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摘要：“量与计量”类别多、内容多，且大多是作为“小单元”安排，这很容易导致教学零碎散乱。从教材和课标两个维度整体分析“量与计量”内容，把握其核心和关键，得到教学建议：抓住理解“量”的关键要素，强化学生的体验和感受，突出计量本质的方法贯通，注重量与量之间的关联结构。
关键词：小学数学;整体建构;量与计量
“量与计量”是小学阶段基础而重要的学习内容，认识量、会测量应成为每个学生必备的能力和素养。在教材体系中，“量与计量”类别多、内容多，且大多是作为“小单元”安排，这很容易导致教学零碎散乱。从整体上把握“量与计量”的核心和关键，扣住本质和联系，可以化繁为简，化难为易，简教深学，事半功倍。
一、“量与计量”内容分析
（一）教材维度
小学数学内容体系中，常见的量主要包括货币、时间、质量、长度、面积、体积（容积）、角度等。苏教版小学数学教材中，“量与计量”内容的编排详见下页表1。
通过梳理，我们发现，小学阶段“量与计量”内容约有25个知识点（块），在全套教材中占比16.9%。与数量运算有关的常见量的学习主要集中在第一学段（1—3年级），与图形测量有关的常见量主要编排在第二学段（4—6年级）。总体看来，呈现出由少到多、由易到难、螺旋上升、学用结合的特点。
（二）课标维度
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，“量与计量”的内容，一部分安排在“数与代数”领域中的“常见的量”，包括货币、时间和质量;还有一部分安排在“图形与几何”领域中的“测量”，包括角度、长度、面积、体积和容积。其中，“常见的量”在第一学段“课程内容”中单独列出，内容如下：
1.在现实情境中，认识元、角、分，并了解它们之间的关系。
2.能认识钟表，了解 24 时记时法;结合自己的生活经验，体验时间的长短。
3.认识年、月、日，了解它们之间的关系。
4.在现实情境中，感受并认识克、千克、吨，能进行简单的单位换算。
5.能结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题。
这里的一些关键词，如“现实情境”“关系”“生活经验”“体验”“单位换算”等，不仅提出了学习“常见的量”的目标要求，还蕴含“常见的量”的教学要求，对日常教学具有指导作用。此外，从内容分布来看，“量与计量”一部分属于“数”，一部分属于“图形”，是“数与代数”“图形与几何”这两大领域双向沟通、促进数形结合的桥梁和纽带。
二、“量与计量”核心概念解读
首先是“量”。“量”是人们对现实生活中事物的量的描述，如东西的多少、地方的大小、物体的长短、运动的快慢等。除了元、角、分是人们创造出来的货币单位外，其余计量单位大多是用于对现实世界中事物的属性的描述。
其次是“计量”。“计量”即测量。张奠宙教授提出：测量不仅仅是拿刻度尺去测量一条线段的长度，那属于物理学范围，数学测量的本质是给每一个测量对象以合适的数。用刻度尺测量这一技能可以通过多次练习形成，但数学测量的能力则需要对测量单位系统的整体掌握。
我们可以结合模型图（如图1）来理解。要测量某个物体的长度、面积、质量（不同属性）等，就需要有计量单位（测量标准）。小学数学教材在编排时，关于计量单位的学习，往往是经历“先自选单位，后形成标准单位，再有扩充单位”的过程。当计量单位确定（“定标准”）后，就可以通过数一数，或用工具去测量、用公式计算等方法去度量所有的量，这样的过程叫作“去测量”。测量之后我们就能通过数予以描述和表达，也就是“得结果”。因此，常见的这些量虽然是对事物的不同属性的刻画与描述，但就其刻画和描述的过程与方法而言，它们是相通的，都经历了“定标准—去测量—得结果”這样的过程。
基于上述理解，有两点特别重要的对“常见的量”的认识：
