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【摘要】本文再次提出“立足教材，学会数学探索”是高等数学教学的一个有效方法。文中以微分方程中常数变易法为一教学案例。
【关键词】常数变易法;数学探索;数学兴趣;数学能力
我们在高等数学教学中一直坚持在数学知识传授的同时重视学生数学能力的培养。由于课时有限，我们不可能有专门的时间去讲授数学中重要的方法和重要的思想，但我们又认为这些在数学教学中是致关重要的，因为数学教学同样具有履行：教育、培养和发展的重要职能，而掌握数学中重要的方法和重要的思想远比掌握数学知识重要。继“立足教材，学会数学探索——以探索曲线拐点的充分条件为例”教学实践后，我们不断在教学过程中，从教材挖掘数学探索的教学案例，从而能让学生体会和学习数学中重要的方法和重要的思想。事实表明，“立足教材，学会数学探索”对培养学生学习数学的兴趣和提高数学能力起到非常有效的作用。
下面我们介绍以微分方程中常数变易法为例探索的教学案例。
1常数变易法在教材中的编排
在高等数学的微分方程章节中，为解一阶线性微分方程dydx+p(x)y=q(x)(1)时，教材中介绍了常数变易法：
为了解，先解对应的齐次线性方程:dydx+p(x)y=0(2)
显然(2)可用分离变量法解得其通解:y=Ce-∫p(x)dx(其中C是任意常数)(3)
从这通解出发,把这通解中的任意常数C变换为的未知函数u(x)：y=u(x)e-∫p(x)dx(4)，并设其为(1)的解，于是，求其导数:y′=u′(x)e-∫p(x)dx-u(x)p(x)e-∫p(x)dx(5)，
将(4)和(5)代入方程(1)，得到:u′(x)e-∫p(x)dx-u(x)p(x)e-∫p(x)dx+p(x)u(x)e-∫p(x)dx=q(x)，
整理得：u′(x)=q(x)e∫p(x)dx
两边积分得:u(x)=fq(x)e∫p(x)dxdx+C(其中是任意常数)，
把上式代入(3),便得到非齐次方程(1)的通解：
y=e-∫p(x)dx(∫q(x)e∫p(x)dxdx+C)(6)。
2学生的疑惑
上述解法相当简洁,且此方法在解决其它问题时也非常有用。然而问题是:学生往往觉得这一方法虽然巧妙,但过程来得很突然，心里不免有疑惑:为什么非齐次要当齐次来解？是怎样想到把任意常数C变换为待定函数u(x)的?……
事实上，常数变易法是解线性微分方程行之有效的一种方法，它是著名数学家拉格朗日十一年的研究成果，而教材仅是介绍了他的结论并无探讨过程，如果我们的教学也就此为止，那不免失去了一次和学生共同探索数学方法、数学思想的好机会！
3我们的教学设计
我们认为常数变易法的教学可以分为以下三个层次进行教学：
第一层次：初步探讨。这一层次在授新课教学时进行。
让学生考察：一阶线性微分方程：dydx+p(x)y=q(x)(1)和其对应的齐次线性方程：dydx+p(x)y=0(2)式,显然(2)式是(1)式的特殊情形。两式的左端是一样的,但两式的右端有区别。因此可以设想它们的解也应该有一定的联系但又会有差别。于是想到利用方程(2)的通解去求出方程(1)的通解；而根据(2)的通解y=Ce-∫p(x)dx形式，显然,(1)的解也会含有因式e-∫p(x)dx，又如果(3)中的C恒保持为常数,它必不可能是(1)的解，为此在(3)式中,将常数C变易为x的待定函数u(x),使它满足(1)从而求出u(x)。这就是常数变易法由来的简单解释。虽然这不能算是证明，但对于心存疑惑的学生应该有所帮助。
第二层次：尝试证明。这一层次可在习题课时进行。
对于常数变易法的证明，我们认为在习题课时可以进行。一方面，常数变易法是数学中一个较好的方法，通过证明能让学生加强印象；另一方面，常数变易法的证明本身也是数学探索的一个很好例子，对学生提高数学学习兴趣、提高数学能力和学会数学探索都有很大的帮助。我们在教学实践中认为以下几种证明可以和学生一起讨论。
证明一：将一阶线性微分方程：dydx+p(x)y=q(x)(1)变形为:
1ydy=-p(x)dx+q(x)ydx
两边积分得:1ny=-∫p(x)dx+∫q(x)ydx+1nC
考虑到是的未知函数，则记：∫q(x)ydx=φ(x)(φ(x))（也是未知函数）,代入上式得:1ny=-∫p(x)dx+φ(x)+1nC或y=Ceφ(x)e-∫p(x)dx,将Ceφ(x)记为u(x)，
即：u(x)=Ceφ(x),
虽然非齐次线性方程(1)的通解还没有求出,但已知道其解为：y=u(x)e-∫p(x)dx的形式(其中u(x)是待定函数)。
然后，再求出y′，并将y和y′代入原方程，即可得：u(x)=∫q(x)e∫p(x)dxdx+C，从而得到非齐次方程(1)的通解：
y=e-∫p(x)dx(∫q(x)e∫p(x)dxdx+c)。
证明二：对于一阶线性微分方程：dydx+p(x)y=q(x)
设其解为：y=uv（其中u、v均设为x的待定函数），则：dydx=vdudx+udvdx，
代入上述方程，有：vdudx+udvdx+p(x)uv=q(x),也有：vdudx+u(dvdx+p(x)v=q(x)),
令：dvdx+p(x)v=0，得：dvv=-p(x)dx，1n，|v|=-∫p(x)dx+C1
进而：v=±e-∫p(x)dx+C1=Ce-∫p(x)dx（C=±ec1），特别取C=1，
即：v=e-∫p(x)dx，
从而：y=ue-∫p(x)dx，则：y′=dudxe-∫p(x)dx+ue-∫p(x)dx(-p(x))
将y和y′代入原方程，有：dudxe-∫p(x)dx+ue-∫p(x)dx-p(x)+p(x)ue-∫p(x)dx=q(x)，
整理得：dudxe-∫p(x)dx=q(x)，
有：dudx=q(x)e∫p(x)dx，
则两边积分得：u=∫q(x)e∫p(x)dxdx+C，
即：y=uv=(∫q(x)e∫p(x)dxdx+C)e-∫p(x)dx=e-∫p(x)dx(∫q(x)e∫p(x)dxdx+C)
证明三：由方程dydx+p(x)y=q(x)(1)的形式及乘积的导数公式:(uv)′=′v+uv′得到启发，对方程(1)式两边乘以一个恰当的函数因子φ(x)(≠0):
φ(x)y′+φ(x)p(x)y=φ(x)q(x)，
如能选择φ(x),使φ′(x)=φ(x)p(x)，则上式可写为：(φ(x)y)′=φ(x)q(x)，左端是一个完全微分式,故可直接积分得：
φ(x)y=∫φ(x)q(x)dx+C(其中以C为任意常数)，
于是问题归结为求解方程：φ′(x)=φ(x)p(x),
解得：1nφ(x)=∫p(x)dx，有：φ(x)=e∫p(d)dx，
代入φ(x)y=∫φ(x)q(x)dx+C式，整理得到所求的非齐次方程(1)的通解：
y=e-∫p(x)dx(∫q(x)e∫p(x)dxdx+C)
以上三种证明的方法都是建立在学生熟悉的知识基础上的,学生应该很容易理解并接受，而所有证明的结果与(1)对应的齐次线性方程的通解比较，发现只要将齐次方程通解中的常数视为待定函数求解,其结果相同。至于当年拉格朗日是否这样探讨并不重要，重要的是这些处理问题的思维方法值得学生学习。
第三层次：常数变易法在解其它方程中的运用。
对学有余力的学生可以在课后和他们一起讨论常数变易法在解其它方程中的运用。我们认为这是因才施教、培养优秀学生的较好途径。
事实上，常数变易法不只是在求一阶线性非齐次微分方程的解时有用，在解高阶常系数线性非齐次方程和Bernoulli方程时都可使用。
1．在解二阶常系数线性非齐次方程时的运用。
二阶常系数线性非齐次微分方程：y″+py′+qy=f(x)(1)
设其所对应的齐次微分方程y″+py′+qy=0的通解是：y=C1y1+C2y2（其中C1,C2为任意常数），且y1，y2线性无关。
则：令方程(1)的解为y=u1y1+u2y2(2)（其中u1、u2为待定函数），为确定这两个待定函数,可再补充一个条件u′1y1+u′2y2=0(3)。
把(2)代入(1),并利用(3)式化简得：u′1y′1+u′2y′2=f(x)，此式与方程(3)组成方程组：u′1y1+u′2y2=0
