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金华市深化义务教育课程改革研讨会在金师附小举行。颜君敏老师和杨凯明老师分别执教的“植树问题”，以主题鲜明的思想引领、独具匠心的课堂设计、扎实有效的知识建构却截然不同的教学方式，向我们演绎了两种模型的植树问题，引发我们的思考。
颜老师执教的植树问题从拍手游戏入手，渗透一一对应的思想。针对问题情境“20米的道路一边植树，每隔5米栽一棵。一共可以栽多少棵树？”让孩子在自主探索中建立“两端都种，棵树=间隔数+1”“只种一端，棵树=间隔数”与“两端都不种，棵树=间隔数-1”三种数学模型。之后变化问题情境，将所学知识加以应用。生在解决实际问题时，一般都会想到做除法，然后根据题意理解属于三种模型中的哪种模型，从而决定是否要加1或者减1。
但是，在自己执教后会发现，现在很多问题情境隐藏“两端种与不种”的明显提示语。部分孩子在实际解决问题时，往往很难提炼具体题意，造成错误。
恰好相反，杨凯明老师从研究“点与段”的关系上向我们展示了植树问题的另一基本模型，让我们从新的方面重新审视植树问题的“原”是什么？他是从以下几个方面展开：
【片段一】解决问题1
20米长的线段，每5米分一段，可以分成幾段？
生：20÷5=4（段）
师：为什么用除法？
生：平均分。
师：几米一段？分成几段？
生：5米一段，分成4段。
师：你能把我们刚才的想法用线段图表示出来吗？
思考：从解决段数问题入手，让学生理解除法就是平均分，而除法是解决“植树问题”的数学方法。引导孩子画线段图，为理解点数与段数做铺垫。
【片段二】解决问题2
在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵。一共需要栽多少棵树？
⑴生独立思考。（反馈出现4棵或5棵的情况。）
师：你猜，我会怎么和大家讲这道题？
生：画线段图。
思考：其实这样的问题，对现在的孩子，特别是部分在课外接触数学思维训练的孩子来说，再熟悉不过了，而且学生会很理性地告诉你，当两端都种，一端种，两端都不种该怎么解决。但杨老师充分尊重孩子已有的知识经验基础，没有急于总结，而是让学生猜一猜，该怎么讲这道题，课堂气氛很放松。学生也自然而然想到课初始老师引导画线段图的方法。
⑵用线段图分析题意
20÷5=4（段） 4+1=5棵
问：为什么要加上1？
生：分成4段，边上还要再种一棵，就是5棵。
师：从线段图上看，树是种在哪里的？
生：点上。
思考：此时，杨老师并没有根据学生的种种情况展开教学，并总结三种传统模型，而是借助线段图，抓住段与点的关系进一步研究，理解树种在点上。
⑶研究段数与点数的关系
师：4段有5个点。1段有几个点？
生：2个。
师：2段有几个点？
生：3个。
师：3段有几个点？
生：4个。
师：点数与段数有什么关系？
生：点数=段数+1。
思考：在研究点与段的关系中，总结规律：点数=段数+1。
⑷巩固应用
师：如果我把“全长20米小路”改成“30米”，一共要栽多少棵树？
生：30÷5=6（段）6+1=7（棵）
师：35米呢？
生：35÷5=7（段）7+1=8（棵）
师：那“40米”、“100米”呢？
思考：从除法的意义入手，结合学生已有的知识基础和生活经验，引申出植树问题。将树放在点上，解决棵树问题其实就是理解点数与段数之间的关系，关键就是求几个点。
“植树问题”的这两节课，一堂是我们常见的经典课，一堂是创新课。经典的课是很多人智慧的结晶。它已经形成一种模范，这类问题一般就这样去思考，去教学。当然，也包括我自己也是这样和我们班的孩子一起这样探究的。而杨老师演绎的版本是在经典基础上的创新，体现在以下几个角度：
首先，立意在已有数学知识。“植树问题”并不是横空出世的，它的根源就是除法的意义运用。杨老师没有直接从生活经验出发，从模型中去教学，从直观的图中去寻找，而是从除法的意义入手，通过除法的意义，发现段数与点数的关系：点数比段数多1。这是一个生活事实，更是一个数学事实，以此来进行变式。
其次，找准知识生长点和衍伸点。“植树问题”的知识生长点就是利用点数与段数的关系，点数必须比段数多1，找到“两端都种”这一基本模型，杨老师没有将以往的三种模型放在同等的位置进行教学。而是讲究先后，先理解两端都种的事实，再出示变式。变式中点还是在，只是点被占了。占据一个点就减1，占了两个点就减2。这样学生很快可以先求出点数，一端不种-1，两端不种-2。
在听完杨老师的课后，回到学校，我重新和我们班的孩子一起研究了“植树问题”的相关问题。课后，我们班的孩子告诉我：“胡老师，这种新的方法好简单啊，一下子就可以理解了，而且不会搞混。”特别原先因为公式理解不深刻，一时分不清用哪个公式的孩子也大大提高了解题效率。
而另一生长点就是平均分。杨老师课开始“20米长的线段，每5米分一段，可以分成几段？”教学时就追问孩子：“为什么用除法？”“因为要平均分”。整堂课是对平均分内涵的丰富。
