. 如图23，在直角坐标系的第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，正、负离子分别以相同的速度从原点[O]进入磁场，进入磁场的速度方向与[x]轴正方向夹角为[30°]. 已知正离子运动的轨迹半径大于負离子，则（ ）
[× × × × ×
× × × × ×
× × × × ×
× × × × ×
× × × × ×]
图23
A. 正离子的比荷大于负离子
B. 正离子在磁场中受到的向心力大于负离子
C. 正离子在磁场中运动的时间大于负离子
D. 正离子离开磁场时的位置到原点的距离大于负离子
6. 如图24，匀强电场[E]的方向竖直向下，匀强磁场[B]的方向垂直纸面向里，让三个带有等量同种电荷的油滴[M、N、P]进入该区域中，[M]进入后能向左做匀速运动，[N]进入后能在竖直平面内做匀速圆周运动，[P]进入后能向右做匀速运动，不计空气阻力，则三个油滴的质量关系是（ ）
[× × × ×
× × × ×
× × × ×
× × × ×]
图24
A. [mM>mN>mP] B. [mP>mN>mM]
C. [mNmM=mP]
7. 如图25，两个半径相同的半圆形轨道分别竖直放在匀强电场和匀强磁场中，轨道两端在同一高度上，轨道是光滑的. 两个相同的带正电小球同时从两轨道左端最高点由静止释放，[M、N]为轨道的最低点，则（ ）
[· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·]
图25
A. 两小球到达轨道最低点的速度[vM>vN]
B. 两小球到达轨道最低点时对轨道的压力[NM>NN]
C. 小球第一次到达[M]点的时间大于小球第一次到达[N]点的时间
D. 在磁场中小球能到达轨道的另一端，在电场中小球不能到达轨道的另一端
8. 如图26甲，[MN]左侧有一垂直纸面向里的匀强磁场. 现将一边长为[l]、质量为[m]、电阻为[R]的正方形金属线框置于该磁场中，使线框平面与磁场垂直，且[bc]边与磁场边界[MN]重合. 当[t=0]时，对线框施加一水平拉力[F]，使线框由静止开始向右做匀加速直线运动；当[t=t0]时，线框的[ad]边与磁场边界[MN]重合. 图26乙为拉力[F]随时间变化的图线. 由以上条件可知，磁场的磁感应强度[B]的大小为（ ）
[× × × ×
× × × ×
× × × ×
× × × ×
× × × ×]
甲 乙
图26
A. [1lmRt0] B. [1l2mRt0]
C. [1lmR2t0] D. [2lmRt0]
9. 如图27，光滑的水平桌面处在方向竖直向下的匀强磁场中，桌面上平放着一根一端开口、内壁光滑的绝缘细管，细管封闭端有一带电小球，小球直径略小于管的直径，细管的中心轴线沿[y]轴方向. 在水平拉力[F]作用下，试管沿[x]轴方向匀速运动，带电小球能从细管口处飞出. 则带电小球在离开细管前的运动过程中，关于小球运动的加速度[a]、沿[y]轴方向的速度[vy]、拉力[F]以及管壁对小球的弹力做功的功率[P]随时间[t]变化的图象，正确的是（ ）
图27
[A B C D]
10. 为监测某化工厂的含有离子的污水排放情况，技术人员在排污管中安装了监测装置，该装置的核心部分是一个用绝缘材料制成的空腔，其宽和高分别为[b]和[c]，左、右两端开口与排污管相连，如图28. 在垂直于上、下底面方向加磁感应强度大小为[B]的匀强磁场，在空腔前、后两个侧面上各有长为[a]的相互平行且正对的电极[M]和[N，M]和[N]与内阻为[R]的电流表相连. 污水从左向右流经该装置时，电流表将显示出污水排放情况. 则下列说法错误的是（ ）
图28
A. [M]板比[N]板电势低
B. 污水中离子浓度越高，则电流表的示数越小
C. 污水流量越大，则电流表的示数越大
D. 若只增大所加磁场的磁感应强度，则电流表的示数也增大
11. 正负电子对撞机的最后部分的简化示意图如图29甲(俯视图)，位于水平面内的粗实线所示的圆环形真空管道是正、负电子做圆运动的“容器”，经过加速器加速后的正、负电子被分别引入该管道时，具有相等的速率[v]，它们沿着管道向相反的方向运动. 在管道内控制它们转弯的是一系列圆形电磁铁，即图中的[A1、A2、A3…An]共有[n]个，均匀分布在整个圆环上，每个电磁铁内的磁场都是磁感应强度相同的匀强磁场，并且方向竖直向下，磁场区域的直径为[d]，改变电磁铁内电流的大小，就可改变磁场的磁感应强度，从而改变电子偏转的角度. 经过精确的调整，首先实现电子在环形管道中沿图29甲中粗虚线的轨迹运动，这时电子经过每个电磁场区域时射入点和射出点都是电磁场区域的同一条直径的两端，如图29乙. 这就为进一步实现正、负电子的对撞作好了准备.
