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【中图分类号】 G623.5 【文献标识码】B 【文章编号】 1001-4128（2011） 09-0103-02
华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休……”。“数”与“形”是数学的基本研究对象，而宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一，举一个简单的例子：黄金分割数，你是否留意过花瓣数与它的关系：3，5，8，13，21，34，…… ；同理，向日葵的叶片之间的夹角也与它有关系；报幕员站在舞台的位置也是在黄金分割点上；名画的主题，乐曲的高潮，人体的比例，生活体温、饮食；生物体的构造均符合黄金分割数——数和形的结合是数学美的最高境界。
《新课标》中关于高中数学新的教育理念提出：在教学方式上，要改变“问题——分析解答———练习”的传统模式，形成“ 实际问题———建立模型———解释应用”的新的教学模式。因此，要挖掘教学内容，增强数学教学的趣味性。而根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，使数和形之间巧妙和谐地结合起来，并利用这种“结合”找到解题思路，是这种模式的突出表现之一。教师应对平时在教学中落实“数形结合”的思想提出更高的要求，学生才能真正做到见数思形、见形想数、以形助数、以数辅形。下面用几个实例浅谈其中一个方面——“以数思形”在解题中的应用。
1 由数到形，利用形的直观
中学生相对于抽象思维，普遍更喜欢形象思维，对图形的记忆也总强于对文字、数式的记忆。教师应注意到学生思维方式上的这些特点，在讲授有关的数学知识时，尽可能数形结合、形数对照，使学生对所学内容更易于理解和记忆。而在解决实际问题时，同样应教给学生数形结合的思想方法，启发他们学会对一些数量关系作出“形”的解释，发掘其中“形”的因素，对“形”的相互关系的比较、度量，促进“数”的概念的发展，丰富计算方法。例如一些代数恒等式也可由几何方法给出证明，，利用下图，可以导出代数恒等式
这就是几何代数：用几何的方法来研究代数问题，求得代数问题的结果。
例1、1+（1+2）+（1+2+3）+……+（1+2+……+n)的结果是什么？
[分析]如下图：这些正方体的体积和可用切割的方法，把它变成一个长宽高都为n的三棱锥加上（1+2+……+n）×1再减六分之一n
解：
这种想法可追朔到我国宋朝数学家杨辉，他考虑由草束堆成的尖垛，顶层是一束，从上到下逐层增加一束，如果知道底层的束数，就可以算出全部草束的总数。他提出的一个问题是：“今有圭垛草一堆，顶上一束，底阔八束。问共几束？将其补成平行四边形利用面积的一半轻松得出36束。”宋朝时对等差级数和高阶等差级数的研究有最卓越的贡献的还有沈括（1031—1095），他看到酒店、陶器店等把瓮、缸、瓦盆三类的东西推成长方台，底层排成一个长方形，以上的每层长阔各减少一个，因此他想要知道是否有简单的式子可以计算。
他看古算术书：《九章算术》的《商功》章原有长方台体积（古书称为“刍童”）的公式。用这公式来求实际的问题，常常是比原数少。因此他创造了新法《隙积法》以补“古书所不到者”。（“用刍童法求之，常失于数少，予思而得之。”）
假设长方台上底是a×b，下底是a'×b'共有n层，因为从上到下，每一层的纵横各增加一个，所以a'-a=b'-b＝n-1，沈括的求和公式是：
ab＋（a+1）（b＋1）＋（a＋2）（b＋2）＋…＋a'b'＝
读者如果令a=b=1，a'＝b'＝n，代入以上的公式就可以得到
12＋22＋…＋n2＝n（n＋1）（2n+1）÷6
由“数”思“形”，充分考察数、式的结构特征联想几何特征，在高中的学习中有很重要的地位，大纲版高一数学习题 除用分析法证明外，如图：可构造成几个面积递增（第一个正方形面积为，其后依次为）的正方形边长之差的大小关系，轻松的记住它们之间的大小关系并将其做为公式使用，在判断形如的数值大小关系时一目了然。