《北史·祖莹传》写道：“作文须自出机杼，或一家风骨，何能共人同生活也。”数学教学亦是如此。随着多媒体手段的日新月异，家长的素质也越来越高，很多知识，家长会提前教授给孩子。对于这部分知识，老师怎样才能授出新意，让孩子不仅知其然还要知其所以然。这就需要我们对书本上的每个知识点追本溯源，理清来龙去脉，从而让学生更好地进行融会贯通。
颜老师执教的植树问题从拍手游戏入手，渗透一一对应的思想。针对问题情境“20米的道路一边植树，每隔5米栽一棵。一共可以栽多少棵树？”让孩子在自主探索中建立“两端都种，棵树=间隔数+1”“只种一端，棵树=间隔数”与“两端都不种，棵树=间隔数-1”三种数学模型。之后变化问题情境，将所学知识加以应用。生在解决实际问题时，一般都会想到做除法，然后根据题意理解属于三种模型中的哪种模型，从而决定是否要加1或者减1。
但是，在自己执教后会发现，现在很多问题情境隐藏“两端种与不种”的明显提示语。部分孩子在实际解决问题时，往往很难提炼具体题意，造成错误。
恰好相反，杨凯明老师从研究“点与段”的关系上向我们展示了植树问题的另一基本模型，让我们从新的方面重新审视植树问题的“原”是什么？他是从以下几个方面展开：
【片段一】解决问题1
20米长的线段，每5米分一段，可以分成幾段？
生：20÷5=4（段）
师：为什么用除法？
生：平均分。
师：几米一段？分成几段？
生：5米一段，分成4段。
师：你能把我们刚才的想法用线段图表示出来吗？
思考：从解决段数问题入手，让学生理解除法就是平均分，而除法是解决“植树问题”的数学方法。引导孩子画线段图，为理解点数与段数做铺垫。
【片段二】解决问题2
在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵。一共需要栽多少棵树？
⑴生独立思考。（反馈出现4棵或5棵的情况。）
师：你猜，我会怎么和大家讲这道题？
生：画线段图。
思考：其实这样的问题，对现在的孩子，特别是部分在课外接触数学思维训练的孩子来说，再熟悉不过了，而且学生会很理性地告诉你，当两端都种，一端种，两端都不种该怎么解决。但杨老师充分尊重孩子已有的知识经验基础，没有急于总结，而是让学生猜一猜，该怎么讲这道题，课堂气氛很放松。学生也自然而然想到课初始老师引导画线段图的方法。
⑵用线段图分析题意
20÷5=4（段） 4+1=5棵
问：为什么要加上1？
生：分成4段，边上还要再种一棵，就是5棵。
师：从线段图上看，树是种在哪里的？
生：点上。
思考：此时，杨老师并没有根据学生的种种情况展开教学，并总结三种传统模型，而是借助线段图，抓住段与点的关系进一步研究，理解树种在点上。
⑶研究段数与点数的关系
师：4段有5个点。1段有几个点？
生：2个。
师：2段有几个点？
生：3个。
师：3段有几个点？
生：4个。
师：点数与段数有什么关系？
生：点数=段数+1。
思考：在研究点与段的关系中，总结规律：点数=段数+1。
⑷巩固应用
师：如果我把“全长20米小路”改成“30米”，一共要栽多少棵树？
生：30÷5=6（段）6+1=7（棵）
师：35米呢？
生：35÷5=7（段）7+1=8（棵）
师：那“40米”、“100米”呢？
思考：从除法的意义入手，结合学生已有的知识基础和生活经验，引申出植树问题。将树放在点上，解决棵树问题其实就是理解点数与段数之间的关系，关键就是求几个点。
“植树问题”的这两节课，一堂是我们常见的经典课，一堂是创新课。经典的课是很多人智慧的结晶。它已经形成一种模范，这类问题一般就这样去思考，去教学。当然，也包括我自己也是这样和我们班的孩子一起这样探究的。而杨老师演绎的版本是在经典基础上的创新，体现在以下几个角度：
首先，立意在已有数学知识。“植树问题”并不是横空出世的，它的根源就是除法的意义运用。杨老师没有直接从生活经验出发，从模型中去教学，从直观的图中去寻找，而是从除法的意义入手，通过除法的意义，发现段数与点数的关系：点数比段数多1。这是一个生活事实，更是一个数学事实，以此来进行变式。
其次，找准知识生长点和衍伸点。“植树问题”的知识生长点就是利用点数与段数的关系，点数必须比段数多1，找到“两端都种”这一基本模型，杨老师没有将以往的三种模型放在同等的位置进行教学。而是讲究先后，先理解两端都种的事实，再出示变式。变式中点还是在，只是点被占了。占据一个点就减1，占了两个点就减2。这样学生很快可以先求出点数，一端不种-1，两端不种-2。
在听完杨老师的课后，回到学校，我重新和我们班的孩子一起研究了“植树问题”的相关问题。课后，我们班的孩子告诉我：“胡老师，这种新的方法好简单啊，一下子就可以理解了，而且不会搞混。”特别原先因为公式理解不深刻，一时分不清用哪个公式的孩子也大大提高了解题效率。
而另一生长点就是平均分。杨老师课开始“20米长的线段，每5米分一段，可以分成几段？”教学时就追问孩子：“为什么用除法？”“因为要平均分”。整堂课是对平均分内涵的丰富。
《北史·祖莹传》写道：“作文须自出机杼，或一家风骨，何能共人同生活也。”数学教学亦是如此。随着多媒体手段的日新月异，家长的素质也越来越高，很多知识，家长会提前教授给孩子。对于这部分知识，老师怎样才能授出新意，让孩子不仅知其然还要知其所以然。这就需要我们对书本上的每个知识点追本溯源，理清来龙去脉，从而让学生更好地进行融会贯通。