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求椭圆离心率的取值范围,是解析几何中的一类典型问题,这类问题涉及多个知识点,综合性和技巧性强,方法灵活多样,同学们一定要认真审题，善于从不同的知识视角进行审视，使不同的知识在相同的背景下得以迁移和应用。
一、 问题的探究
有这样两道题目请大家欣赏：
【例1】 已知P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1,F2是椭圆的左右焦点.若∠PF1F2=60°,∠PF2F1=30°，则椭圆的离心率是 .
分析 当研究椭圆上的点与两焦点组成的三角形问题时，常用椭圆定义及正余弦定理。
点拨 解法一属于通解通法，解法二精妙简单。
【例2】 已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点.若椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2=90°，则椭圆离心率的取值范围是 .
分析 例2与例1表面上好像是一样的，但实际上有很大区别。例1中的∠PF1F2=60°,
∠PF2F1=30°，其实点P已经确定，或者确切的说△PF1F2的形状已经确定，因此椭圆离心率是个固
点拨 此种解法主要利用椭圆的有界性来建立起参数a,b,c中的不等关系，从而达到求解离心率范围的目的。对学生的计算推理能力要求较高。
解法二 由焦半径公式得|PF1|=a+ex,|PF2|=a－ex，
点拨 解法三无论在计算上还是在思维上都有优势。希望同学们能从不同的角度来分析问题从而感悟数学的奥妙——数学因探索而美丽!
解法四 由点P是椭圆上的点，则PF1+PF2=2a， ①
又△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2=90°，则PF21+PF22=4c2. ②
联立得PF1+PF2=2a,PF1•PF2=2b2.因此PF1,PF2是关于x的方程x2－2ax+2b2=0的两根，则Δ=(－2a)2－4×2b2≥0
ba2≤12，而e=1－ba2∈22,1.
点拨 解法四利用的是方程有实根，判别式必须要为非负的思想，计算简洁明了，但对思维的要求较高。
解法五 由椭圆的定义，有2a=|PF1|+|PF2|,平方后可得
4a2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|•|PF2|≤2(|PF1|2+|PF2|2)=2|F1F2|2=8c2，
得c2a2≥12，所以e∈22,1.
点拨 由于|PF1|，|PF2|和为定值，所以|PF1|，|PF2|积有最大值，由此可构造不等式。
解法六 由题意知点P在以F1F2为直径的圆上，所以此圆与椭圆必有交点，故c≥b，c2≥a2－c2，∴e∈22,1.
点拨 解法六利用的是数形结合的思想，需要同学们对数与形的思想能够灵活掌握。
二、 问题的推广
在问题（2）中，若问当“∠F1PF2=120°时，结论又如何呢？”对于这个问题的解答，可仿照上述几种解法进行求解。笔者在教学的过程中，又提出了当“∠F1PF2=θ，(0°<θ<180°)时，又该如何解决”经过笔者的课后研究发现有如下结论成立.
重要结论：已知P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，图2
解法七 若椭圆上存在一点P,使∠F1PF2=90°，则∠F1PF2可能取到的最大值必然大于等于90°，即∠OBF2≥45°，易得ca≥22，∴e∈22,1.
牛刀小试
1. 已知焦点在x轴上的椭圆x24+y2b2=1（b>0），F1,F2是它的左右焦点，若椭圆上存在一点P使PF1•PF2=0,则b的取值范围是 .
2. 已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点.若椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2=120°，则椭圆离心率的范围是 .
3. 椭圆x29+y24=1的焦点为F1,F2，点P为其上动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的范围是 .
4. 设F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P是以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF1F2=5∠PF2F1，则该椭圆的离心率为 .
5. 设椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两焦点为F1、F2，长轴两端点为A、B，若椭圆上存在一点Q，使∠AQB=120°,则该椭圆的离心率为 .
【参考答案】
1. (0,2］ 2. 32，1 3. -355 （作者：夏荣妹，镇江实验高级中学）
一、 问题的探究
有这样两道题目请大家欣赏：
【例1】 已知P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1,F2是椭圆的左右焦点.若∠PF1F2=60°,∠PF2F1=30°，则椭圆的离心率是 .
分析 当研究椭圆上的点与两焦点组成的三角形问题时，常用椭圆定义及正余弦定理。
点拨 解法一属于通解通法，解法二精妙简单。
【例2】 已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点.若椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2=90°，则椭圆离心率的取值范围是 .
分析 例2与例1表面上好像是一样的，但实际上有很大区别。例1中的∠PF1F2=60°,
∠PF2F1=30°，其实点P已经确定，或者确切的说△PF1F2的形状已经确定，因此椭圆离心率是个固
点拨 此种解法主要利用椭圆的有界性来建立起参数a,b,c中的不等关系，从而达到求解离心率范围的目的。对学生的计算推理能力要求较高。
解法二 由焦半径公式得|PF1|=a+ex,|PF2|=a－ex，
点拨 解法三无论在计算上还是在思维上都有优势。希望同学们能从不同的角度来分析问题从而感悟数学的奥妙——数学因探索而美丽!
解法四 由点P是椭圆上的点，则PF1+PF2=2a， ①
又△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2=90°，则PF21+PF22=4c2. ②
联立得PF1+PF2=2a,PF1•PF2=2b2.因此PF1,PF2是关于x的方程x2－2ax+2b2=0的两根，则Δ=(－2a)2－4×2b2≥0
ba2≤12，而e=1－ba2∈22,1.
点拨 解法四利用的是方程有实根，判别式必须要为非负的思想，计算简洁明了，但对思维的要求较高。
解法五 由椭圆的定义，有2a=|PF1|+|PF2|,平方后可得
4a2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|•|PF2|≤2(|PF1|2+|PF2|2)=2|F1F2|2=8c2，
得c2a2≥12，所以e∈22,1.
点拨 由于|PF1|，|PF2|和为定值，所以|PF1|，|PF2|积有最大值，由此可构造不等式。
解法六 由题意知点P在以F1F2为直径的圆上，所以此圆与椭圆必有交点，故c≥b，c2≥a2－c2，∴e∈22,1.
点拨 解法六利用的是数形结合的思想，需要同学们对数与形的思想能够灵活掌握。
二、 问题的推广
在问题（2）中，若问当“∠F1PF2=120°时，结论又如何呢？”对于这个问题的解答，可仿照上述几种解法进行求解。笔者在教学的过程中，又提出了当“∠F1PF2=θ，(0°<θ<180°)时，又该如何解决”经过笔者的课后研究发现有如下结论成立.
重要结论：已知P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，图2
解法七 若椭圆上存在一点P,使∠F1PF2=90°，则∠F1PF2可能取到的最大值必然大于等于90°，即∠OBF2≥45°，易得ca≥22，∴e∈22,1.
牛刀小试
1. 已知焦点在x轴上的椭圆x24+y2b2=1（b>0），F1,F2是它的左右焦点，若椭圆上存在一点P使PF1•PF2=0,则b的取值范围是 .
2. 已知F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点.若椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2=120°，则椭圆离心率的范围是 .
3. 椭圆x29+y24=1的焦点为F1,F2，点P为其上动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的范围是 .
4. 设F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，P是以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF1F2=5∠PF2F1，则该椭圆的离心率为 .
5. 设椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两焦点为F1、F2，长轴两端点为A、B，若椭圆上存在一点Q，使∠AQB=120°,则该椭圆的离心率为 .
【参考答案】
1. (0,2］ 2. 32，1 3. -355