u′1y′1+u′2y′2=f(x)(4)，由y1，y2线性无关，所以(4)式的系数行列式：D(x)y1y2
y′1y′2≠0，
则：u′1=-y2f(x)D(x)，u′2=y1f(x)D(x)，
所以：u1=-∫y2f(x)D(x)dx+C1，u2=∫y1f(x)D(x)dx+C2，代入(3)式，就得到方程(1)的通解：y=y1(-∫y2f(x)D(x)dx+C1)+y2(∫y1f(x)D(x)dx+C2)
或：y=C1y1+C2y2-y1∫y2f(x)D(x)dx+y2∫y1f(x)D(x)dx
2．在解Bernoulli方程时的运用。
形如：dydx+p(x)y=q(x)yn(1)称为Bernoulli方程，
当q(x)=0时，方程为：dydx+p(x)y=0(2)，
其通解为：y=Ce-∫p(x)dx(其中C是任意常数)(3)，
用常数变易法，设y=u(x)e-∫p(x)dx为(1)的解，则求得：y′=u′(x)e-∫p(x)dx-u(x)p(x)e-∫p(x)dx，将y、y′代入(1)，
得：u′(x)e-∫p(x)dx-u(x)p(x)e-∫p(x)dx+p(x)u(x)e-∫p(x)dx=q(x)(u(x)e-∫p(x)dx)n，
整理得：u′(x)=q(x)un(x)e(1-n)∫p(x)dx，
分离变量：du(x)un(x)=q(x)e(1-n)∫p(x)dxdx，
两边积分并整理得：u(x)=[(1-n)∫q(x)e(1-n)∫p(x)dxdx+C]11-n，
则(1)的通解为：y=e-∫p(x)dx[(1-n)∫q(x)e(1-n)∫p(x)dxdx+C]11-n
参考文献
[1]杜玲玲，“立足教材，学会数学探索”的实例[J]，杭州师范学院学报，2005年第2期
[2]崔士襄，“常数变易法”来历的探讨[J]，邯郸农业高等专科学校学报，1998年第1期
[3]田飞、王洪林，常数变易法的使用[J]，河北工程技术高等专科学校学报，2002年第1期
[4]俞岑源，关于一阶线性常微分方程常数变易法的一点注记[J]，嘉兴学院学报，2001年第3期
【关键词】常数变易法;数学探索;数学兴趣;数学能力
我们在高等数学教学中一直坚持在数学知识传授的同时重视学生数学能力的培养。由于课时有限，我们不可能有专门的时间去讲授数学中重要的方法和重要的思想，但我们又认为这些在数学教学中是致关重要的，因为数学教学同样具有履行：教育、培养和发展的重要职能，而掌握数学中重要的方法和重要的思想远比掌握数学知识重要。继“立足教材，学会数学探索——以探索曲线拐点的充分条件为例”教学实践后，我们不断在教学过程中，从教材挖掘数学探索的教学案例，从而能让学生体会和学习数学中重要的方法和重要的思想。事实表明，“立足教材，学会数学探索”对培养学生学习数学的兴趣和提高数学能力起到非常有效的作用。
下面我们介绍以微分方程中常数变易法为例探索的教学案例。
1常数变易法在教材中的编排
在高等数学的微分方程章节中，为解一阶线性微分方程dydx+p(x)y=q(x)(1)时，教材中介绍了常数变易法：
为了解，先解对应的齐次线性方程:dydx+p(x)y=0(2)
显然(2)可用分离变量法解得其通解:y=Ce-∫p(x)dx(其中C是任意常数)(3)
从这通解出发,把这通解中的任意常数C变换为的未知函数u(x)：y=u(x)e-∫p(x)dx(4)，并设其为(1)的解，于是，求其导数:y′=u′(x)e-∫p(x)dx-u(x)p(x)e-∫p(x)dx(5)，
将(4)和(5)代入方程(1)，得到:u′(x)e-∫p(x)dx-u(x)p(x)e-∫p(x)dx+p(x)u(x)e-∫p(x)dx=q(x)，
整理得：u′(x)=q(x)e∫p(x)dx
两边积分得:u(x)=fq(x)e∫p(x)dxdx+C(其中是任意常数)，
把上式代入(3),便得到非齐次方程(1)的通解：
y=e-∫p(x)dx(∫q(x)e∫p(x)dxdx+C)(6)。
2学生的疑惑
