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在教学《梯形面积的计算公式》(苏教版第九册)时一位教师采用了如下的教学片段:
师:你能求出下面几个图形的面积吗?
生:平行四边形的面积是:4×3=12(平方厘米)。
生:三角形的面积是:4×3÷2=6(平方厘米)。
师:你们能回忆出平行四边形和三角形面积的计算公式的推导过程吗?
生:我们是将一个平行四边形沿着高剪开、再平移,拼成一个长方形来推导平行四边形面积的计算公式的。
生:我们是用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形来推导三角形面积的计算公式的。
师:这个梯形的面积你能计算吗?
生:我们没有学过梯形面积的计算公式,所以不能求出这个梯形的面积是多少。
师:仔细比较这三个图形的面积大小,你能估算出这个梯形的面积大约是多少吗?
生:通过比较这三个图形的面积大小,我觉得这个梯形的面积应该比6平方厘米大比12平方厘米小。(大部分同学都点头赞同)
师:能说说理由吗?
生:梯形的面积比中间的三角形面积大一些,而比左边的平行四边形的面积小一些。
生:我将三角形平移到这个梯形里时,发现梯形还多出一部分;而将梯形平移到平行四边形里,又发现平行四边形多出一部分。
(这名学生的发言还没有完,另一名学生激动地抢着说,我有办法求出这个梯形的面积是多少!)
生:我将这个梯形分成这样的两个三角形,就能求出这个梯形的面积是:4×3÷2 1×3÷2=7.5(平方厘米)。(教师根据学生的回答出示右图)
师:你们猜想一下,是不是所有的梯形面积都可以这样计算呢?
生:我想每个梯形都可以像右图这样,将它分成两个三角形,所以,每个梯形的面积都可以这样计算。
师:那么,你们认为知道什么条件就可以求出梯形的面积呢?
生:我想如果知道梯形的上底、下底和高就可以求出梯形的面积了。
师:如果你们刚才的想法是正确的,你们认为梯形面积的计算公式应该是怎样的?
生:梯形的面积=上底×高÷2 下底×高÷2。
师:这样的计算方法正确吗?如果正确的话,有没有更为简洁的表达方式呢?请拿出你们准备好的梯形(课前老师让每位同学准备了三个梯形),四人小组讨论讨论。如果觉得梯形不够用,还可以将书后(第129页)的梯形剪下来。
(学生分组汇报)
生:我们这组是将梯形分成两个三角形,觉得任何梯形的面积都可以用这样公式计算:梯形的面积=上底×高÷2 下底×高÷2。(教师根据学生的回答用多媒体演示将一任意梯形分成两个三角形)
生:我们这组是将梯形分成一个平行四边形和一个三角形,梯形的面积=上底×高 (下底-上底)×高÷2=上底×高÷2 下底×高÷2。(教师根据学生的回答用多媒体演示将一任意梯形分成一个平行四边形和一个三角形)
生:我们这一组是用课本后的两个完全一样的梯形,拼成一个平行四边形,拼成的平行四边形的底是梯形上、下底的和,高就是梯形的高,平行四边形的面积是两个完全一样的梯形的面积的和,所以一个梯形的面积就是:梯形的面积=(上底 下底)×高÷2。(教师根据学生的回答用多媒体演示将两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形)
师:(上底 下底)×高,求的是什么图形的面积?梯形面积公式为什么要除以2?
