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[摘 要] 新修订的课程标准将数学抽象作为核心素养的第一要素，凸显数学学习最重要的本质.抽象能力如何提高？在数学抽象中获得提升的关键是什么？本文以抽象函数的学习为例，谈一谈数学抽象能力如何实现聚焦.
[关键词] 核心素养；数学抽象；能力；抽象函数；思维；模型
新一轮数学课程标准正在修订过程中，但是数学抽象已经作为第一准则被写入了数学核心素养的要求. 为什么每次课程标准的制定中，数学抽象一直成为必不可少而且是首当其冲的准则呢？张景中院士这么解释：数学最核心的是研究表象下的本质，从中学数学角度来说就是研究问题情境背后的数学本质.然而数学问题有具象化的表现，也有抽象化的表现，从中学生现有的思维程度来看，具象化的问题在高中生的认知中属于浅层问题，通过运算、逻辑思考可以解决，但是抽象化的数学问题在中学生头脑中尚处于深层次问题，需要加强概念的理解和使用，从渐进的角度来解决问题. 本文从抽象函数的视角入手，从几个教学相关方面分析数学抽象能力的建立.
特殊到一般的培养
数学抽象能力不是一朝一夕培养的，而且在初中数学的学习中，数学抽象具体在教材中的体现是凤毛麟角的，导致学生很难适应高中数学的抽象部分. 以函数概念为例，初中数学的函数对概念的要求比较粗略，这与初中生接受能力相关，因此函数都是以具体模型的形态给出的，而高中数学将函数概念上升到了更为复杂的问题中，随之而来的抽象函数让学生的理解出现了较大的困扰.
问题1：（线性为背景的抽象函数学习）已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x y）=f（x） f（y），且当x>0时，f（x）>0，f（-1）=-2，则f（x）在区间[-2，1]上的值域为____________.
特殊化分析：作为一道抽象函数小题，教学中要引导学生小题小做的思路，即能利用特殊化的思路进行解决. 在后续再做出一些抽象性的思考，将问题上升到抽象层面. 我们知道，抽象函数一般都具备具体的函数模型，或者可以这么说：编制抽象函数试题的命题者，首先采用一个具体函数模型为背景进行了性质的研究，进而抽去表象编制抽象函数试题. 因此笔者认为，数学抽象能力培养的第一个阶段是利用具象化的问题进行试探，引导学生理解初级抽象函数试题是可以用具体函数模型去适配的，从而简化问题的求解. 对于本题，我们不妨从f（x y）=f（x） f（y）及当x>0时，f（x）>0，f（-1）=-2这些条件出发，可以令f（x）=2x，问题显而易见.
变式：若问题以解答题的形态给出呢？
一般化分析：诚然若以解答题的形式给出，上述特殊化的想法自然是不全面的，问题需要回归到解答题层面求解. 有了特殊化分析给我们做出的良好分析和铺垫，我们发现要解决值域问题首先必须解决函数单调性，考虑到心底有了函数模型f（x）=2x支撑，所以只要证明抽象函数具有单调递增的性质即可. 不妨设设x10，有条件f（x2-x1）>0，知f（x2）=f[（x2-x1） x1]=f（x2-x1） f（x1），所以f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）>0，即f（x1） 小结：我们发现，抽象函数问题的教学从两个层面分步进行，是对学生数学抽象能力一种循序渐进、螺旋式上升的提高，有了具象化的函数表达式自然对抽象函数的分析做到了心中有底，自然而然有了思考的方向，形成从特殊到一般的数学抽象能力培养.
从图形化的角度培养
解决数学抽象问题，直观感性永远是中学数学教学的第一准则.要培养学生的数学抽象能力，离不开图形化思想的渗透，有了直观才能想象，有了感性才会理性.
问题2：对定义域为R的函数f（x），表达式f（a x）=f（b-x）与f（a x） f（b-x）=0的理解.