上述解法相当简洁,且此方法在解决其它问题时也非常有用。然而问题是:学生往往觉得这一方法虽然巧妙,但过程来得很突然，心里不免有疑惑:为什么非齐次要当齐次来解？是怎样想到把任意常数C变换为待定函数u(x)的?……
事实上，常数变易法是解线性微分方程行之有效的一种方法，它是著名数学家拉格朗日十一年的研究成果，而教材仅是介绍了他的结论并无探讨过程，如果我们的教学也就此为止，那不免失去了一次和学生共同探索数学方法、数学思想的好机会！
3我们的教学设计
我们认为常数变易法的教学可以分为以下三个层次进行教学：
第一层次：初步探讨。这一层次在授新课教学时进行。
让学生考察：一阶线性微分方程：dydx+p(x)y=q(x)(1)和其对应的齐次线性方程：dydx+p(x)y=0(2)式,显然(2)式是(1)式的特殊情形。两式的左端是一样的,但两式的右端有区别。因此可以设想它们的解也应该有一定的联系但又会有差别。于是想到利用方程(2)的通解去求出方程(1)的通解；而根据(2)的通解y=Ce-∫p(x)dx形式，显然,(1)的解也会含有因式e-∫p(x)dx，又如果(3)中的C恒保持为常数,它必不可能是(1)的解，为此在(3)式中,将常数C变易为x的待定函数u(x),使它满足(1)从而求出u(x)。这就是常数变易法由来的简单解释。虽然这不能算是证明，但对于心存疑惑的学生应该有所帮助。
第二层次：尝试证明。这一层次可在习题课时进行。
对于常数变易法的证明，我们认为在习题课时可以进行。一方面，常数变易法是数学中一个较好的方法，通过证明能让学生加强印象；另一方面，常数变易法的证明本身也是数学探索的一个很好例子，对学生提高数学学习兴趣、提高数学能力和学会数学探索都有很大的帮助。我们在教学实践中认为以下几种证明可以和学生一起讨论。
证明一：将一阶线性微分方程：dydx+p(x)y=q(x)(1)变形为:
1ydy=-p(x)dx+q(x)ydx
两边积分得:1ny=-∫p(x)dx+∫q(x)ydx+1nC
考虑到是的未知函数，则记：∫q(x)ydx=φ(x)(φ(x))（也是未知函数）,代入上式得:1ny=-∫p(x)dx+φ(x)+1nC或y=Ceφ(x)e-∫p(x)dx,将Ceφ(x)记为u(x)，
即：u(x)=Ceφ(x),
虽然非齐次线性方程(1)的通解还没有求出,但已知道其解为：y=u(x)e-∫p(x)dx的形式(其中u(x)是待定函数)。
然后，再求出y′，并将y和y′代入原方程，即可得：u(x)=∫q(x)e∫p(x)dxdx+C，从而得到非齐次方程(1)的通解：
y=e-∫p(x)dx(∫q(x)e∫p(x)dxdx+c)。
证明二：对于一阶线性微分方程：dydx+p(x)y=q(x)
设其解为：y=uv（其中u、v均设为x的待定函数），则：dydx=vdudx+udvdx，
代入上述方程，有：vdudx+udvdx+p(x)uv=q(x),也有：vdudx+u(dvdx+p(x)v=q(x)),
令：dvdx+p(x)v=0，得：dvv=-p(x)dx，1n，|v|=-∫p(x)dx+C1
进而：v=±e-∫p(x)dx+C1=Ce-∫p(x)dx（C=±ec1），特别取C=1，
即：v=e-∫p(x)dx，
从而：y=ue-∫p(x)dx，则：y′=dudxe-∫p(x)dx+ue-∫p(x)dx(-p(x))
将y和y′代入原方程，有：dudxe-∫p(x)dx+ue-∫p(x)dx-p(x)+p(x)ue-∫p(x)dx=q(x)，
整理得：dudxe-∫p(x)dx=q(x)，
有：dudx=q(x)e∫p(x)dx，
则两边积分得：u=∫q(x)e∫p(x)dxdx+C，
即：y=uv=(∫q(x)e∫p(x)dxdx+C)e-∫p(x)dx=e-∫p(x)dx(∫q(x)e∫p(x)dxdx+C)
证明三：由方程dydx+p(x)y=q(x)(1)的形式及乘积的导数公式:(uv)′=′v+uv′得到启发，对方程(1)式两边乘以一个恰当的函数因子φ(x)(≠0):
