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摘要：在解决一类导数题的过程中，如果用常规方法就会带来烦琐的讨论，并且学生不易掌握.笔者大胆下放部分相关的高等数学知识，实践证明学生比较容易掌握和操作. 本文主要讲述利用罗比达法则、函数的极限、函数的图象等高等数学中的基本知识来解决这一类导数难题.
关键词：导数；罗比达法则；函数极限；图象
笔者在进行导数教学的时候，留意到近几年高考很多导数的所谓的“难题”，如果能够学会利用高等数学中的导数知识画出函数的大致图象，结合图象来解题会获得事半功倍的效果. 下面笔者就讲讲如何利用好导数这个工具画出函数的大致图象.
首先，我们先来看看函数的大致图象有哪些要点需要我们关注，也就是画图时哪些是需要我们大致弄清楚的. 笔者发现，要画出函数的大致图象不外乎要关注以下几点：
一、得到函数的单调区间，极值点、极值
实现这点并不难，只要能够准确求导就可以了.
二、得出函数与坐标轴的交点
函数图象与y轴的交点一般不难求出，但是与x轴的交点往往不能轻易求出，我们的原则是能求尽量求出.
三、?摇求出函数在所给区间端点的函数值或函数值的变化趋势
在这个过程中，值得提出的是有些区间比如［a，b］，函数在区间端点的函数值f（a），f（b）很容易求出，但是有时区间为开区间（a，b），此时函数值f（a），f（b）可能不存在，这时我们可以求出■f（x）和■f（x），再利用这些极限值来解决问题.当我们遇到的区间是（a，+∞），（－∞，a），（－∞，+∞）这些结构时，我们也需要求出■f（x）和■f（x），再利用这些极限值来解决问题. 当然，在求函数极限时，可能会遇到■，■的形式，这时我们就要利用罗必达法则来求出函数的极限.下面先讲讲罗必达法则：
定理1：（罗必达法则I）假设函数f（x）和g（x）在x0的邻域可微，且g′（x0）≠0，且■f（x）=0，■g（x）=0，■■=A，则■■=■■=A.
定理2：（罗必达法则Ⅱ）假设函数f（x）和g（x）在x0的邻域可微，且g′（x0）≠0，且■f（x）=∞，■g（x）=∞，■■=A，则■■=■■=A.
以上两个定理的证明方法，读者可以参考高校数学分析教材，在此笔者不再累述.下面笔者结合近几年高考题讲讲如何利用上述方法做出函数的大致图象解决导数综合问题.
例1（2005全国卷Ⅱ）已知a≥0，函数f（x）=（x2-2ax）ex.
（1）当x为何值时，f（x）取得最小值？证明你的结论；
（2）设f（x）在［－1，1］上是单调函数，求a的取值范围.
解：（1）易得f′（x）=（x2+2x－2ax－2a）·ex. 令f′（x）=0，得［x2+2（1－a）x－2a］ex=0，从而x2+2（1－a）x－2a=0，解得x1=a－1－■，x2=a－1+■.
当x变化时，f（x），f′（x）的变化如表1：
所以f（x）在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值.
当a≥0时，x1<－1，x2≥0，f（x）在（x1，x2）上为减函数，在（x2，+∞）上为增函数，且■f（x）=0，■f（x）=+∞；易得函数与坐标轴交点坐标为（0，0），（2a，0）.
利用以上信息，所以我们可以得到函数的大致图象，如图1.
所以由图1可得，函数在x=x2处取得最小值.
（2）利用（1）所得到的函数大致图象可知，要使得f（x）在［-1，1］上为单调函数的充要条件是x2≥1，且必为递减函数. 于是，a－1+■≥1，解得a≥■，即f（x）在［-1，1］上为单调函数的充要条件是a≥■，a的取值范围是■，+∞.
例2（2006年全国卷Ⅱ）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1），若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．
解：（1）当x=0时，不等式f（x）≥ax即为f（0）=0≥a·0=0，显然成立，此时a∈R.
（2）当x∈（0，+∞）时，不等式f（x）≥ax变形为a≤■，所以问题就转化为当x∈（0，+∞）时，不等式a≤■恒成立，则只需a≤■min.
下面令g（x）=■，其中x∈（0，+∞）. 易得g′（x）=■=■>0，?摇因为当x∈（0，+∞）时，x>ln（x+1）恒成立（证明略）. 于是g（x）在x∈（0，+∞）上递增，且■g（x）=■■. 由于■（x+1）ln（x+1）=0，■x=0，所以我们利用罗必达法则可得■g（x）=■■=■■=1.
我们利用以上信息得到函数g（x）在x∈（0，+∞）上的大致图象如下：
■
图2
结合图象可得，当x∈（0，+∞）时，a≤（g（x））min=■g（x）=1.
例3（2008辽宁卷22）设函数f（x）=■－lnx+ln（x+1）．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．
解：（1）f′（x）=■－■－■+■=－■． 当x∈（0，1）时，f′（x）>0；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）<0．所以f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．
由此知f（x）在（0，+∞）的极大值为f（1）=ln2，没有极小值．
所以结合图象可得，要使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞），只需要a≤0.