甲 乙
图29
（1）试确定正、负电子在管道内各是沿什么方向旋转的；
（2）已知正、负电子的质量都是[m]，所带电荷都是元电荷[e]，重力可不计，求电磁铁内匀强磁场的磁感应强度[B]的大小.
12. 图30为某种质谱仪的结构示意图. 其中加速电场的电压为[U]，静电分析器中与圆心[O1]等距各点的电场强度大小相同，方向沿徑向指向圆心[O1]. 磁分析器中以[O2]为圆心、圆心角为[90°]的扇形区域内，分布着方向垂直于纸面的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右边界平行. 由离子源发出一个质量为[m]、电荷量为[q]的正离子（初速度为零，重力不计），经加速电场加速后，从[M]点沿垂直于该点的场强方向进入静电分析器. 在静电分析器中，离子沿半径为[R]的四分之一圆弧轨道做匀速圆周运动，并从[N]点射出静电分析器. 而后离子由[P]点沿着既垂直于磁分析器的左边界，又垂直于磁场方向射入磁分析器中，最后离子沿垂直于磁分析器下边界的方向从[Q]点射出，并进入收集器. 测量出[Q]点与圆心[O2]的距离为[d].
[磁分析器][收集器][离子源][加速电场][静电分析器]
图30
（1）求静电分析器中离子运动轨迹处电场强度[E]的大小；
（2）求磁分析器中磁场的磁感应强度[B]的大小和方向；
（3）通过分析和必要的数学推导，请你说明如果离子的质量为[0.9m]，电荷量仍为[q]，其他条件不变，这个离子射出电场和射出磁场的位置是否变化.
13. 如图31，在以坐标原点[O]为圆心、半径为[R]的半圆形区域内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度为[B]，磁场方向垂直于[xOy]平面向里. 一带正电的粒子（不计重力）从[O]点沿[y]轴正方向以某一速度射入，带电粒子恰好做匀速直线运动，经时间[t0]从[P]点射出.
[× × × ×
× × × × × ×
× × × × × × × ×
× × × × × × × ×]
图31
（1）求电场强度的大小和方向；
（2）若仅撤去磁场，带电粒子仍从[O]点以相同的速度射入，经时间[t0]恰从半圆形区域的边界射出. 求粒子运动的加速度大小；
（3）若仅撤去电场，带电粒子仍从[O]点射入，且速度为原来的4倍，求粒子在磁场中运动的时间.
14. 如图32甲，在以[O]为圆心，内外半径分别为[R1]和[R2]的圆环区域内，存在辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场，内外圆间的电势差[U]为常量，[R1=R0]，[R2=3R0]. 一电荷量为[+q]，质量为[m]的粒子从内圆上的[A]点进入，不计重力.
甲 乙
图32
（1）已知粒子从外圆上以速度[v1]射出，求粒子在[A]点的初速度[v0]的大小；
（2）若撤去电场，如图32乙，已知粒子从[OA]延长线与外圆的交点[C]以速度[v2]射出，方向与[OA]延长线成[45°]，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间；
（3）在图32乙中，若粒子从[A]点进入磁场，速度大小为[v3]，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？
15. 如图33，在区域Ⅰ[(0≤x≤d)]和区域Ⅱ[(d＜x≤2d)]内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为[B]和[2B]，方向相反，且都垂直于[xOy]平面. 一质量为[m]、带电荷量[q(q＞0)]的粒子[a]于某时刻从[y]轴上的[P]点射入区域Ⅰ，其速度方向沿[x]轴正向. 已知[a]在离开区域Ⅰ时，速度方向与[x]轴正方向的夹角为30°；另一质量和电荷量均与[a]相同的粒子[b]也从[P]点沿[x]轴正向射入区域Ⅰ，其速度大小是[a]的[13]. 不计重力和两粒子之间的相互作用力. 求:
（1）粒子[a]射入区域Ⅰ时速度的大小；
（2）当[a]离开区域Ⅱ时，[a、b]两粒子的[y]坐标之差.
一、电场中的曲线运动
例1 长为[L]的细线一端系有一带正电小球，另一端拴在空间[O]点，加一大小恒定的匀强电场，使小球受到的电场力大小总是等于重力的[3]倍，当电场取不同方向时，可使小球绕[O]点以半径[L]分别在水平面内、竖直平面内、倾斜平面内做圆周运动.