一是每一个量（计量单位）都有其特定的数学含义，同时也具有确定的量值。很多“量”的意义确定都与现实事物有关。比如，“1米”是光在真空中1299792458秒所走的长度，“1千克”对应普朗克常数为6.62607015×10-34 J·s时的质量单位。因此，认识一个量，首先要知道这个量的量值，也就是它的大小，诸如1米到底有多长、1平方米到底有多大。在这个过程中需要让学生亲身参与、亲自实践、主动思考，才能促其获得具有个性特征的感性认识，不断将活动中的经历上升为经验。
二是准确把握计量单位的逻辑体系。史宁中教授曾指出：“数学的本质是在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。”可见，把握计量单位的逻辑体系十分重要。比如，小学阶段一共学习了5个面积单位，分开看，它们是零散的，但用双向箭头连接（如图2），它们之间就建立了关系，构成了整体。观察图2中最上面一行，我们发现，其余两个相邻面积单位之间的进率是100，为什么平方米和公顷之间的进率却是10000呢？如果将长度单位与面积单位上下一一对应后就会发现，少了一个“十米”所对应的面积单位“平方十米”，也就是“公亩”，把“公亩”放到这个体系中，相邻的面积单位之间的进率都是100的规律得以完美呈现。
三、“量与计量”教学建议
“量与计量”的教学，要结合学生已有的知识和经验，用“长程”的眼光、整体建构的理念，帮助学生建立清晰的知识结构、方法结构，促进学生整体思维、系统思维的快速发展。
（一）抓住理解“量”的关键要素
每一个量的学习都离不开几个关键要素：它是什么？它的量值是多少？它和其他同类量之间是什么关系？如何应用它？
以“毫米”为例：它是什么？一种长度单位;它的量值是多少？1厘米平均分成10份，每1份的长度是1毫米，一枚硬币的厚度大约就是1毫米，一张身份证的厚度大约是1毫米;它和其他同类量之间是什么关系？它与厘米的进率是10，与分米的进率是100……如何应用它？测量比较短的长度，如橡皮的厚度、手指的宽度等。 把握了这四点，也就抓住了“常见的量”教学的主干。教学设计时，可以依据这些要素来构思教学环节、课堂结构和逻辑层次。
（二）强化学生的体验和感受
常见的量是人们对现实生活中事物的量的描述，可谓随处可见、随时可遇、随地可用。因此，教学这部分内容要重视以下几点：
1.关注现实情境，强化数学与生活的联系。现实生活的支撑越强，“常见的量”的学习就越清晰、越牢固、越灵活。
2.强化体验和经验，增强学习的主体感受和主动建构。设计活动时要多为学生提供猜测、推算、思考的机会，使活动具有层次性，让学生在亲自实践、主动建构中不断将经历上升为经验。
3.注重“学以致用”，让学生在“用”中学——在尝试、分析、解决问题的过程中不知不觉地完成新知的学习与建构，获得思维活动经验，不断提升问题解决能力与创新实践能力。
（三）突出计量本质的方法贯通
如上所述，不管学习哪一类量，就其刻画和描述的过程与方法而言都要经历三个基本步骤：定标准、去测量、得结果。“定标准”，就是定下“1”，如果作为标准的“1”建立得不充分、不清晰，那对“几”的判断就会非常困难。比如，认识“千克”，先要对1千克的重量建立比较好的感觉，然后才能以此为标准去熟悉2千克、3千克、10千克……“去测量”，重在方法的简洁性、科学性，要寻找多样化中的最优化和统一性。教学时遵循这样的三步，也就遵循了常见的量的基本逻辑，既有统摄作用，也避免教学的散点状、碎片化。
（四）注重量与量之间的关联结构
1.孕育“种子课”——感悟结构。
“种子课”是指一类知识最初始的课堂学习，它在知识体系中处于根部地位。因此，“种子课”的立意决定了这一类内容教学的方向、视野及高度。
比如《时、分、秒》这节课，它应该属于“时间单位”的一节“种子课”。教学时，不少教师是将这一内容切分成两课时来教学，第一课时学“1时=60分”，第二课时学“1分=60秒”，这其实人为地“阻断”了知识间的联系。笔者将教材整合后，把第一课时的重点落在体验时、分、秒的时长以及把握它们之间的关系上：带领学生先观察钟面，发现秒针、分针、时针“三针协动”;再研究分和秒之间的关系;然后通过演绎、推理等方法，自主探究出时和分之间的关系（如图3）。
2.培植“生长课”——发展结构。
“生长课”是相对于“种子课”而言的，它是指学生对同一类知识的关系有了初步的感受后，在原来结构的基础上不断扩充、发展的课堂。