φ(x)y′+φ(x)p(x)y=φ(x)q(x)，
如能选择φ(x),使φ′(x)=φ(x)p(x)，则上式可写为：(φ(x)y)′=φ(x)q(x)，左端是一个完全微分式,故可直接积分得：
φ(x)y=∫φ(x)q(x)dx+C(其中以C为任意常数)，
于是问题归结为求解方程：φ′(x)=φ(x)p(x),
解得：1nφ(x)=∫p(x)dx，有：φ(x)=e∫p(d)dx，
代入φ(x)y=∫φ(x)q(x)dx+C式，整理得到所求的非齐次方程(1)的通解：
y=e-∫p(x)dx(∫q(x)e∫p(x)dxdx+C)
以上三种证明的方法都是建立在学生熟悉的知识基础上的,学生应该很容易理解并接受，而所有证明的结果与(1)对应的齐次线性方程的通解比较，发现只要将齐次方程通解中的常数视为待定函数求解,其结果相同。至于当年拉格朗日是否这样探讨并不重要，重要的是这些处理问题的思维方法值得学生学习。
第三层次：常数变易法在解其它方程中的运用。
对学有余力的学生可以在课后和他们一起讨论常数变易法在解其它方程中的运用。我们认为这是因才施教、培养优秀学生的较好途径。
事实上，常数变易法不只是在求一阶线性非齐次微分方程的解时有用，在解高阶常系数线性非齐次方程和Bernoulli方程时都可使用。
1．在解二阶常系数线性非齐次方程时的运用。
二阶常系数线性非齐次微分方程：y″+py′+qy=f(x)(1)
设其所对应的齐次微分方程y″+py′+qy=0的通解是：y=C1y1+C2y2（其中C1,C2为任意常数），且y1，y2线性无关。
则：令方程(1)的解为y=u1y1+u2y2(2)（其中u1、u2为待定函数），为确定这两个待定函数,可再补充一个条件u′1y1+u′2y2=0(3)。
把(2)代入(1),并利用(3)式化简得：u′1y′1+u′2y′2=f(x)，此式与方程(3)组成方程组：u′1y1+u′2y2=0
u′1y′1+u′2y′2=f(x)(4)，由y1，y2线性无关，所以(4)式的系数行列式：D(x)y1y2
y′1y′2≠0，
则：u′1=-y2f(x)D(x)，u′2=y1f(x)D(x)，
所以：u1=-∫y2f(x)D(x)dx+C1，u2=∫y1f(x)D(x)dx+C2，代入(3)式，就得到方程(1)的通解：y=y1(-∫y2f(x)D(x)dx+C1)+y2(∫y1f(x)D(x)dx+C2)
或：y=C1y1+C2y2-y1∫y2f(x)D(x)dx+y2∫y1f(x)D(x)dx
2．在解Bernoulli方程时的运用。
形如：dydx+p(x)y=q(x)yn(1)称为Bernoulli方程，
当q(x)=0时，方程为：dydx+p(x)y=0(2)，
其通解为：y=Ce-∫p(x)dx(其中C是任意常数)(3)，
用常数变易法，设y=u(x)e-∫p(x)dx为(1)的解，则求得：y′=u′(x)e-∫p(x)dx-u(x)p(x)e-∫p(x)dx，将y、y′代入(1)，
得：u′(x)e-∫p(x)dx-u(x)p(x)e-∫p(x)dx+p(x)u(x)e-∫p(x)dx=q(x)(u(x)e-∫p(x)dx)n，
整理得：u′(x)=q(x)un(x)e(1-n)∫p(x)dx，
分离变量：du(x)un(x)=q(x)e(1-n)∫p(x)dxdx，
两边积分并整理得：u(x)=[(1-n)∫q(x)e(1-n)∫p(x)dxdx+C]11-n，
则(1)的通解为：y=e-∫p(x)dx[(1-n)∫q(x)e(1-n)∫p(x)dxdx+C]11-n
参考文献
[1]杜玲玲，“立足教材，学会数学探索”的实例[J]，杭州师范学院学报，2005年第2期
[2]崔士襄，“常数变易法”来历的探讨[J]，邯郸农业高等专科学校学报，1998年第1期
[3]田飞、王洪林，常数变易法的使用[J]，河北工程技术高等专科学校学报，2002年第1期
[4]俞岑源，关于一阶线性常微分方程常数变易法的一点注记[J]，嘉兴学院学报，2001年第3期