图形化分析：函数中有很多抽象代数式，这些表达式阐述了函数的某一些数学性质，但是学生往往区分不清. 笔者认为教学可以从图形化角度入手，借助图形化的手段进而回头思考抽象代数式的含义，将抽象问题结合具体图像理解，有助于数学抽象能力的提高. 从f（a x）=f（b-x）中，我们知道a，b是两个常數，对定义域为R的函数而言，即x任意变化情况下，我们作出其图像（图1）：
结合图像大家发现，抽象代数式f（a x）=f（b-x）中所表示的含义是，自变量x1=a x与x2=b-x到它们的中点等距离，其函数值也相等，随着x的变换，但是自变量x1=a x与x2=b-x的函数值永远相等，从而从其运动轨迹可知函数f（x）关于直线x=成轴对称. 类似的，我们可以引导学生：
对定义域为R的函数而言，即x任意变化情况下，我们作出其图像（图2）：结合图像大家发现，抽象代数式f（a x） f（b-x）=0中所表示的含义是，自变量x1=a x与x2=b-x到它们的中点等距离，其函数值互为相反数，随着x的变换，但是自变量x1=a x与x2=b-x的函数值永远互为相反数，从而从其运动轨迹可知函数f（x）关于点，0成中心对称.
抽象代数式认知培养：有了上述图形化思路的分析，学生在阅读这样的类似抽象代数式时，常常可以利用脑海中的图像为辅助，进而加强对抽象代数的阅读和理解.可以给出类似问题，以供学生认知和理解：
训练1：设函数y=f（x）的定义域为R，则下列命题中：①若y=f（x）是偶函数，则y=f（x 2）图像关于y轴对称；②若y=f（x 2）是偶函数，则y=f（x）图像关于直线x=2对称；③若f（x-2）=f（2-x），则函数y=f（x）图像关于直线x=2对称；④y=f（x-2）与y=f（2-x）图像关于直线x=2对称. 其中正确命题序号为__________.（答案：②④） 训练2：已知函数y=f（x）对一切实数x满足f（2-x）=f（4 x），且方程f（x）=0有5个实根，则这5个实根之和为_________.（答案：15）
小结：函数中许多抽象的代数式，有表述对称性的、有表述周期性的，对于数学抽象思维能力的培养依赖图形化思想的实践来加强是一种常用的手段，从本问题的研究中我们发现，学生惧怕的抽象代数式，通过图像分析获得了理解，将抽象代数式的含义理解到位，对于所有的同类问题有了全面的抽象理解，提高了数学抽象的能力.
从重要函数模型的培养
数学抽象能力在函数教学中的运用离不开从重要函数模型中的渗透，加强重要函数模型中相关问题的理解和运用，是提高其抽象能力的一个重要环节.
问题3：已知函数f（x）满足定义域在（0， ∞）上的函数，对于任意的x，y∈（0， ∞），都有f（xy）=f（x） f（y），当且仅当x>1时，f（x）<0成立. （1）设x，y∈（0， ∞），求证：f=f（y）-f（x）；（2）设x1，x2∈（0， ∞），若f（x1） 证明：（1）因为f（xy）=f（x） f（y），所以f f（x）=f（y），所以f=f（y）-f（x）.
（2）因为f（x1） 因为当且仅当x>1时，f（x）<0成立，所以当f（x）<0时，x>1，所以>1，x1>x2.
（3）令x=y=1代入f（xy）=f（x） f（y）得f（1）=f（1） f（1），f（1）=0，所以关于x的不等式f（x2-a 1）<0为f（x2-a 1）1？圯x2>a，下面简要讨论即可：当a<0时，不等式恒成立，x∈R；当a=0时，显然不等式的解为x≠0即可；当a>0时，不等式的解为x<-或x>.
小結：函数章节中抽象能力的聚焦还需要一定典型的、相关的函数模型为载体，笔者教学中一般选用指数函数、对数函数为背景的试题各一，以重要的基本初等函数为背景，融合抽象函数中较为重要的“令”的方式，解决抽象函数解决中的一些特殊值，进而通过构造利用函数单调性解决问题.