2 数形互助，珠联壁合
例2、若a、b、c都是正数，求证：
分析:该题很抽象，看到它，很可能一时不知从何处下手，如果注意不等式的左边是三个直角斜边的和，我们就有一条全新的解题思路。
证明:如图，构造阶梯形ABCDEFG，使AB=FG=a,BC=CD=b,DE=EF=c，由勾股定理，得
AC=
CE=
EG=
AG=a+b+c
两点之间的连线，线段最短，所以，AC+CE+EG≥AG，即
当且仅当C，E在直线AG上，就是a=b=c时取等号。
[练1]设a,b,c∈R+,且a2+b2+c2=1,求证++≥3-（a+b+c）
略证：+b>1,+a>1,+c>1
[练2]证：+≥
分析：三个根号分别表示三个距离：（a,b）,（0,0）; （-c,-d）,（0,0）;（a,b）,（-c,-d）。
由于上述一些例题可以得出将抽象的代数问题转化为形象直观容易解答的几何问题的方法及原则为：首先，观察代数问题的外部结构是否具有几何特征；其次，根据代数问题的几何特征去探索代数问题与几何问题的内在联系，最后，根据其内在联系去构造解决问题的最佳图形或方案。几何方法具有直观、形象的优势，代数方法的特点是解过程严密、规范、思路清晰。应用数形结合的思想就能扬这两种方法这长，避呆板单调解法之短，这是数学发展进程中的必然趋势，笛卡儿利用平面直角坐标系创立新析几何而产生数学发展史上一个划时飞跃就是数形结合的成功典范。法国数学家拉格朗日精辟地指出，只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就相互吸取新鲜活力，从那以后就以快速的步伐走向完善
总之，由于“数形结合”具有形象直观，易于接受等优点，且对于沟通知识间的联系，活跃课堂气氛，开阔学生思路，发展智能，提高数学水平有着独到的作用，所以，我们要积极挖掘教材中“数形结合”的例题与习题，注重引导学生动脑筋，设计确切的数学模型，创设“数形结合”的情境，多加强学生形象思维的训练，进而促进学生从形象思维到抽象思维的转化；这样，我们就一定能逐步提高学生的数学水平，把学生逐步培养成具有创造思维能力和开拓精神的创造型人才。
华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休……”。“数”与“形”是数学的基本研究对象，而宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一，举一个简单的例子：黄金分割数，你是否留意过花瓣数与它的关系：3，5，8，13，21，34，…… ；同理，向日葵的叶片之间的夹角也与它有关系；报幕员站在舞台的位置也是在黄金分割点上；名画的主题，乐曲的高潮，人体的比例，生活体温、饮食；生物体的构造均符合黄金分割数——数和形的结合是数学美的最高境界。
《新课标》中关于高中数学新的教育理念提出：在教学方式上，要改变“问题——分析解答———练习”的传统模式，形成“ 实际问题———建立模型———解释应用”的新的教学模式。因此，要挖掘教学内容，增强数学教学的趣味性。而根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，使数和形之间巧妙和谐地结合起来，并利用这种“结合”找到解题思路，是这种模式的突出表现之一。教师应对平时在教学中落实“数形结合”的思想提出更高的要求，学生才能真正做到见数思形、见形想数、以形助数、以数辅形。下面用几个实例浅谈其中一个方面——“以数思形”在解题中的应用。
1 由数到形，利用形的直观
中学生相对于抽象思维，普遍更喜欢形象思维，对图形的记忆也总强于对文字、数式的记忆。教师应注意到学生思维方式上的这些特点，在讲授有关的数学知识时，尽可能数形结合、形数对照，使学生对所学内容更易于理解和记忆。而在解决实际问题时，同样应教给学生数形结合的思想方法，启发他们学会对一些数量关系作出“形”的解释，发掘其中“形”的因素，对“形”的相互关系的比较、度量，促进“数”的概念的发展，丰富计算方法。例如一些代数恒等式也可由几何方法给出证明，，利用下图，可以导出代数恒等式