特级教师许卫兵执教《认识千米》时，在学生自主整理已經学过的四个长度单位的基础上，组织他们探究：“如果人们‘创造’出了第五个长度单位，你觉得这个长度单位会在什么位置，它和我们之前学过的长度单位之间是什么关系？”学生主要呈现了两种构想：它们有可能比毫米小，也有可能比米还大。如果比毫米小，会是什么？如果比米大，又会是什么？它们和已有的单位之间又是什么关系？学生将新“发明”的长度单位（丝米、十米、百米、千米等）在原有的基础上“排排队”，就形成了长度单位的体系表（如图4）。从中，不仅能很清楚地看到“千米”所处的位置，而且还能明白“1千米为什么等于1000米”。这也便于学生在关联和结构中理解和掌握，更好地感受数学的整体性、结构性、逻辑性和严谨性。
3.拔节“关联课”——完善结构。
“关联课”，要超越某个具体内容的学习，打通不同类知识之间的关联，以便学生更好地建立、完善结构，最终达到举一反三、触类旁通的效果。
比如《角的度量》，表面上看，它与之前学习的长度、面积、质量、体积的度量属于不同类别，但实际上，它与之前其他度量活动本质上具有内在一致性，都经历了“定标准、去测量、得结果”的过程。一位教师在执教时就引导学生把角的测量与之前学习的长度、面积的测量进行关联，从而建构出关于计量的一般方法的模型（如图5所示）。
经过了“种子课”的感悟，“生长课”的发展，“关联课”的完善，学生会感到看起来学习的计量很多，实质上学习它们的方法是相通的，关于量的学习的整体思维结构就会逐步形成。带着这样的感悟拓展到其他领域知识的学习，学生会萌生出自己建构体系的念头，尝试“用结构”去学，甚至自己搭建结构。这就实现了质的飞跃，达到了学习的较高境界。
*本文系全国教育科学“十三五”规划教育部2019年度重点课题“指向整体建构的小学数学简约教学资源建设”（批准号：DHA190453）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] 张奠宙.深入浅出，平易近人——怎样测量长度、面积和体积[J].小学数学（数学版），2014（9）.
[2] 史宁中.基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M].北京：高等教育出版社，2013.
关键词：小学数学;整体建构;量与计量
“量与计量”是小学阶段基础而重要的学习内容，认识量、会测量应成为每个学生必备的能力和素养。在教材体系中，“量与计量”类别多、内容多，且大多是作为“小单元”安排，这很容易导致教学零碎散乱。从整体上把握“量与计量”的核心和关键，扣住本质和联系，可以化繁为简，化难为易，简教深学，事半功倍。
一、“量与计量”内容分析
（一）教材维度
小学数学内容体系中，常见的量主要包括货币、时间、质量、长度、面积、体积（容积）、角度等。苏教版小学数学教材中，“量与计量”内容的编排详见下页表1。
通过梳理，我们发现，小学阶段“量与计量”内容约有25个知识点（块），在全套教材中占比16.9%。与数量运算有关的常见量的学习主要集中在第一学段（1—3年级），与图形测量有关的常见量主要编排在第二学段（4—6年级）。总体看来，呈现出由少到多、由易到难、螺旋上升、学用结合的特点。
（二）课标维度
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，“量与计量”的内容，一部分安排在“数与代数”领域中的“常见的量”，包括货币、时间和质量;还有一部分安排在“图形与几何”领域中的“测量”，包括角度、长度、面积、体积和容积。其中，“常见的量”在第一学段“课程内容”中单独列出，内容如下：
1.在现实情境中，认识元、角、分，并了解它们之间的关系。
2.能认识钟表，了解 24 时记时法;结合自己的生活经验，体验时间的长短。
3.认识年、月、日，了解它们之间的关系。
4.在现实情境中，感受并认识克、千克、吨，能进行简单的单位换算。
5.能结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题。