总之，数学抽象能力的培养需要教师日复一日的渗透、培养，以函数为例的本文仅仅从少数方面做出了一些实践. 笔者认为，将直观和感性融入抽象函数教学中，循序渐进地认知、理解抽象函数. 数学抽象是一个综合性的能力，其在后续向量、几何等很多章节都有体现，从函数章节中获得的经验去启发、思考有助于学生更好地学习数学中的抽象知识.
[关键词] 核心素养；数学抽象；能力；抽象函数；思维；模型
新一轮数学课程标准正在修订过程中，但是数学抽象已经作为第一准则被写入了数学核心素养的要求. 为什么每次课程标准的制定中，数学抽象一直成为必不可少而且是首当其冲的准则呢？张景中院士这么解释：数学最核心的是研究表象下的本质，从中学数学角度来说就是研究问题情境背后的数学本质.然而数学问题有具象化的表现，也有抽象化的表现，从中学生现有的思维程度来看，具象化的问题在高中生的认知中属于浅层问题，通过运算、逻辑思考可以解决，但是抽象化的数学问题在中学生头脑中尚处于深层次问题，需要加强概念的理解和使用，从渐进的角度来解决问题. 本文从抽象函数的视角入手，从几个教学相关方面分析数学抽象能力的建立.
特殊到一般的培养
数学抽象能力不是一朝一夕培养的，而且在初中数学的学习中，数学抽象具体在教材中的体现是凤毛麟角的，导致学生很难适应高中数学的抽象部分. 以函数概念为例，初中数学的函数对概念的要求比较粗略，这与初中生接受能力相关，因此函数都是以具体模型的形态给出的，而高中数学将函数概念上升到了更为复杂的问题中，随之而来的抽象函数让学生的理解出现了较大的困扰.
问题1：（线性为背景的抽象函数学习）已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x y）=f（x） f（y），且当x>0时，f（x）>0，f（-1）=-2，则f（x）在区间[-2，1]上的值域为____________.
特殊化分析：作为一道抽象函数小题，教学中要引导学生小题小做的思路，即能利用特殊化的思路进行解决. 在后续再做出一些抽象性的思考，将问题上升到抽象层面. 我们知道，抽象函数一般都具备具体的函数模型，或者可以这么说：编制抽象函数试题的命题者，首先采用一个具体函数模型为背景进行了性质的研究，进而抽去表象编制抽象函数试题. 因此笔者认为，数学抽象能力培养的第一个阶段是利用具象化的问题进行试探，引导学生理解初级抽象函数试题是可以用具体函数模型去适配的，从而简化问题的求解. 对于本题，我们不妨从f（x y）=f（x） f（y）及当x>0时，f（x）>0，f（-1）=-2这些条件出发，可以令f（x）=2x，问题显而易见.
变式：若问题以解答题的形态给出呢？
一般化分析：诚然若以解答题的形式给出，上述特殊化的想法自然是不全面的，问题需要回归到解答题层面求解. 有了特殊化分析给我们做出的良好分析和铺垫，我们发现要解决值域问题首先必须解决函数单调性，考虑到心底有了函数模型f（x）=2x支撑，所以只要证明抽象函数具有单调递增的性质即可. 不妨设设x1
从图形化的角度培养
解决数学抽象问题，直观感性永远是中学数学教学的第一准则.要培养学生的数学抽象能力，离不开图形化思想的渗透，有了直观才能想象，有了感性才会理性.
问题2：对定义域为R的函数f（x），表达式f（a x）=f（b-x）与f（a x） f（b-x）=0的理解.