（1）小球在竖直平面内做圆周运动时，求其运动速度最小值；
（2）当小球在与水平面成[30°]的平面内恰好做圆周运动时，求小球运动的最大速度及此时电场的方向.
解析 （1）带电小球在竖直面内恰做圆周运动时，设其最小速度为[vmin]，此时重力与电场力的合力[F]提供向心力. 则当重力与电场力反向时，[F]取最小值，设带电小球的质量为[m]，它所受重力为[mg]，有
[F=qE-mg=3mg-mg=(3-1)mg]
帶电小球速度的最小值[vmin=(3-1)gL].
（2）电场力[FE=3mg]. 当轨道平面与水平面成[30°]时，重力与电场力的合力[F0]，必沿悬绳方向，受力如图1. 设电场强度方向与合力[F0]成[α]，则
[qEsinα=mgcos30°]，得[α＝30°]
即电场沿水平方向向左，或者[α＝150°]，电场沿图中虚线[QR]斜向上.
当[α＝30°]时，重力和电场力的合力最大，小球做圆周运动的速度才能最大，此时合力
[F0=mgsin30°=2mg].
图1
当小球恰做圆周运动时，在[P]点速度最小时线的拉力为零，[F0]提供向心力. 即[F0=mv12L]. 对小球从圆周运动的“最高点”[P]到“最低点”[Q]的过程运用动能定理，有
[F02L=12mv22-12mv12]
得小球在这一平面上运动的最大速度为
[v2=10gL].
点拨 对电场中的圆周运动，可引入“等效重力场”概念，把重力场和匀强电场的问题简化为只有一个场的问题，从而将重力场中的相关规律有效地迁移过来. 所以小球做圆周运动，并非到达几何最高点时速度最小，因为有电场的存在，此时重力和电场力的合力不在竖直方向上，就需要找出等效的最低点和最高点，通常称为物理最低点和最高点.
二、有界磁场问题
例2 如图2甲，在某一真空空间建立[xOy]坐标系，从原点[O]处向第I象限发射荷质比[qm=104C/kg]的带正电的粒子，不计重力，速度大小[v0=]103m/s，方向与[x]轴正方向成[30°].
（1）若在坐标系[y]轴右侧加匀强磁场，使第I象限磁场方向垂直[xOy]平面向外，第Ⅳ象限磁场方向垂直[xOy]平面向里，磁感应强度为[B=1T]，求粒子从[O]点射出后，第2次经过[x]轴时的坐标[x1]；
（2）若将上述磁场均改为如图2乙中变化的匀强磁场，在[t=0]到[t=2π3×10-4s]时，磁场方向垂直于[xOy]平面向外；在[t=2π3×10-4s]到[t=4π3×10-4]s时，磁场方向垂直于[xOy]平面向里，此后该空间不存在磁场. 在[t=0]时刻，粒子仍从[O]点以与原来相同的速度[v0]射入，求粒子从[O]点射出后第2次经过[x]轴时的坐标[x2].
[× × × ×
× × × ×
× × × ×][· · · ·
· · · ·]
甲 乙
图2
解析 （1）粒子在[x]轴上方和下方的磁场中做半径相同的匀速圆周运动，其运动轨迹如图3 甲. 设粒子的轨道半径为[r]，有
[qvB=mv2r,得到r=0.1m]，转过圆心角[π3].
由几何关系，知粒子第二次经过[x]轴的坐标[x1=2r=0.2m].
[× × × ×
× × × ×
× × × ×][· · · ·
· · · ·
· · · ·]
甲 乙
图3
（2）设粒子在磁场中做圆周运动的周期为[T]，有[T=2πmBq=2π×10-4s].
据题意，粒子在[t=0]到[t=2π3×10-4s]内和在[t=2π3×10-4s]到[t=4π3×10-4s]时间内，在磁场中转过的圆弧所对的圆心角均为[2π3]，粒子的运动轨迹如图3乙. 由几何关系，得[x2=6r=0.6m].
点拨 有界磁场的常见情境：单边界磁场、双边界磁场、矩形边界磁场、圆形边界磁场等. 带电粒子在有界磁场中的运动综合性较强，往往要用到圆周运动的知识，还涉及平面几何、解析几何等知识，应结合运用数学知识和物理情景进行分析.
三、磁场中的极值问题
例3 如图4，在[xOy]平面内有许多质量为[m]、电荷量为[e]的电子从坐标原点[O]以相同速率[v0]沿不同方向射入第Ⅰ象限. 欲使从[O]点射出的所有电子均沿[x]轴正方向运动，可以在适当的地方加一个垂直于[xOy]平面的磁感应强度为[B]的匀强磁场.