这里的一些关键词，如“现实情境”“关系”“生活经验”“体验”“单位换算”等，不仅提出了学习“常见的量”的目标要求，还蕴含“常见的量”的教学要求，对日常教学具有指导作用。此外，从内容分布来看，“量与计量”一部分属于“数”，一部分属于“图形”，是“数与代数”“图形与几何”这两大领域双向沟通、促进数形结合的桥梁和纽带。
二、“量与计量”核心概念解读
首先是“量”。“量”是人们对现实生活中事物的量的描述，如东西的多少、地方的大小、物体的长短、运动的快慢等。除了元、角、分是人们创造出来的货币单位外，其余计量单位大多是用于对现实世界中事物的属性的描述。
其次是“计量”。“计量”即测量。张奠宙教授提出：测量不仅仅是拿刻度尺去测量一条线段的长度，那属于物理学范围，数学测量的本质是给每一个测量对象以合适的数。用刻度尺测量这一技能可以通过多次练习形成，但数学测量的能力则需要对测量单位系统的整体掌握。
我们可以结合模型图（如图1）来理解。要测量某个物体的长度、面积、质量（不同属性）等，就需要有计量单位（测量标准）。小学数学教材在编排时，关于计量单位的学习，往往是经历“先自选单位，后形成标准单位，再有扩充单位”的过程。当计量单位确定（“定标准”）后，就可以通过数一数，或用工具去测量、用公式计算等方法去度量所有的量，这样的过程叫作“去测量”。测量之后我们就能通过数予以描述和表达，也就是“得结果”。因此，常见的这些量虽然是对事物的不同属性的刻画与描述，但就其刻画和描述的过程与方法而言，它们是相通的，都经历了“定标准—去测量—得结果”這样的过程。
基于上述理解，有两点特别重要的对“常见的量”的认识：
一是每一个量（计量单位）都有其特定的数学含义，同时也具有确定的量值。很多“量”的意义确定都与现实事物有关。比如，“1米”是光在真空中1299792458秒所走的长度，“1千克”对应普朗克常数为6.62607015×10-34 J·s时的质量单位。因此，认识一个量，首先要知道这个量的量值，也就是它的大小，诸如1米到底有多长、1平方米到底有多大。在这个过程中需要让学生亲身参与、亲自实践、主动思考，才能促其获得具有个性特征的感性认识，不断将活动中的经历上升为经验。
二是准确把握计量单位的逻辑体系。史宁中教授曾指出：“数学的本质是在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。”可见，把握计量单位的逻辑体系十分重要。比如，小学阶段一共学习了5个面积单位，分开看，它们是零散的，但用双向箭头连接（如图2），它们之间就建立了关系，构成了整体。观察图2中最上面一行，我们发现，其余两个相邻面积单位之间的进率是100，为什么平方米和公顷之间的进率却是10000呢？如果将长度单位与面积单位上下一一对应后就会发现，少了一个“十米”所对应的面积单位“平方十米”，也就是“公亩”，把“公亩”放到这个体系中，相邻的面积单位之间的进率都是100的规律得以完美呈现。
三、“量与计量”教学建议
“量与计量”的教学，要结合学生已有的知识和经验，用“长程”的眼光、整体建构的理念，帮助学生建立清晰的知识结构、方法结构，促进学生整体思维、系统思维的快速发展。
（一）抓住理解“量”的关键要素
每一个量的学习都离不开几个关键要素：它是什么？它的量值是多少？它和其他同类量之间是什么关系？如何应用它？
以“毫米”为例：它是什么？一种长度单位;它的量值是多少？1厘米平均分成10份，每1份的长度是1毫米，一枚硬币的厚度大约就是1毫米，一张身份证的厚度大约是1毫米;它和其他同类量之间是什么关系？它与厘米的进率是10，与分米的进率是100……如何应用它？测量比较短的长度，如橡皮的厚度、手指的宽度等。 把握了这四点，也就抓住了“常见的量”教学的主干。教学设计时，可以依据这些要素来构思教学环节、课堂结构和逻辑层次。
（二）强化学生的体验和感受
常见的量是人们对现实生活中事物的量的描述，可谓随处可见、随时可遇、随地可用。因此，教学这部分内容要重视以下几点：
1.关注现实情境，强化数学与生活的联系。现实生活的支撑越强，“常见的量”的学习就越清晰、越牢固、越灵活。