导数是一个很强大的数学工具，在新课程中导数也占据着重要的地位.我们一线数学教师应该充分引导学生利用好这个工具解决问题. 有必要时，可以下放一些高等数学中的知识，比如上述的罗必达法则，非常实用，操作性也很强.这样会使得学生解决问题的能力加强，也会使得学生在高考中尽显优势.
关键词：导数；罗比达法则；函数极限；图象
笔者在进行导数教学的时候，留意到近几年高考很多导数的所谓的“难题”，如果能够学会利用高等数学中的导数知识画出函数的大致图象，结合图象来解题会获得事半功倍的效果. 下面笔者就讲讲如何利用好导数这个工具画出函数的大致图象.
首先，我们先来看看函数的大致图象有哪些要点需要我们关注，也就是画图时哪些是需要我们大致弄清楚的. 笔者发现，要画出函数的大致图象不外乎要关注以下几点：
一、得到函数的单调区间，极值点、极值
实现这点并不难，只要能够准确求导就可以了.
二、得出函数与坐标轴的交点
函数图象与y轴的交点一般不难求出，但是与x轴的交点往往不能轻易求出，我们的原则是能求尽量求出.
三、?摇求出函数在所给区间端点的函数值或函数值的变化趋势
在这个过程中，值得提出的是有些区间比如［a，b］，函数在区间端点的函数值f（a），f（b）很容易求出，但是有时区间为开区间（a，b），此时函数值f（a），f（b）可能不存在，这时我们可以求出■f（x）和■f（x），再利用这些极限值来解决问题.当我们遇到的区间是（a，+∞），（－∞，a），（－∞，+∞）这些结构时，我们也需要求出■f（x）和■f（x），再利用这些极限值来解决问题. 当然，在求函数极限时，可能会遇到■，■的形式，这时我们就要利用罗必达法则来求出函数的极限.下面先讲讲罗必达法则：
定理1：（罗必达法则I）假设函数f（x）和g（x）在x0的邻域可微，且g′（x0）≠0，且■f（x）=0，■g（x）=0，■■=A，则■■=■■=A.
定理2：（罗必达法则Ⅱ）假设函数f（x）和g（x）在x0的邻域可微，且g′（x0）≠0，且■f（x）=∞，■g（x）=∞，■■=A，则■■=■■=A.
以上两个定理的证明方法，读者可以参考高校数学分析教材，在此笔者不再累述.下面笔者结合近几年高考题讲讲如何利用上述方法做出函数的大致图象解决导数综合问题.
例1（2005全国卷Ⅱ）已知a≥0，函数f（x）=（x2-2ax）ex.
（1）当x为何值时，f（x）取得最小值？证明你的结论；
（2）设f（x）在［－1，1］上是单调函数，求a的取值范围.
解：（1）易得f′（x）=（x2+2x－2ax－2a）·ex. 令f′（x）=0，得［x2+2（1－a）x－2a］ex=0，从而x2+2（1－a）x－2a=0，解得x1=a－1－■，x2=a－1+■.
当x变化时，f（x），f′（x）的变化如表1：
所以f（x）在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值.
当a≥0时，x1<－1，x2≥0，f（x）在（x1，x2）上为减函数，在（x2，+∞）上为增函数，且■f（x）=0，■f（x）=+∞；易得函数与坐标轴交点坐标为（0，0），（2a，0）.
利用以上信息，所以我们可以得到函数的大致图象，如图1.
所以由图1可得，函数在x=x2处取得最小值.
（2）利用（1）所得到的函数大致图象可知，要使得f（x）在［-1，1］上为单调函数的充要条件是x2≥1，且必为递减函数. 于是，a－1+■≥1，解得a≥■，即f（x）在［-1，1］上为单调函数的充要条件是a≥■，a的取值范围是■，+∞.
例2（2006年全国卷Ⅱ）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1），若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．
解：（1）当x=0时，不等式f（x）≥ax即为f（0）=0≥a·0=0，显然成立，此时a∈R.
（2）当x∈（0，+∞）时，不等式f（x）≥ax变形为a≤■，所以问题就转化为当x∈（0，+∞）时，不等式a≤■恒成立，则只需a≤■min.
下面令g（x）=■，其中x∈（0，+∞）. 易得g′（x）=■=■>0，?摇因为当x∈（0，+∞）时，x>ln（x+1）恒成立（证明略）. 于是g（x）在x∈（0，+∞）上递增，且■g（x）=■■. 由于■（x+1）ln（x+1）=0，■x=0，所以我们利用罗必达法则可得■g（x）=■■=■■=1.
我们利用以上信息得到函数g（x）在x∈（0，+∞）上的大致图象如下：
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图2
结合图象可得，当x∈（0，+∞）时，a≤（g（x））min=■g（x）=1.
例3（2008辽宁卷22）设函数f（x）=■－lnx+ln（x+1）．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．
解：（1）f′（x）=■－■－■+■=－■． 当x∈（0，1）时，f′（x）>0；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）<0．所以f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．
由此知f（x）在（0，+∞）的极大值为f（1）=ln2，没有极小值．
所以结合图象可得，要使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞），只需要a≤0.
导数是一个很强大的数学工具，在新课程中导数也占据着重要的地位.我们一线数学教师应该充分引导学生利用好这个工具解决问题. 有必要时，可以下放一些高等数学中的知识，比如上述的罗必达法则，非常实用，操作性也很强.这样会使得学生解决问题的能力加强，也会使得学生在高考中尽显优势.