图形化分析：函数中有很多抽象代数式，这些表达式阐述了函数的某一些数学性质，但是学生往往区分不清. 笔者认为教学可以从图形化角度入手，借助图形化的手段进而回头思考抽象代数式的含义，将抽象问题结合具体图像理解，有助于数学抽象能力的提高. 从f（a x）=f（b-x）中，我们知道a，b是两个常數，对定义域为R的函数而言，即x任意变化情况下，我们作出其图像（图1）：
结合图像大家发现，抽象代数式f（a x）=f（b-x）中所表示的含义是，自变量x1=a x与x2=b-x到它们的中点等距离，其函数值也相等，随着x的变换，但是自变量x1=a x与x2=b-x的函数值永远相等，从而从其运动轨迹可知函数f（x）关于直线x=成轴对称. 类似的，我们可以引导学生：
对定义域为R的函数而言，即x任意变化情况下，我们作出其图像（图2）：结合图像大家发现，抽象代数式f（a x） f（b-x）=0中所表示的含义是，自变量x1=a x与x2=b-x到它们的中点等距离，其函数值互为相反数，随着x的变换，但是自变量x1=a x与x2=b-x的函数值永远互为相反数，从而从其运动轨迹可知函数f（x）关于点，0成中心对称.
抽象代数式认知培养：有了上述图形化思路的分析，学生在阅读这样的类似抽象代数式时，常常可以利用脑海中的图像为辅助，进而加强对抽象代数的阅读和理解.可以给出类似问题，以供学生认知和理解：
训练1：设函数y=f（x）的定义域为R，则下列命题中：①若y=f（x）是偶函数，则y=f（x 2）图像关于y轴对称；②若y=f（x 2）是偶函数，则y=f（x）图像关于直线x=2对称；③若f（x-2）=f（2-x），则函数y=f（x）图像关于直线x=2对称；④y=f（x-2）与y=f（2-x）图像关于直线x=2对称. 其中正确命题序号为__________.（答案：②④） 训练2：已知函数y=f（x）对一切实数x满足f（2-x）=f（4 x），且方程f（x）=0有5个实根，则这5个实根之和为_________.（答案：15）
小结：函数中许多抽象的代数式，有表述对称性的、有表述周期性的，对于数学抽象思维能力的培养依赖图形化思想的实践来加强是一种常用的手段，从本问题的研究中我们发现，学生惧怕的抽象代数式，通过图像分析获得了理解，将抽象代数式的含义理解到位，对于所有的同类问题有了全面的抽象理解，提高了数学抽象的能力.
从重要函数模型的培养
数学抽象能力在函数教学中的运用离不开从重要函数模型中的渗透，加强重要函数模型中相关问题的理解和运用，是提高其抽象能力的一个重要环节.
问题3：已知函数f（x）满足定义域在（0， ∞）上的函数，对于任意的x，y∈（0， ∞），都有f（xy）=f（x） f（y），当且仅当x>1时，f（x）<0成立. （1）设x，y∈（0， ∞），求证：f=f（y）-f（x）；（2）设x1，x2∈（0， ∞），若f（x1）
（2）因为f（x1）
（3）令x=y=1代入f（xy）=f（x） f（y）得f（1）=f（1） f（1），f（1）=0，所以关于x的不等式f（x2-a 1）<0为f（x2-a 1）
小結：函数章节中抽象能力的聚焦还需要一定典型的、相关的函数模型为载体，笔者教学中一般选用指数函数、对数函数为背景的试题各一，以重要的基本初等函数为背景，融合抽象函数中较为重要的“令”的方式，解决抽象函数解决中的一些特殊值，进而通过构造利用函数单调性解决问题.
总之，数学抽象能力的培养需要教师日复一日的渗透、培养，以函数为例的本文仅仅从少数方面做出了一些实践. 笔者认为，将直观和感性融入抽象函数教学中，循序渐进地认知、理解抽象函数. 数学抽象是一个综合性的能力，其在后续向量、几何等很多章节都有体现，从函数章节中获得的经验去启发、思考有助于学生更好地学习数学中的抽象知识.