这就是几何代数：用几何的方法来研究代数问题，求得代数问题的结果。
例1、1+（1+2）+（1+2+3）+……+（1+2+……+n)的结果是什么？
[分析]如下图：这些正方体的体积和可用切割的方法，把它变成一个长宽高都为n的三棱锥加上（1+2+……+n）×1再减六分之一n
解：
这种想法可追朔到我国宋朝数学家杨辉，他考虑由草束堆成的尖垛，顶层是一束，从上到下逐层增加一束，如果知道底层的束数，就可以算出全部草束的总数。他提出的一个问题是：“今有圭垛草一堆，顶上一束，底阔八束。问共几束？将其补成平行四边形利用面积的一半轻松得出36束。”宋朝时对等差级数和高阶等差级数的研究有最卓越的贡献的还有沈括（1031—1095），他看到酒店、陶器店等把瓮、缸、瓦盆三类的东西推成长方台，底层排成一个长方形，以上的每层长阔各减少一个，因此他想要知道是否有简单的式子可以计算。
他看古算术书：《九章算术》的《商功》章原有长方台体积（古书称为“刍童”）的公式。用这公式来求实际的问题，常常是比原数少。因此他创造了新法《隙积法》以补“古书所不到者”。（“用刍童法求之，常失于数少，予思而得之。”）
假设长方台上底是a×b，下底是a'×b'共有n层，因为从上到下，每一层的纵横各增加一个，所以a'-a=b'-b＝n-1，沈括的求和公式是：
ab＋（a+1）（b＋1）＋（a＋2）（b＋2）＋…＋a'b'＝
读者如果令a=b=1，a'＝b'＝n，代入以上的公式就可以得到
12＋22＋…＋n2＝n（n＋1）（2n+1）÷6
由“数”思“形”，充分考察数、式的结构特征联想几何特征，在高中的学习中有很重要的地位，大纲版高一数学习题 除用分析法证明外，如图：可构造成几个面积递增（第一个正方形面积为，其后依次为）的正方形边长之差的大小关系，轻松的记住它们之间的大小关系并将其做为公式使用，在判断形如的数值大小关系时一目了然。
2 数形互助，珠联壁合
例2、若a、b、c都是正数，求证：
分析:该题很抽象，看到它，很可能一时不知从何处下手，如果注意不等式的左边是三个直角斜边的和，我们就有一条全新的解题思路。
证明:如图，构造阶梯形ABCDEFG，使AB=FG=a,BC=CD=b,DE=EF=c，由勾股定理，得
AC=
CE=
EG=
AG=a+b+c
两点之间的连线，线段最短，所以，AC+CE+EG≥AG，即
当且仅当C，E在直线AG上，就是a=b=c时取等号。
[练1]设a,b,c∈R+,且a2+b2+c2=1,求证++≥3-（a+b+c）
略证：+b>1,+a>1,+c>1
[练2]证：+≥
分析：三个根号分别表示三个距离：（a,b）,（0,0）; （-c,-d）,（0,0）;（a,b）,（-c,-d）。
由于上述一些例题可以得出将抽象的代数问题转化为形象直观容易解答的几何问题的方法及原则为：首先，观察代数问题的外部结构是否具有几何特征；其次，根据代数问题的几何特征去探索代数问题与几何问题的内在联系，最后，根据其内在联系去构造解决问题的最佳图形或方案。几何方法具有直观、形象的优势，代数方法的特点是解过程严密、规范、思路清晰。应用数形结合的思想就能扬这两种方法这长，避呆板单调解法之短，这是数学发展进程中的必然趋势，笛卡儿利用平面直角坐标系创立新析几何而产生数学发展史上一个划时飞跃就是数形结合的成功典范。法国数学家拉格朗日精辟地指出，只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就相互吸取新鲜活力，从那以后就以快速的步伐走向完善
总之，由于“数形结合”具有形象直观，易于接受等优点，且对于沟通知识间的联系，活跃课堂气氛，开阔学生思路，发展智能，提高数学水平有着独到的作用，所以，我们要积极挖掘教材中“数形结合”的例题与习题，注重引导学生动脑筋，设计确切的数学模型，创设“数形结合”的情境，多加强学生形象思维的训练，进而促进学生从形象思维到抽象思维的转化；这样，我们就一定能逐步提高学生的数学水平，把学生逐步培养成具有创造思维能力和开拓精神的创造型人才。