图4
（1）若所加磁场的方向垂直纸面向里，求所加最小磁场区域的面积；
（2）若所加磁场的方向垂直纸面向外，写出所加最小磁场区域的边界方程.
解析 （1）电子在磁场中运动轨迹是圆弧，由 [Bev0=mv20R]，得圆形轨迹的半径[R=mv0Be]. 若所加磁场的方向垂直纸面向里，假如磁场区域足够大，画出所有可能的轨迹如图5甲，其中圆[O1]和圆[O2]为从原点射出，电子经第I象限的所有圆中的最低和最高位置的两个圆. 若要使电子飞出磁场平行于[x]轴，这些圆的最高点应是区域的下边界. 可证明，此下边界为一段圆弧，将这些圆心连线（图中虚线[O1O2]）向上平移一段长度为[R]的距离就是磁场区域的下边界；圆[O2]的[y]轴正方向的[14]个圆应是磁场的上边界，两边界之间图形（如图5乙）的面积即为所求图中的阴影区域面积，磁场区域面积
[S=2(14πR2-R22)=(π-2)m2v202B2e2]
甲 乙 丙
图5
（2）若所加的匀强磁场方向垂直[xOy]平面向外. 设电子从[O]点射入第Ⅰ象限时与[x]轴夹角为[α(0°≤α≤90°)]，则
对于[α→0°]射入的电子，应在磁场中做圆心为（[0，R]）、半径为[R]的一个圆周运动后即可沿[x]轴正方向运动；
对于[α→90°]射入的电子，应在磁场中做圆心为（[－R，0]）、半径为[R]的[34]个圆周运动后即可沿[x]轴正方向运动；
对于任意角度[α(0°<α<90°)]射入的电子，它在磁场中以[O1]为圆心做圆周运动，如图5丙. 设它在点[P(x，y)]处离开磁场后可垂直射入电场中，由于电子在[P]点的速度方向平行于[x]轴，则[PO1]应与[x]轴垂直. 设[PO1]垂直[x]轴于[Q]， 有[OQ2+O1Q2=R2]，即[x2+(y+R)2=R2]，此方程表示这种情况下符合题中要求的电子从磁场射出的点边界在圆心为[(0，－R)]、半径为[R]的圆上.
综上所述，磁场的边界由四段圆弧（[R=mv0Be]）组成，其方程
[x2+(y-R)2=R2][(x≥0，y≥0)]；
[x2+y2=(2R)2][(x<0，y≥0)]
[(x+R)2+y2=R2][(x≤-R，y<0)]；
[x2+(y+R)2=R2][(x≥-R，y<0)]
点拨 对带电粒子在有界磁场中运动的极值问题，刚好穿出磁场边界的条件通常是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切. 最小圆形磁场区域的计算：先依据题意和几何知识，确定圆弧轨迹的圆心、半径和粒子运动的轨迹，再用最小圆覆盖粒子运动的轨迹. 一般情况下是圆形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦，找到磁场边界的两点，以这两点的距离为直径的圆面积最小.
[【考点专练·必考4.1】]
1. 如图6，真空中有四点[A、B、C、D]共线等距，只在[A]点放一电量为[+Q]的点电荷时，[B]点场强为[E，B、C、D]三点电势分别为[8V、4V、][83V]. 若再将等量异号电荷[-Q]放在[D]点，则（ ）
图6
A. [B]点场强为[3E4]，方向水平向右
B. [B]点场强为[5E4]，方向水平向右
C. [BC]线段的中点电势为零
D. [B、C]两点的电势分别为[4V和-4V]
2. 在点电荷[-Q]的电场中的某位置，质子具有[E0]的动能即可逃逸此电场束缚，那么[α]粒子要从该位置逃逸此电场束缚，需要的动能至少为（ ）
A. [E04] B. [E02]
C. [2E0] D. [4E0]
3. 如图7，平行板电容器两板间距离为[d]，在两板间加一恒定电压[U.] 现让正极板接地，并在两板间放入一半径为[R(2R＜d)]的绝缘金属球壳，[c、d]是直径上的两端点，则（ ）
图7
A. 由于静电感应，[c、d]两点的电势差为[(2Rd)U]
B. 由于静电感应，球心[O]处场强为零
C. 若将球壳接地，再断开，然后拿走电容器，球壳上将带正电荷
D. 若将球壳接地，再断开，然后拿走电容器，球壳上将带负电荷
4. 如图8，在真空中有两个固定的等量异号点电荷[+Q]和[-Q]. 直线[MN]是两点电荷连线的中垂线，[O]是两点电荷连线与直线[MN]的交点. [a、b]是两点电荷连线上关于[O]的对称点，[C、D]是直线[MN]上的两个点. 则（ ）
图8