生:梯形的(上底 下底)×高,求的是由两个完全一样的梯形拼成的平行四边形的面积。因为它是两个梯形的面积之和,所以,梯形的面积等于平行四边形的面积除以2。
生:我觉得这个梯形面积公式比较简洁,并且前面两个小组的梯形面积公式也可以化简得到这个公式。上底×高÷2 下底×高÷2=(上底 下底)×高÷2。
生:我觉得平行四边形、三角形和梯形面积的计算公式之间好像有什么联系,究竟有什么联系我现在又说不清楚。
这时,教师用钉子板和橡皮筋先围成一个梯形,再将它的上底渐渐缩短,直至变成一个三角形,引导学生观察:这时的三角形可以看成是一个上底为“0”的梯形,接着再将三角形还原成刚才的梯形再渐渐拉成一个平行四边形,再引导观察:这时的平行四边形可以看成是一个上底和下底相等的梯形。
在教师的引导点拨下,大部分学生理解了平行四边形可以看做是上底和下底相等的梯形,三角形可以看做是上底是“0”的梯形,平行四边形和三角形面积的计算公式都可以用梯形面积的计算公式进行计算。
平行四边形的面积=(上底 下底)×高÷2=底×2×高÷2=底×高。
三角形的面积=(0 下底)×高÷2=底×高÷2。
反思:
1.有效的数学学习应在蕴含思维价值的动手操作活动中进行
在教学《梯形面积的计算公式》时,大部分教师在课前要求学生从课本后面剪两个完全相同的梯形以备上课用,在上课时。当教师复习三角形面积的计算公式的推导过程之后,再抛出:“我们用什么方法来推导梯形的面积计算公式呢?学生由于受到三角形面积的计算公式方法的迁移,会轻而易举地拼出平行四边形,进而“顺利”地探究出了梯形面积的计算公式。这样的操作只满足于结论的得出和规律的发现,忽视了思维能力的训练,缺少挑战性。究其原因,是材料过于完备,让学生产生定势思维,只能发现唯一的结论。上述教学过程,教师应大胆放手,先出示三个图形,既帮助学生复习了平行四边形和三角形面积公式的推导过程,为学生学习推导出梯形面积作铺垫,又给学生留下猜想梯形面积大小的空间,给学生估计梯形的面积和探讨梯形面积的计算公式一个有力的支撑点。在学生初步得出梯形面积的计算方法后,教师再让学生拿出准备好的多组梯形:有完全相同的,有等腰的,有直角梯形,也有一般梯形等等,通过感知、分析、处理材料,然后尝试选择、剪分、拼接、调整,进行蕴含思维价值的动手操作活动,从不同的角度验证梯形面积的计算方法,让学生认识到:可以将一个梯形分割成两个学过的图形(三角形、平行四边形);还可以用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形来推导梯形的面积计算公式。学生在实践和探究的过程中,加深和拓展了动手实践的深度和广度。
2.有效的数学学习应充分发挥教师的有效引领作用
在上述教学过程中,正是教者充分发挥了自己在课堂教学中的有效引领作用,学生的思维才沿着正确的方向发展,并且不断深入,逐步逼近问题的本质。在学生比较三角形、平行四边形和梯形面积大小,学生初步知道梯形面积大小的范围时,教师没有直接点破,而是耐心等待学生将梯形分成两个三角形,算出这个梯形的面积,进而引导学生猜想出求梯形的面积需要知道什么条件。在学生初步得出梯形的面积公式(不简洁、不全面)时,教者再引导学生从不同的角度探究梯形面积的计算公式。在学生发现三角形、平行四边形、梯形面积公式之间的联系时,教师通过钉子板让学生发现三个图形之间的内在联系。在整个教学过程中,教师运用“相机授予”的方法引领学生自主探究,适时点拨的教学艺术,激发学生自主探究的动机,让学生亲历知识的形成过程,真正获得深刻的学习体验,在深刻的体验中自主建构了知识。
3.有效的数学学习应培养学生的结构性思维方式
数学知识是结构化、系统化的。因此,在儿童的数学学习中,结构化思维的培养具有十分重要的意义,而结构化思维只有在结构化的教学中才能得到启迪和培养。上述教学片段从导入开始就将平行四边形、三角形和梯形作为一个整体出示,并且以三角形和平行四边形面积的计算公式及面积推导过程作为新知学习的支撑点。面积公式的探究阶段学生以三角形、平行四边形面积公式为依据,探究出梯形的面积计算公式。最后,教师再通过钉子板动态地演示,将三角形、平行四边形和梯形这三种图形的面积公式融为一体。通过上述教学内容的结构化的教学,使平行四边形、三角形、梯形变成一个整体,学生将会牢记这三幅图以及教师用钉子板演示的三种图形的演变过程,实现原有知识增值的同时很好地将新知纳入到原有的知识结构中。这样的建构性学习自然、流畅、经济、高效,学生在见树木时更能看到森林,使得课堂教学和学生的数学学习有了鲜明的立体效应。
师:你能求出下面几个图形的面积吗?
