一、引言
　　
　　给定标的资产的信息，研究这个标的资产的衍生证券的价格是经济研究的一个核心问题，假定标的资产遵循布朗运动，运用无套利理论，Black-Scholes公式给了我们一个非常明确的答案，这时候也会产生一个问题，对于标的资产价格变动不做任何假设的话，仅仅使用无套利理论，那么：已知标的资产的K个时刻的价格，由此得出衍生证券一般收益函数，问这个衍生证券价格的最可能的最好的界是多少？
　　Cox和Ross以及Harrison,Krep曾经证明无套利假设就相当于存在一个可能的分布使得期权价格在分布作用下加倍。由此我们可以构造一个模型。令任意欧式看涨期权的执行价格为k,标的资产的价格为X，则这个看涨期权的价格为：q(k)=Eπ[max(0,X-k)]，其中Eπ[X]=μ，Varπ[X]=σ2，不失一般性的，这个模型可以推广为：
　　max/minEπ[(x)]
　　Subject to,Eπ[fi(x)]=qi,i=0,…,n
　　π(x)≥0 x∈Rm+
　　其中f0(x)=1，q0=Eπ[f0(x)]=1∫∞0π(x)dx=1，
　　
　　二、具体模型
　　
　　已知标的资产n个瞬时时刻（q1,q2,…qn）(q0=1的价格，标的资产的期权收益函数为(x)，需找出这个期权价格的最可能的最好的界值。以看涨期权为例。
　　（一）依据半正定方法求出的界值
　　设欧式看涨期权的执行价格为k，我们通过解决如下问题从而得到这个看涨期权价格的一个最好的上界。
　　maximizeEπ[max(0,X-k)]=∫∞0max(0,x-k)π(x)dx
　　subjecttoEπ[Xi]=∫∞0xiπ(x)dx=qi i=0,…,n(1)
　　π(x)≥0
　　根据线性规划理论，设y=(y0,y1,…，yn是问题（1）中的各个约束条件的对偶随机矢量，我们可以得到（1）的对偶形式:
　　Minimize ∑nr=0yiqi
　　Subjectto∑nr=0yrxr≥max(0,x-k) x∈R+(2)
　　根据强对偶理论，问题（1）的解析值与问题（2）的值相等。这样以来，通过解决问题(2)就能得到我们所期望的一个精确的上界，接下来，将证明问题（1）可以转化为半正定最优化问题求解，而半正定最优化问题的求解无论是从理论还是实践我们都有很好的求解方法。
　　首先引出一些命题。
　　命题a多项式g(x)=∑2kr=0yrxr满足g(x)≥0当且仅当存在一个半正定矩阵，使得，X=[Xij]i,j=0,…k,使得yr=∑i,j∶i+j=rxij,r=0,…2k, x≥0（3）
　　命题 b多项式g(x)=∑nr=0yrxr满足g(x)≥0，对于所有的x∈[0,a]都成立，当且仅当存在一个半正定矩阵X=[xij]i,j=0,…,n，使得
　　0=∑i,j∶i+j=2l-1xij，l=1,…,n
　　∑lr=0yrk-rl-rar=∑i,j∶i+j=2lxij，x≥0 l-0,…n（4）
　　命题c多项式g(x)=∑nr=0yrxr满足g(x)≥0，对于所有的x∈[a,∞]都成立，当且仅当存在一个半正定矩阵X=[Xij]i,j=0,…n，使得
　　0=∑i,j∶i+j=2l-1xij l=1,…n
　　∑kr=lyrrlar=∑i,j∶i+j=2lxij，x≥0 l=0,…n（5）
　　命题d多项式g(x)=∑kr=0yrxr满足g(x)≥0，对于所有的x∈[a,b]都成立，当且仅当存在一个半正定矩阵X=[xij]i,j=0,…n，使得
　　0=∑i,j∶i+j=2l-1xij l=1,…n
　　∑lm=0，∑k+m-lr=myrrmk-rl-mar-mbm=∑i,j∶i+j=2lxij,x≥0 l-0,…n（6）
　　下面的定理将证明问题（1）可以转为半正定最优化的问题，通过解决最优化的问题而得到问题（1）的解。
　　定理1 给定标的资产股票的n个瞬时(q1,……，qn)的价格，q0=1，这个股票的欧式看涨期权的执行价格为k，则这个期权的最好的上界可以通过解决下面的半正定最优化问题而得到。
　　Minimize ∑nr=0yiqi
　　Subject to 0=∑i,j∶i+j=2l-1xij,l=1,…n
　　∑lr=0yrk-rl-rkr=∑i,j∶i+j=2lxij l=0,…n
　　0=∑i,j∶i+j=2l-1zij l=1,…n