A. [a]点的场强大于[b]点的场强；将一检验电荷沿[MN]由[c]移动到[d]，所受电场力先增大后减小
B. [a]点的场强小于[b]点的场强；将一检验电荷沿[MN]由[c]移动到[d]，所受电场力先减小后增大
C. [a]点的场强等于[b]点的场强；将一检验电荷沿[MN]由[c]移动到[d]，所受电场力先增大后减小
D. [a]点的场强等于[b]点的场强；将一检验电荷沿[MN]由[c]移动到[d]，所受电场力先减小后增大
5．一正电荷处于电场中，只在电场力作用下从[A]点沿直线运动到[B]点，其速度随时间变化的图象如图9，[tA]、[tB]分别对应电荷在[A、B]两点的时刻，则（ ）
图9
A．[A]处的场强一定大于[B]处的场强
B．[A]处的电势一定低于[B]处的电势
C．正电荷在[A]处的电势能一定大于[B]处的电势能
D．由[A]至[B]的过程中，电场力一定对正电荷做负功
6．如图10，带电量为[＋Q]的点电荷甲固定在绝缘平面上的[O]点；另一个带电量为[－q]、质量为[m]的点电荷乙，从[A]点以初速度[v0]沿它们的连线向甲滑行，运动到[B]点静止．已知静电力常量为[k]，点电荷乙与水平面的动摩擦因数为[μ]，[A、B]间的距离为[s].则（ ）
[甲 乙]
图10
A．[O、B]间的距离为[kQqμmg]
B．点电荷乙从[A]运动到[B]的过程中，中间时刻的速度小于[v02]
C．点电荷乙从[A]运动到[B]的过程中，产生的内能为[12mv02]
D．在点电荷甲产生的电场中，[A、B]两点间的电势差[UAB＝m(v02-2gμs)2q]
7. 如图11甲，两平行正对的金属板[A、B]间加图11乙的交变电压，一重力可忽略不计的带正电粒子被固定在两板的正中间[P]处. 若在[t0]时刻释放该粒子，粒子会时而向[A]板运动，时而向[B]板运动，并最终打在[A]板上. 则[t0]可能属于的时间段是（ ）
甲 乙
图11
A. [0
图12
A. 运动到[B]处的速度为零
B. 在下落过程中加速度逐渐减小
C. 运动到[B]处的速度大小为[233g(h2-h1)]
D. 速度最大处与底部点电荷距离为[kQqmg]
9．如图13，带正电的粒子以一定的初速度[v0]沿中线进入水平放置的平行金属板内，恰好沿下板的边缘飞出. 已知板长为[L]，板间距为[d]，板间电压为[U]，带电粒子所带电量为[q]，粒子通过平行金属板的时间为[t]，不计粒子的重力，则（ ）
图13
A．粒子在前[t2]时间内，电场力对粒子做的功为[qU4]
B．粒子在后[t2]时间内，电场力对粒子做的功为[3qU8]
C．粒子在竖直方向的前[d4]和后[d4]位移内，电场力做功之比为1∶2
D．粒子在竖直方向的前[d4]和后[d4]位移内，电场力的冲量之比为1∶1
10. 示波器是一种常见的电学仪器，可以在荧光屏上显示出被检测的电压随时间的变化情况. 图14甲为示波器的原理结构图，电子经电压[U0]加速后进入偏转电场. 竖直极板[AB]间加偏转电压[UAB]、水平极板间[CD]加偏转电压[UCD]，偏转电压随时间变化规律如图14乙. 则荧光屏上所得的波形是选项中的（ ）
甲 乙
图14
[A B C D]
11. 如图15，[AC]是半径为[R]的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，圆平面与电场方向平行，场强大小为[E]，方向一定. 在圆周平面内，将一带电量为[q]、质量为[m]的小球从[A]点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在所有这些点中，到达[B]点的小球的动能最大. 已知[∠CAB＝45°]，不计小球重力及空气阻力.
图15
（1）求电场方向与[AC]间的夹角[θ]；
（2）若小球在[A]点沿[AC]方向以速度[v0]抛出，抛出后恰能经过[B]点，求小球到达[B]点的速度大小.
12. 如图16，相距为[d]的水平放置的两平行金属板构成的电容器电容为[C]，[a]板接地且中央有一孔，开始时两板均不带电. 现将电量为[q]、质量为[m]的液滴一滴一滴地从小孔正上方[h]处无初速滴下，前一滴到达[b]板后下一滴才开始下落，液滴落到[b]板后，其电荷全部转移到[b]板. 不计空气阻力的影响，重力加速度为[g]. 求：
图16
（1）能够到达[b]板的液滴不会超过多少滴?