生:平行四边形的面积是:4×3=12(平方厘米)。
生:三角形的面积是:4×3÷2=6(平方厘米)。
师:你们能回忆出平行四边形和三角形面积的计算公式的推导过程吗?
生:我们是将一个平行四边形沿着高剪开、再平移,拼成一个长方形来推导平行四边形面积的计算公式的。
生:我们是用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形来推导三角形面积的计算公式的。
师:这个梯形的面积你能计算吗?
生:我们没有学过梯形面积的计算公式,所以不能求出这个梯形的面积是多少。
师:仔细比较这三个图形的面积大小,你能估算出这个梯形的面积大约是多少吗?
生:通过比较这三个图形的面积大小,我觉得这个梯形的面积应该比6平方厘米大比12平方厘米小。(大部分同学都点头赞同)
师:能说说理由吗?
生:梯形的面积比中间的三角形面积大一些,而比左边的平行四边形的面积小一些。
生:我将三角形平移到这个梯形里时,发现梯形还多出一部分;而将梯形平移到平行四边形里,又发现平行四边形多出一部分。
(这名学生的发言还没有完,另一名学生激动地抢着说,我有办法求出这个梯形的面积是多少!)
生:我将这个梯形分成这样的两个三角形,就能求出这个梯形的面积是:4×3÷2 1×3÷2=7.5(平方厘米)。(教师根据学生的回答出示右图)
师:你们猜想一下,是不是所有的梯形面积都可以这样计算呢?
生:我想每个梯形都可以像右图这样,将它分成两个三角形,所以,每个梯形的面积都可以这样计算。
师:那么,你们认为知道什么条件就可以求出梯形的面积呢?
生:我想如果知道梯形的上底、下底和高就可以求出梯形的面积了。
师:如果你们刚才的想法是正确的,你们认为梯形面积的计算公式应该是怎样的?
生:梯形的面积=上底×高÷2 下底×高÷2。
师:这样的计算方法正确吗?如果正确的话,有没有更为简洁的表达方式呢?请拿出你们准备好的梯形(课前老师让每位同学准备了三个梯形),四人小组讨论讨论。如果觉得梯形不够用,还可以将书后(第129页)的梯形剪下来。
(学生分组汇报)
生:我们这组是将梯形分成两个三角形,觉得任何梯形的面积都可以用这样公式计算:梯形的面积=上底×高÷2 下底×高÷2。(教师根据学生的回答用多媒体演示将一任意梯形分成两个三角形)
生:我们这组是将梯形分成一个平行四边形和一个三角形,梯形的面积=上底×高 (下底-上底)×高÷2=上底×高÷2 下底×高÷2。(教师根据学生的回答用多媒体演示将一任意梯形分成一个平行四边形和一个三角形)
生:我们这一组是用课本后的两个完全一样的梯形,拼成一个平行四边形,拼成的平行四边形的底是梯形上、下底的和,高就是梯形的高,平行四边形的面积是两个完全一样的梯形的面积的和,所以一个梯形的面积就是:梯形的面积=(上底 下底)×高÷2。(教师根据学生的回答用多媒体演示将两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形)
师:(上底 下底)×高,求的是什么图形的面积?梯形面积公式为什么要除以2?