2.强化体验和经验，增强学习的主体感受和主动建构。设计活动时要多为学生提供猜测、推算、思考的机会，使活动具有层次性，让学生在亲自实践、主动建构中不断将经历上升为经验。
3.注重“学以致用”，让学生在“用”中学——在尝试、分析、解决问题的过程中不知不觉地完成新知的学习与建构，获得思维活动经验，不断提升问题解决能力与创新实践能力。
（三）突出计量本质的方法贯通
如上所述，不管学习哪一类量，就其刻画和描述的过程与方法而言都要经历三个基本步骤：定标准、去测量、得结果。“定标准”，就是定下“1”，如果作为标准的“1”建立得不充分、不清晰，那对“几”的判断就会非常困难。比如，认识“千克”，先要对1千克的重量建立比较好的感觉，然后才能以此为标准去熟悉2千克、3千克、10千克……“去测量”，重在方法的简洁性、科学性，要寻找多样化中的最优化和统一性。教学时遵循这样的三步，也就遵循了常见的量的基本逻辑，既有统摄作用，也避免教学的散点状、碎片化。
（四）注重量与量之间的关联结构
1.孕育“种子课”——感悟结构。
“种子课”是指一类知识最初始的课堂学习，它在知识体系中处于根部地位。因此，“种子课”的立意决定了这一类内容教学的方向、视野及高度。
比如《时、分、秒》这节课，它应该属于“时间单位”的一节“种子课”。教学时，不少教师是将这一内容切分成两课时来教学，第一课时学“1时=60分”，第二课时学“1分=60秒”，这其实人为地“阻断”了知识间的联系。笔者将教材整合后，把第一课时的重点落在体验时、分、秒的时长以及把握它们之间的关系上：带领学生先观察钟面，发现秒针、分针、时针“三针协动”;再研究分和秒之间的关系;然后通过演绎、推理等方法，自主探究出时和分之间的关系（如图3）。
2.培植“生长课”——发展结构。
“生长课”是相对于“种子课”而言的，它是指学生对同一类知识的关系有了初步的感受后，在原来结构的基础上不断扩充、发展的课堂。
特级教师许卫兵执教《认识千米》时，在学生自主整理已經学过的四个长度单位的基础上，组织他们探究：“如果人们‘创造’出了第五个长度单位，你觉得这个长度单位会在什么位置，它和我们之前学过的长度单位之间是什么关系？”学生主要呈现了两种构想：它们有可能比毫米小，也有可能比米还大。如果比毫米小，会是什么？如果比米大，又会是什么？它们和已有的单位之间又是什么关系？学生将新“发明”的长度单位（丝米、十米、百米、千米等）在原有的基础上“排排队”，就形成了长度单位的体系表（如图4）。从中，不仅能很清楚地看到“千米”所处的位置，而且还能明白“1千米为什么等于1000米”。这也便于学生在关联和结构中理解和掌握，更好地感受数学的整体性、结构性、逻辑性和严谨性。
3.拔节“关联课”——完善结构。
“关联课”，要超越某个具体内容的学习，打通不同类知识之间的关联，以便学生更好地建立、完善结构，最终达到举一反三、触类旁通的效果。
比如《角的度量》，表面上看，它与之前学习的长度、面积、质量、体积的度量属于不同类别，但实际上，它与之前其他度量活动本质上具有内在一致性，都经历了“定标准、去测量、得结果”的过程。一位教师在执教时就引导学生把角的测量与之前学习的长度、面积的测量进行关联，从而建构出关于计量的一般方法的模型（如图5所示）。
经过了“种子课”的感悟，“生长课”的发展，“关联课”的完善，学生会感到看起来学习的计量很多，实质上学习它们的方法是相通的，关于量的学习的整体思维结构就会逐步形成。带着这样的感悟拓展到其他领域知识的学习，学生会萌生出自己建构体系的念头，尝试“用结构”去学，甚至自己搭建结构。这就实现了质的飞跃，达到了学习的较高境界。
*本文系全国教育科学“十三五”规划教育部2019年度重点课题“指向整体建构的小学数学简约教学资源建设”（批准号：DHA190453）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] 张奠宙.深入浅出，平易近人——怎样测量长度、面积和体积[J].小学数学（数学版），2014（9）.
[2] 史宁中.基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M].北京：高等教育出版社，2013.