（2）若能够到达[b]板的液滴数为[k]，则第[(k+1)]滴将如何运动?
13. 示波器是一种多功能电学仪器，可以在荧光屏上显示出被检测的电压波形. 它的工作原理等效成下列情况：如图17甲，真空室中电极[K]发出电子（初速不计），经过电压为[U1]的加速电场后，由小孔[S]沿水平金属板[A]、[B]间的中心线射入板中. 板长[L]，相距为[d]，在两板间加上图17乙的正弦交变电压，前半个周期内[B]板的电势高于[A]板的电势，电场全部集中在两板之间，且分布均匀. 在每个电子通过极板的极短时间内，电场视作恒定的. 在两极板右侧且与极板右端相距[D]处有一个与两板中心线垂直的荧光屏，中心线正好与屏上坐标原点相交. 当第一个电子到达坐标原点[O]时，使屏以速度[v]沿[-x]方向运动，每经过一定的时间后，在一个极短时间内它又跳回到初始位置，然后重新做同样的匀速运动. 已知电子的质量为[m]，带电量为[e]，不计电子重力. 求：
[甲][乙][丙]
图17
（1）电子进入[AB]板时的初速度；
（2）要使所有的电子都能打在荧光屏上，图17乙中电压的最大值[U0]需满足什么条件?
（3）要使荧光屏上始终显示一个完整的波形，荧光屏必须每隔多长时间回到初始位置?计算这个波形的峰值和长度，并在图17丙的坐标系中画出这个波形.
14. 反射式调管是常用的微波器件之一，它利用电子团在电场中的振荡来产生微波，其振荡原理与下述过程类似. 如图18，在虚线[MN]两侧分别存在着方向相反的两个匀强电场，一带电微粒从[A]点由静止开始，在电场力作用下沿直线在[A、B]两点间往返运动. 已知电场强度的大小分别是[E1=2.0×103]N/C和[E2=4.0×103]N/C，方向如图，带电微粒质量[m=1.0×10-20kg]，带电量[q=-1.0×10-9C]，[A]点距虚线[MN]的距离[d1=1.0cm]，不计带电微粒的重力，忽略相对论效应. 求：
图18
（1）[B]点到虚线[MN]的距离[d2]；
（2）带电微粒从[A]点运动到[B]点所经历的时间.
15. 如图19，三块平行金属板竖直固定在表面光滑的绝缘小车上，并与车内的电池连接，小车的总质量为[M,A、B]板，[B、C]板间距均为[L]，金属扳[B、C]上开有小孔，两小孔的连线沿水平方向且垂直于三块金属板，整个装置静止在光滑水平面上. 已知车内电池[G]的电动势为[E1]，电池[H]的电动势为[E2].现有一质量为[m]，带电量为[+q]的小球以初速度[v０]沿两孔连线方向射入小车（设带电小球不影响板间电场）. 求：
图19
（1）小球进入小车由[C]板向[B]板运动时，小球和小车各做什么运动?
（2）证明小球由[C]板到[B]板的过程中，电场力对小球和小车组成的系统做功为[qE1]；
（3）为使小球不打到[A]板上，电池[H]的电动势[E2]应满足什么条件?
[【考点专练·必考4.2】]
1. 关于带负电的粒子（重力可忽略不计），下列说法正确的是（ ）
A. 沿电场线方向飞入匀强电场，电场力做功，动能增加
B. 垂直电场线方向飞入匀强电场，电场力做功，动能增加
C. 沿磁感线方向飞入匀强磁场，磁场力做功，动能增加
D. 垂直磁感线方向飞入匀强磁场，磁场力不做功，动能不变
2. 如图20，带电平行板间匀强电场竖直向上，匀强磁场方向垂直纸面向里，某带电小球从光滑轨道上的[a]点自由滑下，经轨道端点[P]进入板间后恰好沿水平方向做直线运动. 现使小球从稍低些的[b]点自由滑下，在经过[P]点进入板间后的运动过程中（ ）
[× × × ×
× × × ×]
图20
A. 其动能将会增大
B. 其电势能将会增大
C. 小球所受的洛伦兹力将会增大
D. 小球受到的电场力将会增大
3. 如图21，实线表示处在竖直平面内的匀强电场的电场线，与水平方向成[α]，水平方向的匀强磁场与电场正交. 有一带电液滴沿斜向上的虚线[l]做直线运动，[l]与水平方向成[β]，且[α>β]，则（ ）
[× × ×
× × ×
× × ×
× × ×]
图21
A. 液滴一定做匀速直线运动
B. 液滴一定带正电
C. 电场线方向一定斜向上
D. 液滴有可能做匀变速直线运动
4. 如图22，用绝缘细丝线悬吊着的带正电小球在匀强磁场中做简谐运动，则（ ）
[× × × × × ×
× × × × × ×
× × × × × ×]
图22
A. 当小球每次通过平衡位置时，动能相同
B. 当小球每次通过平衡位置时，动量相同
C. 当小球每次通过平衡位置时，丝线的拉力相同
D. 撤消磁场后，小球摆动的周期不变