生:梯形的(上底 下底)×高,求的是由两个完全一样的梯形拼成的平行四边形的面积。因为它是两个梯形的面积之和,所以,梯形的面积等于平行四边形的面积除以2。
生:我觉得这个梯形面积公式比较简洁,并且前面两个小组的梯形面积公式也可以化简得到这个公式。上底×高÷2 下底×高÷2=(上底 下底)×高÷2。
生:我觉得平行四边形、三角形和梯形面积的计算公式之间好像有什么联系,究竟有什么联系我现在又说不清楚。
这时,教师用钉子板和橡皮筋先围成一个梯形,再将它的上底渐渐缩短,直至变成一个三角形,引导学生观察:这时的三角形可以看成是一个上底为“0”的梯形,接着再将三角形还原成刚才的梯形再渐渐拉成一个平行四边形,再引导观察:这时的平行四边形可以看成是一个上底和下底相等的梯形。
在教师的引导点拨下,大部分学生理解了平行四边形可以看做是上底和下底相等的梯形,三角形可以看做是上底是“0”的梯形,平行四边形和三角形面积的计算公式都可以用梯形面积的计算公式进行计算。
平行四边形的面积=(上底 下底)×高÷2=底×2×高÷2=底×高。
三角形的面积=(0 下底)×高÷2=底×高÷2。
反思:
1.有效的数学学习应在蕴含思维价值的动手操作活动中进行
在教学《梯形面积的计算公式》时,大部分教师在课前要求学生从课本后面剪两个完全相同的梯形以备上课用,在上课时。当教师复习三角形面积的计算公式的推导过程之后,再抛出:“我们用什么方法来推导梯形的面积计算公式呢?学生由于受到三角形面积的计算公式方法的迁移,会轻而易举地拼出平行四边形,进而“顺利”地探究出了梯形面积的计算公式。这样的操作只满足于结论的得出和规律的发现,忽视了思维能力的训练,缺少挑战性。究其原因,是材料过于完备,让学生产生定势思维,只能发现唯一的结论。上述教学过程,教师应大胆放手,先出示三个图形,既帮助学生复习了平行四边形和三角形面积公式的推导过程,为学生学习推导出梯形面积作铺垫,又给学生留下猜想梯形面积大小的空间,给学生估计梯形的面积和探讨梯形面积的计算公式一个有力的支撑点。在学生初步得出梯形面积的计算方法后,教师再让学生拿出准备好的多组梯形:有完全相同的,有等腰的,有直角梯形,也有一般梯形等等,通过感知、分析、处理材料,然后尝试选择、剪分、拼接、调整,进行蕴含思维价值的动手操作活动,从不同的角度验证梯形面积的计算方法,让学生认识到:可以将一个梯形分割成两个学过的图形(三角形、平行四边形);还可以用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形来推导梯形的面积计算公式。学生在实践和探究的过程中,加深和拓展了动手实践的深度和广度。
2.有效的数学学习应充分发挥教师的有效引领作用
在上述教学过程中,正是教者充分发挥了自己在课堂教学中的有效引领作用,学生的思维才沿着正确的方向发展,并且不断深入,逐步逼近问题的本质。在学生比较三角形、平行四边形和梯形面积大小,学生初步知道梯形面积大小的范围时,教师没有直接点破,而是耐心等待学生将梯形分成两个三角形,算出这个梯形的面积,进而引导学生猜想出求梯形的面积需要知道什么条件。在学生初步得出梯形的面积公式(不简洁、不全面)时,教者再引导学生从不同的角度探究梯形面积的计算公式。在学生发现三角形、平行四边形、梯形面积公式之间的联系时,教师通过钉子板让学生发现三个图形之间的内在联系。在整个教学过程中,教师运用“相机授予”的方法引领学生自主探究,适时点拨的教学艺术,激发学生自主探究的动机,让学生亲历知识的形成过程,真正获得深刻的学习体验,在深刻的体验中自主建构了知识。
3.有效的数学学习应培养学生的结构性思维方式
数学知识是结构化、系统化的。因此,在儿童的数学学习中,结构化思维的培养具有十分重要的意义,而结构化思维只有在结构化的教学中才能得到启迪和培养。上述教学片段从导入开始就将平行四边形、三角形和梯形作为一个整体出示,并且以三角形和平行四边形面积的计算公式及面积推导过程作为新知学习的支撑点。面积公式的探究阶段学生以三角形、平行四边形面积公式为依据,探究出梯形的面积计算公式。最后,教师再通过钉子板动态地演示,将三角形、平行四边形和梯形这三种图形的面积公式融为一体。通过上述教学内容的结构化的教学,使平行四边形、三角形、梯形变成一个整体,学生将会牢记这三幅图以及教师用钉子板演示的三种图形的演变过程,实现原有知识增值的同时很好地将新知纳入到原有的知识结构中。这样的建构性学习自然、流畅、经济、高效,学生在见树木时更能看到森林,使得课堂教学和学生的数学学习有了鲜明的立体效应。