　　(y0+k)+(y1-1)k+∑kr=2yrkr=z00(7)
　　(y1-1)k+∑kr=2yrrkr=∑i,j∶i+j=2zij
　　∑kr=lyrrlkr=∑i,j∶i+j=2lzij l=2,…n
　　证明：记问题（2）的可行性区域为：
　　∑nr=0yrxr≥0 for all x∈[0,k]
　　(y0+k)+(y1-1)x+∑nr=2yrkr≥0 for all x∈[k,∞]
　　应用命题b,c我们又可以把问题（2）转为半正定最优化问题（7）。
　　考虑一个期权的收益函数如下：
　　(x)=0(x),x∈[0,k1]
　　1(x),x∈[k1,k2]
　　
　　d-1(x),x∈[kd-1,kd]
　　d(x),x∈[kd,∞]（8）
　　其中收益函数r(x),r=0,1,…d是多项式，不失一般性的，任何期权的收益都可以用（8）来逼近，在这种情况下，对偶问题将转化为如下：
　　Minimize ∑nr=0yiqi
　　Subjectto∑nr=0∑nr=0yrxr≥0(x),x∈[0,k1]
　　1(x),x∈[k1,k2]
　　
　　d-1(x),x∈[kd-1,kd]
　　d(x),x∈[kd,∞]（9）
　　下面的定理将表明半正定最优化的办法无论是理论上还是实践上都是最有效的。
　　定理2 给定标的资产的某些瞬时值，令期权的分段多项式收益函数为(x)如（8）,那么它的最好的最有可能的上界可以通过解决一个半正定最优化的问题而得到。
　　问题（9）的约束集可以表示为：
　　∑nr=0yrxr≥i(x) x∈[ki-1,ki]，i=1,…,d+1
　　其中k0=0,kd+1=∞，令i(x)=∑r=0,…，miairxr，不失一般性的假设mi≤n，那么问题（9）的约束集可以记为:∑mir=0(yr-air)+∑nr=mi+1yrxr≥0,x∈[ki-1,ki], i=1,…,d+1
　　对于间隔[k0,k1]应用命题b,[ki-1,ki] , i=2,…d应用命题d，[kd,∞)应用命题c，则问题（9）可以转化为一个半正定的最优化的问题。
　　（二）期权最优上界
　　定理3（期权最优上界）一个已知到期价的股票的均值为μ，方差为σ2，股票期权的执行价格为k,则这个期权的最优上界可以通过以下算法得到：
　　maxx-(μ,σ2)E[max(0,X-k]=12(μ-k)+σ2+(μ-k)2,k≥μ2+σ22uμ-k+kσ2μ2+σ2,kμ2+σ22u
　　证明：在前面的问题（2）中我们已经给出了算法，下面我们可以得到它的对偶形式：
　　minimize(μ2+σ2)y2+μy1+y0
　　Subjecttog(x)=y2x2+y1x+y0≥max(0,x-k),x≥0
　　由g(x)的表达式可以看出g(x)非负，我们可以令g(x)-(x-k)=a(x-b)2，其中a≥0,则a(x-b)2+x-k≥0，x≥0令x0=b-12a为这个二次函数的最小值，无论x0是正还是负，无论这个不等式在x=x0还是x=0取得最大值，我们可以得到两种情形
　　（a）如果b≥12a，则-14a+b-k=0（x=x0）
　　把a=14(b-k)代入目标函数，我们可以得到：
　　maxx-(μ,σ2)+E[max(0,X-k)]\minb((μ-k)+(b-k))2+σ24(b-k)
　　=12(μ-k)+σ2+(μ-k)2
　　令a0=14(b0-k)，则b0=μ2+σ2μ
　　当b0≥12a0=2(b0-k)，即μ2+σ22u≤k，则这个界是有效的。
　　(b) 如果b12a，则ab2-k=0(x=0)
　　把a=kb2代入目标函数，我们可以得到：
　　maxx~(μ,σ2)+E[max(0,X-k]=minbkb2(μ2+σ2)-2kbμ+μ=μ-kμ2μ2+σ2
　　令a0=kb20，则b0=μ2+σ2μ，对于任意的b012a0=b202k，即μ2+σ22μk，这个界都是有效的。
　　
　　三、结论
　　
　　我们根据上述有效的算法（包含多期）即：单一的半正定最优化方式来解决了股票期权上界的问题，从而建立了一个意外的联系，即：经济与半正定最优化算法的关系，揭示了股票价格变化与股票期权的关系。
　　（作者单位： 武汉理工大学理学院）
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文