5. 如图23，在直角坐标系的第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，正、负离子分别以相同的速度从原点[O]进入磁场，进入磁场的速度方向与[x]轴正方向夹角为[30°]. 已知正离子运动的轨迹半径大于負离子，则（ ）
[× × × × ×
× × × × ×
× × × × ×
× × × × ×
× × × × ×]
图23
A. 正离子的比荷大于负离子
B. 正离子在磁场中受到的向心力大于负离子
C. 正离子在磁场中运动的时间大于负离子
D. 正离子离开磁场时的位置到原点的距离大于负离子
6. 如图24，匀强电场[E]的方向竖直向下，匀强磁场[B]的方向垂直纸面向里，让三个带有等量同种电荷的油滴[M、N、P]进入该区域中，[M]进入后能向左做匀速运动，[N]进入后能在竖直平面内做匀速圆周运动，[P]进入后能向右做匀速运动，不计空气阻力，则三个油滴的质量关系是（ ）
[× × × ×
× × × ×
× × × ×
× × × ×]
图24
A. [mM>mN>mP] B. [mP>mN>mM]
C. [mN
7. 如图25，两个半径相同的半圆形轨道分别竖直放在匀强电场和匀强磁场中，轨道两端在同一高度上，轨道是光滑的. 两个相同的带正电小球同时从两轨道左端最高点由静止释放，[M、N]为轨道的最低点，则（ ）
[· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·
· · · · ·]
图25
A. 两小球到达轨道最低点的速度[vM>vN]
B. 两小球到达轨道最低点时对轨道的压力[NM>NN]
C. 小球第一次到达[M]点的时间大于小球第一次到达[N]点的时间
D. 在磁场中小球能到达轨道的另一端，在电场中小球不能到达轨道的另一端
8. 如图26甲，[MN]左侧有一垂直纸面向里的匀强磁场. 现将一边长为[l]、质量为[m]、电阻为[R]的正方形金属线框置于该磁场中，使线框平面与磁场垂直，且[bc]边与磁场边界[MN]重合. 当[t=0]时，对线框施加一水平拉力[F]，使线框由静止开始向右做匀加速直线运动；当[t=t0]时，线框的[ad]边与磁场边界[MN]重合. 图26乙为拉力[F]随时间变化的图线. 由以上条件可知，磁场的磁感应强度[B]的大小为（ ）
[× × × ×
× × × ×
× × × ×
× × × ×
× × × ×]
甲 乙
图26
A. [1lmRt0] B. [1l2mRt0]
C. [1lmR2t0] D. [2lmRt0]
9. 如图27，光滑的水平桌面处在方向竖直向下的匀强磁场中，桌面上平放着一根一端开口、内壁光滑的绝缘细管，细管封闭端有一带电小球，小球直径略小于管的直径，细管的中心轴线沿[y]轴方向. 在水平拉力[F]作用下，试管沿[x]轴方向匀速运动，带电小球能从细管口处飞出. 则带电小球在离开细管前的运动过程中，关于小球运动的加速度[a]、沿[y]轴方向的速度[vy]、拉力[F]以及管壁对小球的弹力做功的功率[P]随时间[t]变化的图象，正确的是（ ）
图27
[A B C D]
10. 为监测某化工厂的含有离子的污水排放情况，技术人员在排污管中安装了监测装置，该装置的核心部分是一个用绝缘材料制成的空腔，其宽和高分别为[b]和[c]，左、右两端开口与排污管相连，如图28. 在垂直于上、下底面方向加磁感应强度大小为[B]的匀强磁场，在空腔前、后两个侧面上各有长为[a]的相互平行且正对的电极[M]和[N，M]和[N]与内阻为[R]的电流表相连. 污水从左向右流经该装置时，电流表将显示出污水排放情况. 则下列说法错误的是（ ）
图28
A. [M]板比[N]板电势低
B. 污水中离子浓度越高，则电流表的示数越小
C. 污水流量越大，则电流表的示数越大
D. 若只增大所加磁场的磁感应强度，则电流表的示数也增大
11. 正负电子对撞机的最后部分的简化示意图如图29甲(俯视图)，位于水平面内的粗实线所示的圆环形真空管道是正、负电子做圆运动的“容器”，经过加速器加速后的正、负电子被分别引入该管道时，具有相等的速率[v]，它们沿着管道向相反的方向运动. 在管道内控制它们转弯的是一系列圆形电磁铁，即图中的[A1、A2、A3…An]共有[n]个，均匀分布在整个圆环上，每个电磁铁内的磁场都是磁感应强度相同的匀强磁场，并且方向竖直向下，磁场区域的直径为[d]，改变电磁铁内电流的大小，就可改变磁场的磁感应强度，从而改变电子偏转的角度. 经过精确的调整，首先实现电子在环形管道中沿图29甲中粗虚线的轨迹运动，这时电子经过每个电磁场区域时射入点和射出点都是电磁场区域的同一条直径的两端，如图29乙. 这就为进一步实现正、负电子的对撞作好了准备.
