不等式的证明历来是高中数学学习的难点，其变化很多，技巧性高，方法独特，在各省高考试题中受到命题者的喜爱，也是各数学爱好者研究的方向。笔者通过对2008年陕西试题的研究，从而总结出证明一类数列不等式的证明方法。
　　（2008陕西：22）已知数列{a}首项a=，a=，n=1，2，…
　　（1）求{a}通项公式。
　　（2）证明：对任意x＞0，a≥-（-x），n=1，2，…
　　（3）证明：a+a+…+a＞。
　　在所给证明中（3）问一般要用到（2）问结论来证明，那么是否可以直接证明呢？左边是一个数列{a}前n项和S，那么右边也看作另一个数列{b}的前n项和T，若a＞b，则S＞T必成立。
　　现令T=，则b=T-T=（n≥2），n=1时b=也满足，则b=（n∈N）
　　因为a=＞，a+a=＞T=，a=＞b=，所以下面用数归法证明a=＞b=（n≥3）。
　　n=3时，已证得。设n=k（k≥3）时，有a＞b=成立，则n=k+1时，a=＞=。
　　下面用分析法证明≥2k≥4k≥2成立。
　　∴n≥3时，a＞b成立，又a+a＞b+b，∴S＞T成立，即原不等式成立。
　　利用此方法可解决很多数列不等式。
　　例1：（2009年成都一診：22）已知函数f（x）=x-ln（x+a）在x=1处取得极值。
　　（1）求实数a的值；
　　（2）若关于x的方程f（x）+2x=x+b在［，2］上恰有两个不相等的实根，求实数b的取值范围；
　　（3）证明：＞（n∈N，n≥2）。
　　解：（1）a=0；
　　（2）+ln2≤b＜2；
　　（3）∵k-f（k）=lnk，即证＞+++…+＞。
　　令S=（n≥2），S=0，则a=S-S=（n≥2）。
　　设m（x）=lnx-（x-1），则m′（x）=-==
　　-，
　　可得y=m（x）在［2，+∞）上是减函数，
　　∴m（x）≤m（2）=ln2-＜0lnx＜（x-1），
　　∴x≥2时，＞=，则k≥2时，＞==a，
　　∴+++…+＞a+a+a+…+a=得证。
　　例2：（2009年江西重点中学第一次联考：22）数列{b}满足b=1，b=2b+1，若数列{a}满足a=1，a=b（++…+），（n≥2且n∈N）。
　　（1）求b，b，b，b；
　　（2）证明：=（n≥2且n∈N）；
　　（3）求证：（1+）（1+）（1+）…（1+）＜。
　　解：（1）b=3，b=7，b=15，b=2-1；
　　（2）略；
　　（3）由（2）知（1+）（1+）（1+）…（1+）=••…=••…•a=•…•a=••a=2•=2(+++…+)=2（1+++…+）
　　原不等式只需证++…+＜，
　　又=可看作c=•（）（n≥2）的各项和，∴＞c+c+…+c，只需证•（）≥2-1≥3•22≥1（n≥2）成立，则原不等式成立。
　　分析：不等式右边显然无法看作一个数列的前n项和，但可作为一个无穷递缩等比数列的各项和。
　　通过对以上例题的分析，我们不难发现把不等式的两边各看作数列的前n项和，通过对通项的逐个比较，即可得到整个不等式的证明，从而避开了不等式证明过程中的放缩和构造等技巧，使学生更容易掌握。