甲 乙
图29
（1）试确定正、负电子在管道内各是沿什么方向旋转的；
（2）已知正、负电子的质量都是[m]，所带电荷都是元电荷[e]，重力可不计，求电磁铁内匀强磁场的磁感应强度[B]的大小.
12. 图30为某种质谱仪的结构示意图. 其中加速电场的电压为[U]，静电分析器中与圆心[O1]等距各点的电场强度大小相同，方向沿徑向指向圆心[O1]. 磁分析器中以[O2]为圆心、圆心角为[90°]的扇形区域内，分布着方向垂直于纸面的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右边界平行. 由离子源发出一个质量为[m]、电荷量为[q]的正离子（初速度为零，重力不计），经加速电场加速后，从[M]点沿垂直于该点的场强方向进入静电分析器. 在静电分析器中，离子沿半径为[R]的四分之一圆弧轨道做匀速圆周运动，并从[N]点射出静电分析器. 而后离子由[P]点沿着既垂直于磁分析器的左边界，又垂直于磁场方向射入磁分析器中，最后离子沿垂直于磁分析器下边界的方向从[Q]点射出，并进入收集器. 测量出[Q]点与圆心[O2]的距离为[d].
图30
（1）求静电分析器中离子运动轨迹处电场强度[E]的大小；
（2）求磁分析器中磁场的磁感应强度[B]的大小和方向；
（3）通过分析和必要的数学推导，请你说明如果离子的质量为[0.9m]，电荷量仍为[q]，其他条件不变，这个离子射出电场和射出磁场的位置是否变化.
13. 如图31，在以坐标原点[O]为圆心、半径为[R]的半圆形区域内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度为[B]，磁场方向垂直于[xOy]平面向里. 一带正电的粒子（不计重力）从[O]点沿[y]轴正方向以某一速度射入，带电粒子恰好做匀速直线运动，经时间[t0]从[P]点射出.
[× × × ×
× × × × × ×
× × × × × × × ×
× × × × × × × ×]
图31
（1）求电场强度的大小和方向；
（2）若仅撤去磁场，带电粒子仍从[O]点以相同的速度射入，经时间[t0]恰从半圆形区域的边界射出. 求粒子运动的加速度大小；
（3）若仅撤去电场，带电粒子仍从[O]点射入，且速度为原来的4倍，求粒子在磁场中运动的时间.
14. 如图32甲，在以[O]为圆心，内外半径分别为[R1]和[R2]的圆环区域内，存在辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场，内外圆间的电势差[U]为常量，[R1=R0]，[R2=3R0]. 一电荷量为[+q]，质量为[m]的粒子从内圆上的[A]点进入，不计重力.
甲 乙
图32
（1）已知粒子从外圆上以速度[v1]射出，求粒子在[A]点的初速度[v0]的大小；
（2）若撤去电场，如图32乙，已知粒子从[OA]延长线与外圆的交点[C]以速度[v2]射出，方向与[OA]延长线成[45°]，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间；
（3）在图32乙中，若粒子从[A]点进入磁场，速度大小为[v3]，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？
15. 如图33，在区域Ⅰ[(0≤x≤d)]和区域Ⅱ[(d＜x≤2d)]内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为[B]和[2B]，方向相反，且都垂直于[xOy]平面. 一质量为[m]、带电荷量[q(q＞0)]的粒子[a]于某时刻从[y]轴上的[P]点射入区域Ⅰ，其速度方向沿[x]轴正向. 已知[a]在离开区域Ⅰ时，速度方向与[x]轴正方向的夹角为30°；另一质量和电荷量均与[a]相同的粒子[b]也从[P]点沿[x]轴正向射入区域Ⅰ，其速度大小是[a]的[13]. 不计重力和两粒子之间的相互作用力. 求:
（1）粒子[a]射入区域Ⅰ时速度的大小；
（2）当[a]离开区域Ⅱ时，[a、b]两粒子的[y]坐标之差.